1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |(1)(2) 0Axxx， |13Bxx，则(AB ) A( 1,3) B(2,3) C(1,2) D2，3) 2 （5 分）已知复数z满足(1)(i zi i为虚数单位） ，则z的虚部为( ) A 1 2 B 1
2、2 C 1 2 i D 1 2 i 3 （5 分）将(3)nx的展开式按照x的升幂排列，若倒数第三项的系数是 90，则n的值是( ) A4 B5 C6 D7 4 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2199 OBa OAaOC，且A、B、C三点 共线（该直线不过原点)O，则 200 (S ) A100 B101 C200 D201 5 （5 分）我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题： “今有雉兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x只，兔y 只，则输出x，y的分别是( ) 第 2 页（共 21 页） A12，23 B23
3、，12 C13，22 D22，13 6 （5 分）函数 2 cos() ( ) x f x x 的图象大致是( ) A B C D 7 （5 分）如图是 2018 年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是( ) 第 3 页（共 21 页） A2018 年第一季度GDP增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的GDP总量实现了增长 C2017 年同期河南省的GDP总量不超过 4000 亿元 D2018 年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 8 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，满足(2)(
4、)f xf x ，且 3 (,0) 2 x 时， 2 ( )log ( 31)f xx，则( 2019)(f ) A4 B2 C2 D 2 log 5 9 （5 分）已知命题:pxR ，使 5 sin 2 x ；命题:qxR ，都有 2 10xx ，给出下 列结论： 命题“pq”是真命题； 命题“()pq ”是假命题； 命题“()pq”是真命题； 命题“()()pq ”是假命题 其中正确的是( ) A B C D 10 （5 分）若向量(sin, 3) 2 x m ， 2 (cos,) 22 xx ncos，函数( )f xm n，则( )f x的图象的 一条对称轴方程是( ) A 3 x B
5、 6 x C 3 x D 2 x 11 （5 分）对于函数 32 ( )(0)f xaxbxcxd a，定义：设( )fx是( )f x的导数，( )fx 第 4 页（共 21 页） 是函数( )fx的导数，若方程( )fx有实数解 0 x，则称点 0 (x， 0 ()f x为函数( )yf x的“拐 点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心设函数 32 115 ( )3 3212 g xxxx，则 122019 ()()() 202020202020 ggg的值为( ) A2017 B2018 C2019 D2020 12（5 分） 已知椭圆 22 22 1(0
6、) xy ab ab 上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点， 若AFBF，设ABF，且, 12 6 ，则该椭圆离心率e的取值范围为( ) A 6 31, 3 B 2 ,1) 2 C 23 , 22 D 36 , 23 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5 分） 设变量x，y满足约束条件 22 0 24 0 1 0 xy xy x ， 则目标函数32zxy的最大值为 14 （5 分）函数log (3)1(1 a yxa，0)a 的图象恒过定点A，若点A在直线 10mxny 上，其中0m ，0n ，则 12
7、mn 的最小值为 15 （5 分） 九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒 ABCD中，AB 平面BCD，且1ABBDCD，则此鳖儒的外接球的表面积为 16 （5 分）已知( )f xxxlnx，若kZ，且(2)( )k xf x对任意2x 恒成立，则k的最 大值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知等比数列 n a是递减数列， 14 1 32 a a ， 23 3 8 aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2
8、 (2)log nn bna ，求数列 1 n b 的前n项和 n T 18（12 分） 已知ABC中， 内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 若( 2) c o sc o s0a cB bC 第 5 页（共 21 页） （1）求角B的大小； （2）若2b ，求ac的取值范围 19 （12 分）如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，且 2PAAB，E为PD中点 （1）求证：/ /PB平面EAC； （2）求二面角ABEC的正弦值 20 （12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方A
9、PP中设置了用户评价反馈系 统， 以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价， 现从评价系统中选出 300 条较为详细的评价 信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有 关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三种 骑行券， 用户每次使用APP扫码用车后， 都可获得一张骑行券， 用户骑行一次获得 1 元券
