1、第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质角的平分线的定义：角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线等的两个角的射线叫做这个角的角平分线.OBAC 复习复习 (1)在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？用折纸的方法，如何确定角的平分线？新知探究新知探究【活动活动1】不利用工具，请你将一张用纸片做的角不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角分成两个相等的角.你有什么办法？你有什么办法？AOBC活 动1 再打开纸片再打开纸片，看看折痕，看看折痕
2、与这个角有何关系？与这个角有何关系？（对折对折）新知探究新知探究活 动2 如果前面活动中的纸片换成木板、钢如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？板等没法折的角，又该怎么办呢？新知探究新知探究 （2）如图，是一个平分角的仪）如图，是一个平分角的仪器，其中器，其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在放在角的顶点角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放沿着角的两边放下下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是这个就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗角的平分线，你能说明它的道理吗?ADBCE新知探究新知探究【活动活动1】证明：证明：在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知
3、）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE新知探究新知探究1.如何用尺规作出已知角的平分线？如何用尺规作出已知角的平分线？新知探究新知探究【活动活动2】尺规作角的平分线尺规作角的平分线（1）以）以O为圆心，适当长为半径为圆心，适当长为半径作弧，交作弧，交OA于于，交，交OB于于（2）分别以）分别以，为圆心大为圆心大于于 MN的长为半径作弧两的长为半径作弧两弧在弧在AOB的内部交于的内部交于C（3）作射线）作射线OC射线射
4、线OC即为所求即为所求新知探究新知探究画法画法12思考：为什么思考：为什么OC是角平分线呢？是角平分线呢？已知：已知：OM=ON，MC=NC.求证：求证：OC平分平分AOB.证明：在证明：在OMC和和ONC中，中，CM=CN OM=ON OC=OC OMC ONC（SSS）AOC=BOC 即：即：OC平分平分AOB2.你从平分角的仪器中得到什么启发？你从平分角的仪器中得到什么启发？新知探究新知探究角的平分线的画法的角的平分线的画法的理论依据理论依据是是:三角形全等的条件三角形全等的条件“SSS”公理公理.【活动活动2】3.作一个平角作一个平角AOB的平分线，并反向的平分线，并反向延长这条角平分
5、线延长这条角平分线.新知探究新知探究【活动活动2】(1)平分平角平分平角AOB(2)通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反以后，把它反向延长得到直线向延长得到直线CD，直线，直线CD与直线与直线AB是什么是什么关系？关系？(3)结论：作平角的平分线即可平分平角，由此结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOCD新知探究新知探究互相垂直互相垂直新知探究新知探究 如图，任意作一个角如图，任意作一个角AOB，作出作出 AOB的平分线的平分线OC，在，在OC上上任取一点任取一点P，过点，过点P
6、画出画出OA，OB的的垂线，分别记垂足为垂线，分别记垂足为D，E，测量，测量PD，PE并作比较，你得到什么结并作比较，你得到什么结论？在论？在OC上再取几个点试一试上再取几个点试一试.【活动活动3】通过以上测量通过以上测量,你发现了你发现了角的平分线的什么性质角的平分线的什么性质?新知探究新知探究2.你能归纳出角的平分线的性质吗？你能归纳出角的平分线的性质吗？角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等.归纳总结归纳总结 人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，的平分
7、线，点点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分，垂足分别是别是D，E.求证：求证：PD=PE.DPEAOBC新知探究新知探究人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）证明：证明：PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）PDO=PEO AOC=BOC OP=OP PDO PEO（AAS）新知探究新知探究DPEAOBC人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）新知探
8、究新知探究一般情况下，证明一个几何命题的步骤是什么？一般情况下，证明一个几何命题的步骤是什么？1.明确命题中的明确命题中的已知已知和和求证求证；2.根据题意，画出图形，并用符号表示根据题意，画出图形，并用符号表示 已知已知和和求证求证；3.经过分析，找出经过分析，找出由已知推出要证的结由已知推出要证的结 论的途径论的途径，写出，写出证明过程证明过程.人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）我们知道，角的平分线上的点到角的两边的我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的到角的两边的距离相等的点是否
9、在角的平分线上呢？平分线上呢？新知探究新知探究角的内部到角的两边的距离相等的点在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的平分线上.你能证明这你能证明这个结论吗？个结论吗？人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）例例 如图如图,ABC的角平分线的角平分线BM,CN相交于相交于点点P.求证求证:点点P到三边到三边AB,BC,CA的距离相等的距离相等.【活动活动4】举例分析举例分析人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）证明证明:过过P作作PD,PE,PF分别垂直分别垂直于于AB,BC,
10、CA,垂足分别为垂足分别为D,E,F.BM是是 ABC的角平分线的角平分线,P在在BM上上,PD=PE.即点即点P到三边到三边AB,BC,CA的距离相等的距离相等.同理同理 PE=PF PD=PE=PF人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）想一想：点想一想：点P在在A的平分线上吗的平分线上吗?这说明三角这说明三角形的三条角平分线有什么关系形的三条角平分线有什么关系?三角形的三条角平分线交于三角形的三条角平分线交于三角形的内部三角形的内部一点一点.新知探究新知探究人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PP
11、T优秀课件）课堂练习课堂练习 如图，要在如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处处500 m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为它的位置，比例尺为1:20 000）？）？S角的平分线上距离交角的平分线上距离交叉处叉处2.5 cm的点的点人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）完成教材第完成教材第50页练习页练习.课堂练习课堂练习人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学
12、全等三角形实用课件（PPT优秀课件）本节课你有什么收获本节课你有什么收获?小结小结1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的内部到角的两边的距离相角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上等的点在角的平分线上.人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）习题习题12.3 第第1，2，3，4，5题题.作业作业人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人一生下就会哭，笑是后来才学人一生下就会哭，笑是后来才学会的会的.所以忧伤是一种低级的本能，所以忧伤是一种低级的本能，而快乐是一种更高级的能力而快乐是一种更高级的能力.人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）人教版数学全等三角形实用课件（PPT优秀课件）
