2019-2020学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（文科）.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合3A，4，5，6，7， |410Bxx，xN，则(AB ) A5，6，7 B4，5，6，7 C |47xx D |710xx 2 （5 分）若复数z满足(1)|3|i zi，则(z ) A2i B2i C1i D22i

2、3（5 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为yx，且C经过点(2, 3)A，则双曲线C的方程为( ) A 22 1xy B 22 1 23 xy C 22 1 39 xy D 22 1 44 xy 4 （5 分）等差数列 n a前n项和为 n S， 1 17a ， 810 SS，则公差(d ) A4 B2 C2 D4 5 （5 分）某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为 15 元，被随机分配为 3.50 元，4.75 元，5.37 元，1.38 元，其 4 份，甲、乙、丙、丁 4 人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二

3、人抢到的金额之和不低于 8 元的概率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 6 （5 分）如图，梯形ABCD中，/ /ABCD，2ABCD，E为BC中点，则(AE ) A 11 22 ABCD B 3 4 ABAD C 31 42 ABAD D 31 22 ABAD 7（5 分）若将函数( )3sincosf xxx的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值是( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）函数 2 ( ) |1| xx ee f x ln x 的图象大致为( ) A B C D 9 （5 分）九

4、章算术中方田章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积 1 2 （弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长， “矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差现有一弧田，其弦长AB等于2 3，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为 2 31 2 ，则(AOB ) A 4 B 3 C 2 D 2 3 10 （5 分）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：第 3 页（共 20 页

5、）若l，m，/ /l，/ /m，则/ /；若l，则/ /l或l；若l，m，l，m是异面直线，那么m与一定相交；若m，/ /l，/ /l，则/ /lm 其中所有正确命题的编号是( ) A B C D 11 （5 分）已知3x ，且 357 logloglogxyz，则下列不等式关系中正确的是( ) A 357 xyz B 753 zyx C 735 zxy D 537 yxz 12 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为A，右焦点为F，以A点为圆心， AF长为半径的圆与椭圆C相交于点M，| 2|AMMF，则椭圆C的离心率为( ) A 2 7 B 3 7

6、 C 4 7 D 5 7 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若实数x，y满足约束条件 3 0 0 2 0 xy x xy ，则3zxy的最大值为 14 （5 分）曲线sin1(1)yxxln x 在0x 处的切线方程为 15 （5 分）某圆柱的高为 2，体积为2，其底面圆周均在同一个球面上，则此球的表面积为 16（5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， 1 cos()cos 2 ACB，（1）则B （2）若延长BA至D使得4BD ，

7、当ACD面积的最大值为3时，则a 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17（12 分）由国家统计局提供的数据可知， 2012 年至 2018 年中国居民人均可支配收入y（单位：万元）的数据如表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号1 2 3 4 5 6 7 第 4 页（共 20 页） x 人均可

8、支配收入y 1.65 1.83 2.01 2.19 2.38 2.59 2.82 （1）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01) （2）利用（1）中的回归方程，分析 2012 年至 2018 年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测 2019 年中国居民人均可支配收入附注：参考数据： 7 1 15.47 i i y ， 7 1 67.28 ii i x y 参考公式：回归直线方程 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 22 1 , n ii i n i i x ynxy baybx xnx 18 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 4a

9、， 1 31 nn aS ， * nN （1）求 n a通项公式；（2）求1 n an的前n项和 n T 19 （12 分）如图，在三角形ABC中，90ABC，2ABBC，平面ABC与半圆弧BC 所在的平面垂直，点M为半圆弧上异于B、C的动点，N为AM的中点（1）求证：CMBN；（2）求三棱锥MBCN体积的最大值 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p，P、Q是C上两点，且两点横坐标之和为 4，直线PQ的斜率为 2 第 5 页（共 20 页）（1）求曲线C的方程；（2）设M是曲线C上一点，曲线C在M点处的切线与直线PQ平行，且25PM QM ，求直线PQ的方

10、程 21 （12 分）已知函数 2 ( )f xalnxx （1）讨论( )f x的单调性；（2）求证：当0a 时， 2 ( ) (sin )f xax xax 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的如果多做，则按所做的第一个题目计分第一个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 ( xat t yt 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3si

11、n （1）若2a ，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，且|PA的最大值为2 5，求a的值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知0a ，0b ，函数( ) |f xxaxb （1）当1a ，2b 时，求不等式( ) 5f x 的解集；（2）当( )f x的最小值为 4 时，证明： 22 11 2 ba abab 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大

