1、计算下列各式计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25 课前小测)()()(4(2121bcttbcttctbt2122复习思考复习思考:向量的加法向量的加法 向量的减法向量的减法 实数与向量的乘法实数与向量的乘法 两个向量的数量积两个向量的数量积运算结果运算结果向量向量向量向量向量向量向量数量积的物向量数量积的物理背景与定义理背景与定义学习目标学习目标 1 1、掌握平面向量数量积的物理、掌握平面向量数量积的物理背景；背景；3 3、掌握平面向量数量积的定义、掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义。性质及几何意义。2 2、理解一
2、个向量在另一个向量、理解一个向量在另一个向量方向上的正投影的概念；方向上的正投影的概念；s 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角F功是一个标量，是一个数量，它由力和位功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把能否把“功功”看成这两个向量的一种运算看成这两个向量的一种运算的结果呢？的结果呢？力F所做的功W应当怎样计算？应当怎样计算？以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的概念。力做功的计算，涉及到两个概念力做功的计算，涉及到两个概念：两个向量的夹角向量在轴上的
3、射影1、向量的夹角的概念、向量的夹角的概念 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，a 与与 反向反向aOABaOAa0 与与 同向同向aOABaBa则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作ab与与 垂直，垂直，aOABa注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点的同起点的特殊情况：怎样找向量的夹角?做一做做一做:如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！说明（1）（2）在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。物理上力
4、所做的功实际上是将力正物理上力所做的功实际上是将力正 交分解，只有在位移方向上的力做交分解，只有在位移方向上的力做功功sF什么是向量的正射影？什么是向量的正射影的数量呢？阅读课本108页,看图回答问题。向量向量a在在l上的正射影是什么？向量上的正射影是什么？向量a在在l上的正射上的正射影的数量是什么影的数量是什么?坐标呢？怎样表示？坐标呢？怎样表示？a1AaA1O1lxO向量向量a在向量在向量b上的数量怎样表示上的数量怎样表示 已知轴已知轴l,如图如图在在，求，求（1）向量）向量上的正射影的数量上的正射影的数量ABOB1A1l（2）向量）向量求求在在上的正射影的数量上的正射影的数量解：解：（1
5、）（2）上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8|,4|练一练记作记作定义定义叫作向量叫作向量 和和 的数量积（或内积），的数量积（或内积），,即即（1）零向量与任意向量的数量积为）零向量与任意向量的数量积为0，即即（2）这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写，a b不能写成ab，ab 表示向量的另一种运算 （4）在运用数量积公式解题时在运用数量积公式解题时,一定要注意向量一定要注意向量夹角的取值范围是夹角的取值范围是表示数量而不表示向量表示数量而不表示向量,决定其结果有三个决定
6、其结果有三个量，这是与实数乘法的最大区别。量，这是与实数乘法的最大区别。（3）3、向量的数量积的定义、向量的数量积的定义说明判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确()()()()()()做一做1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0.5.对任意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,则则b=c.ab=|a|b|7.()两非零向量两非零向量 与与 的数量积是一个的数量积是一个实数实数，不是一个
7、向量，不是一个向量，其值可以为正，也可以为负，还可以其值可以为正，也可以为负，还可以为零为零，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？为零？你能根据正投影的定义解释你能根据正投影的定义解释 的的几何意义几何意义？小组讨论小组讨论结论当当 时，它为正值；时，它为正值；OABab为锐角时，为锐角时，|b|cos 0OABab为直角时，为直角时，|b|cos =0为钝角时，为钝角时，|b|cos 0BOAab当当90 180时，它为负值时，它为负值当当 =90时，它为时，它为0；当夹角为 和180，结果是什么呢？平面向量数量积平面向量数量积 a b
8、的几何意义的几何意义 向量向量 a 与与b 的数量积等于的数量积等于 与与的积的积.BB1OA还有其它说法吗？过A点作OB的垂线，其几何意义怎样表述呢？想一想：由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：0(4)练一练：(4)cos=(a b)/(|a|b|).(3)当当a与与b同向时同向时,a b=|a|b|;当当a与与b反向时反向时,ab=-|a|b|.特别地特别地,a a(或写成或写成 a 2)=|a|2或或|a|=a a 设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的单方向相同的单位向量，位向量，是是a与与e的夹角的夹角,则则 ab=/2cos
9、=0(1)e a=a e=|a|cos.|a|b|cos=0 a b=0向 量向 量 a 与与 b 共 线共 线|a b|=|a|b|a b=|a|b|cos(5)|a b|a|b|.(2)ab a b=0.3、向量数量积的性质、向量数量积的性质例题讲解例题讲解例例1已知已知|a|=5，|b|=4，求，求a b.解解:例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45 =2看谁做的快看谁做的快练习练习1：练习练习A,1求求练习练习2：在：在ABC中中答案：答案：-28例例3看谁做的快：练习A,2求向量夹角的方法的夹角与求
10、，bababa284|4|求向量模的方法求向量模的方法例4看谁做的快我们学到我们学到了什么？了什么？课堂小结向量的夹角向量在轴上的正射影向量的数量积的定义，几何意义，性质。共起点 向量向量 a 与与b 的数量积等于的数量积等于 与与的积的积.数数量量积积的的性性质质（1 1）e a=a e=|a|cos（2 2）ab a b=0 (判判断两向量垂直的依据断两向量垂直的依据)（3 3）当a 与b b 同向时，a b=|a|b|，当a 与b 反向时,a b=|a|b|.特别地 (用于计算向量的模用于计算向量的模)（4）（5）|a b|a|b|设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角)