13、(1)(1) i zi iii ，故选：C 3（5 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为yx，且C经过点(2, 3)A，则双曲线C的方程为( ) A 22 1xy B 22 1 23 xy C 22 1 39 xy D 22 1 44 xy 【解答】解：由双曲线C的一条渐近线方程为yx，则双曲线为等轴双曲线，即ab，双曲线 222 :C xba，将(2, 3)A，代入双曲线，解得1a ，所以双曲线的标准方程 22 1xy，故选：A 4 （5 分）等差数列 n a前n项和为 n S， 1 17a ， 810 SS，则公差(d ) A4 B2

14、 C2 D4 【解答】解：因为 1 17a ， 810 SS，所以 910 0aa，第 7 页（共 20 页）即2 17170d，解可得2d 故选：B 5 （5 分）某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为 15 元，被随机分配为 3.50 元，4.75 元，5.37 元，1.38 元，其 4 份，甲、乙、丙、丁 4 人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 8 元的概率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【解答】解：所发红包的总金额为 15 元，被随机分配为 3.50 元，4.75 元， 5.37 元， 1.38

15、元，共 4 份，供甲、乙等 4 人抢，每人只能抢一次，基本事件总数 2 4 6n ，其中金额之和不低于 8 有的可能情况有： (4.75,3.5)，(5.37,3.5)，(4.75,5.37)共有 3 种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于 8 元的概率 31 62 P ；故选：B 6 （5 分）如图，梯形ABCD中，/ /ABCD，2ABCD，E为BC中点，则(AE ) A 11 22 ABCD B 3 4 ABAD C 31 42 ABAD D 31 22 ABAD 【解答】解：如图，梯形ABCD中，/ /ABCD，2ABCD，E为BC中点， 1 31 2 22242 ADABAB

16、 ACABADDCAB AEABAD ，故选：C 7（5 分）若将函数( )3sincosf xxx的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值是( ) 第 8 页（共 20 页） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：()3 s i nc o s2 s i n () 6 fxxxx 的图象向右平移个单位可得 ( )2sin() 6 g xx ，因为所得( )g x图象关于原点对称，即( )g x为奇函数，根据奇函数的性质可知，(0)sin()0 6 g ，故 6 k ，kZ，则的最小正值 6 故选：A 8 （5 分）函数

17、 2 ( ) |1| xx ee f x ln x 的图象大致为( ) A B C 第 9 页（共 20 页） D 【解答】解：定义域为： |x xR，0x 排除A 函数( )f x为非奇非偶函数，排除B x时，( )f x ，排除C 故选：D 9 （5 分）九章算术中方田章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积 1 2 （弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长， “矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差现有一

18、弧田，其弦长AB等于2 3，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为 2 31 2 ，则(AOB ) A 4 B 3 C 2 D 2 3 【解答】解：如图，由题意可得：2 3AB ，弧田面积 1 2 S （弦矢矢 2 1 )(2 3 2 矢矢 2 2 31 ) 2 解得矢1，或矢12 3 ，（舍)，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则 22 1 3 rd rd ，解得1d ，2r ， 1 cos 2 d AOD r ，可得 3 AOD ， 2 3 AOB 故选：D 第 10 页（共 20 页） 10 （5 分）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出

19、下列命题：若l，m，/ /l，/ /m，则/ /；若l，则/ /l或l；若l，m，l，m是异面直线，那么m与一定相交；若m，/ /l，/ /l，则/ /lm 其中所有正确命题的编号是( ) A B C D 【解答】解：对于，若l，m，/ /l，/ /m，则/ /或、相交，只有l， m为相交直线，可得/ /，故错；对于，若l，由面面垂直和线面垂直的定义，结合线面的位置关系，可得/ /l 或l，故对；对于，若l，m，l，m是异面直线，那么m与可能平行或相交，故错；对于，/ /l，由线面平行的性质定理可得过l的平面与平面的交线/ /al，由/ /l，由线面平行的性质定理可得过

20、l的平面与平面的交线/ /bl，可得/ /ab，由线面平行的判定定理可得/ /a，若m，由线面平行的性质定理可得/ /lm故对故选：D 11 （5 分）已知3x ，且 357 logloglogxyz，则下列不等式关系中正确的是( ) A 357 xyz B 753 zyx C 735 zxy D 537 yxz 【解答】解：3x ，设 357 logloglog1xyzk，则3kx ，5ky ，7kz 55 757 55 77( )5750 77 kkk yz， 75 zy ，同理可得： 53 yx ，第 11 页（共 20 页） 753 zyx ，故选：B 12 （5 分）已知

22、111 ()4()22() 22424 accaccac，解得 2 7340ee，解得 4 7 e ，故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若实数x，y满足约束条件 3 0 0 2 0 xy x xy ，则3zxy的最大值为 4 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由3zxy，得3yxz ，平移直线3yxz ，由图象可知当直线3yxz ，经过点A时，直线3yxz 的截距最大，第 12 页（共 20 页）此时z最大由 30 20 xy

23、xy 得(A 1 2 ， 5) 2 此时z的最大值为， 15 34 22 max z 故答案为：4 14 （5 分）曲线sin1(1)yxxln x 在0x 处的切线方程为 10xy 【解答】解：由sin1(1)yxxln x ，得 1 sincos 1 yxxx x ， 0 |1 x y ，又当0x 时，1y ，曲线sin1(1)yxxln x 在0x 处的切线方程为1yx，即10xy 故答案为：10xy 15 （5 分）某圆柱的高为 2，体积为2，其底面圆周均在同一个球面上，则此球的表面积为 8 【解答】解：根据题意，画图如下：圆柱的高为 2，体积为2， 2 221rr；则OAR

24、，1O Ar，1 2 h OO ，故在RtOO A中， 22 2OAOOO A ， 2R， )2 2 44( 28SR 球故答案为：8 第 13 页（共 20 页） 16（5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， 1 cos()cos 2 ACB，（1）则B 3 （2）若延长BA至D使得4BD ，当ACD面积的最大值为3时，则a 【解答】解：（1）在ABC中，ABC，则ACB，由 1 cos()cos 2 ACB知 1 cos()cos() 2 ACAC， 1 coscossinsincoscossinsin 2 ACACACAC， 1 coscos 4 A

25、C，由a，b，c成等比数列知 2 bac，由正弦定理边化角得： 2 sinsinsinBAC，得： 2 1 coscossinsincos()cos 4 sin BACACACB ， 2 1 cos 4 sin BB 又 22 sincos1BB， 2 3 cos0 4 cos BB，解得： 1 cos 2 B 或 3 cos 2 B （舍去）， 3 B ；（2）由（1）中得： 2 1 coscossinsincos() 4 sin BACACAC， 2 13 cos()()1 42 AC， AC，故ABC为正三角形，如图所示：，则abc， 3 A ，第 14 页（共 20

26、页）则 1 sin 2 ACD SACADDAC 13 22 ACAD 3 (4) 4 aa 2 3 3 4 aa ，当 3 2 3 2() 4 a 时， ACD S取最大值，最大值为3，故答案为： 3 ，2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17（12 分）由国家统计局提供的数据可知， 2012 年至 2018 年中国居民人均可支配收

27、入y（单位：万元）的数据如表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入y 1.65 1.83 2.01 2.19 2.38 2.59 2.82 （1）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01) （2）利用（1）中的回归方程，分析 2012 年至 2018 年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测 2019 年中国居民人均可支配收入附注：参考数据： 7 1 15.47 i i y ， 7 1 67.28 ii i x y 参考公式：回归直线方程 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公

28、式分别为：第 15 页（共 20 页） 1 22 1 , n ii i n i i x ynxy baybx xnx 【解答】解：（1）由题可知： 1234567 4 7 x ， 15.47 2.21 7 y ； 7 1 7 22 1 67.28742.215.4 0.19 1407 1628 ii i i i x ynxy b xnx ， 2.21 0.19 41.45aybx 故所求线性回归方程为0.191.45yx；（2）由（1）中的回归方程的斜率0.190k 可知，2012 年至 2018 年中国居民人均可支配收入逐年增加令8x 得：0.19 8 1.452.97y ，预测

29、 2019 年中国居民人均可支配收入为 2.97 万元 18 （12 分）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 4a ， 1 31 nn aS ， * nN （1）求 n a通项公式；（2）求1 n an的前n项和 n T 【解答】解：（1） * 1 31, nn aSnN ， 211 31314aSa ， 1 1a， 1 1 31,1 31,2 nn nn aSn aSn ，则： 111 3()34 nnnnnnn aaSSaaa ，2n 从而知 21 2 44,2 nn n aan ，又当1n 时， 1 1a 也符合，故 1* 4, n n anN ；（2） 1 141

30、n n ann ， 21 12 41(1) 121 14441231 32 n n nn n n Taaann 第 16 页（共 20 页） 19 （12 分）如图，在三角形ABC中，90ABC，2ABBC，平面ABC与半圆弧BC 所在的平面垂直，点M为半圆弧上异于B、C的动点，N为AM的中点（1）求证：CMBN；（2）求三棱锥MBCN体积的最大值【解答】解：（1）证明：因为平面ABC与半圆所在的平面垂直，交线为BC，又90ABC，即ABBC，所以AB垂直于半圆所在平面，而CM在半圆平面内，故CMAB，又BC为直径，点M为半圆弧上一点，故CMBM，且ABBMB，因此CM 平面A

31、BM，又BN 平面ABM，所以CMBN；（2）由题意知，点N为AM的中点，所以点N到半圆面的距离是点A到半圆面距离的一半，因此 11 11 11 22 36 26 MBCNA BCMBCM VVSABBM CM ABBM CM ，而BM CMBC h（其中h为点M到BC的距离），当点M为BC半圆弧的中点时，h最大，且最大值为 1，因此BM CM的最大值为 2，故三棱锥MBCN体积的最大值为 1 3 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p，P、Q是C上两点，且两点横坐标之和为 4，直线PQ的斜率为 2 （1）求曲线C的方程；

32、（2）设M是曲线C上一点，曲线C在M点处的切线与直线PQ平行，且25PM QM ，求直线PQ的方程【解答】解：（1）设直线PQ方程为：2yxb， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，则 2 2 2 420 2 xpy xpxpb yxb 则 12 441xxpp，所以曲线方程为 2 2xy；（2）设 0 (M x， 0) y，曲线 22 1 :2 2 C xyyxyx，曲线C在点M处的切线与直线PQ平行可得： 0 00 |22 x x kyxy ，所以(2,2)M， 2 2 2 420 2 xy xxb yxb ，又16802bb ， 12 4xx， 12

33、2x xb ， 121212 222()282yyxbxbxxbb， 222 221212 121122121212121212 () (2,2) (2,2)(2)(2)(2)(2)42()42()616 224 xxx x y yb PM QMxyxyxxyyxxx xyyy ybb 25PM QM ， 2 6903bbb，第 18 页（共 20 页）所以直线PQ方程为：23yx 21 （12 分）已知函数 2 ( )f xalnxx （1）讨论( )f x的单调性；（2）求证：当0a 时， 2 ( ) (sin )f xax xax 【解答】解：（1）函数 2 ( )f xalnx

34、x，定义域为(0,)，所以 2 2 ( )2 aax fxx xx ；当0a时，( )0fx，( )f x在(0,)单调递减；当0a 时，令( )0fx，则 2 2 0 ax x ，解得 2 0 2 a x，( )f x在 2 (0,) 2 a 单调递增；令( )0fx，则 2 2 0 ax x ，解得 2 2 a x ；( )f x在 2 (,) 2 a 单调递减；综上，当0a时，( )f x在(0,)单调递减；当0a 时，( )f x在 2 (0,) 2 a 单调递增，在 2 (,) 2 a 单调递减；（2）要证当0a 时， 2 ( ) (sin )f xax xax，只

35、须证： 22 ()(sin1)0a lnxxxxx，而 2 (sin1)0xx，因此，只要证： 2 0lnxxx 设 2 ( )g xlnxxx，则 1(1)(21) ( )12(0) xx g xxx xx 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x单调递增；当(1,)x时，( )0g x，( )g x单调递减；所以( )g xg（1）0，即 2 0lnxxx；所以当0a 时， 2 ( ) (sin )f xax xax 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的如果多做，则按所做的

36、第一个题目计分第一个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 ( xat t yt 为参数），以坐标原点第 19 页（共 20 页）为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3sin （1）若2a ，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，且|PA的最大值为2 5，求a的值【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为： 22 1 43 xy ，当2a 时，直线l的普通方程为220xy，由 22 220 1 43 x

38、选讲 23已知0a ，0b ，函数( ) |f xxaxb （1）当1a ，2b 时，求不等式( ) 5f x 的解集；（2）当( )f x的最小值为 4 时，证明： 22 11 2 ba abab 【解答】解：（1）当1a ，2b 时，( ) |1|2|f xxx；当1x时，( ) 5f x 即12 5xx ，2x ；当21x 时，( ) 5f x 即12 5xx ，此时无解；当2x 时，( ) 5f x 即，12 5xx ，3x；第 20 页（共 20 页）所以不等式的解集为(，32，)；证明：（2）( ) |f xxaxbxaxbab，所以由题可知4ab； 42abab 即04ab，当且仅当2ab时取等号； 22 112244 2 2 ba ababababab 厖当且仅当2ab时取等号

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