10、， 获得 2 元券的概率分别是 1 2 , 2 5 ， 且各次获取骑行券的结果相互独立 若某用户一天使用了两 次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列 和数学期望 第 6 页（共 21 页） 附：下边的临界值表仅供参考： 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 21 （12 分）已知椭圆 22 22
11、 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜 率为 2 2 ，且原点到直线FM的距离为 6 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若不经过点F的直线:(0,0)l ykxm km与椭圆C交于A，B两点，且与圆 22 1xy相切试探究ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由 22 （12 分）设函数( )()( x e f xa xlnx a x 为常数） （1）当1a 时，求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； （2）若函数( )f x在(0,1)内存在唯一极值点 0 xx，求实数a的取值范围，并判断 0 xx是 ( )f x在(0,1)内的极
12、大值点还是极小值点 第 7 页（共 21 页） 2019-2020 学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |(1)(2) 0Axxx， |13Bxx，则(AB ) A( 1,3) B(2,3) C(1,2) D2，3) 【解答】解： |1Ax x或2x， |13Bxx
13、， 2AB，3) 故选：D 2 （5 分）已知复数z满足(1)(i zi i为虚数单位） ，则z的虚部为( ) A 1 2 B 1 2 C 1 2 i D 1 2 i 【解答】解：由(1) i zi，得 (1)11 1(1)(1)22 iii zi iii ， z的虚部为 1 2 故选：B 3 （5 分）将(3)nx的展开式按照x的升幂排列，若倒数第三项的系数是 90，则n的值是( ) A4 B5 C6 D7 【解答】解：(3)nx的展开式按照x的升幂排列，倒数第三项为 222 3 nn n Cx ， 依题意， 22 390 n n C ，即 2 (1) 10 2 n n n C ， 解得：5
14、n ， 故选：B 4 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2199 OBa OAaOC，且A、B、C三点 共线（该直线不过原点)O，则 200 (S ) A100 B101 C200 D201 【解答】解：由题意，A、B、C三点共线，故 2199 1aa 第 8 页（共 21 页） 1200 2002199 200 () 100 ()100 2 aa Saa 故选：A 5 （5 分）我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题： “今有雉兔同笼，上有三十 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x只，兔y 只，则输出x，y的分别是( ) A12，2
15、3 B23，12 C13，22 D22，13 【解答】解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后是解方程组 35 9424 yx xy ， 解得 23 12 x y ； 所以鸡 23 只，兔 12 只 故选：B 6 （5 分）函数 2 cos() ( ) x f x x 的图象大致是( ) 第 9 页（共 21 页） A B C D 【解答】解：定义域为(，0)(0，)， 2 cos() ( ) x f x x ， 22 cos()cos() ()( ) () xx fxf x xx ， ()( )fxf x，( )f x为偶函数， 其图象关于y轴对称，可排除C，D； 又当0x 时，cos()1
16、x， 2 0x ， ( )f x故可排除B； 而A均满足以上分析 故选：A 7 （5 分）如图是 2018 年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是( ) 第 10 页（共 21 页） A2018 年第一季度GDP增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的GDP总量实现了增长 C2017 年同期河南省的GDP总量不超过 4000 亿元 D2018 年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 【解答】解：由 2017 年第一季度五省GDP情况图，知： 在A中，2018 年第一季度GDP增速由高到低排位第 5 的是浙
17、江省，故A正确 在B中，与去年同期相比，2018 年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故B正确； 在C中，去年同期河南省的GDP总量不超过 4000 亿元，故C正确； 在D中，2017 年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共 2 个，故D错误； 故选：D 8 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，满足(2)( )f xf x ，且 3 (,0) 2 x 时， 2 ( )log ( 31)f xx，则( 2019)(f ) A4 B2 C2 D 2 log 5 【解答】解：函数( )f x是定义在R上的奇函数，满足(2)( )f xf x ， (
18、4)(2)( )f xf xf x ， 3 (,0) 2 x 时， 2 ( )log ( 31)f xx， 2 ( 2019)(2019)( 1)log 42fff 故选：C 第 11 页（共 21 页） 9 （5 分）已知命题:pxR ，使 5 sin 2 x ；命题:qxR ，都有 2 10xx ，给出下 列结论： 命题“pq”是真命题； 命题“()pq ”是假命题； 命题“()pq”是真命题； 命题“()()pq ”是假命题 其中正确的是( ) A B C D 【解答】解：|sin | 1x ，: xR ，使 5 sin 2 x 错误，即命题p是假命题， 判别式1430 ，xR ，都有
19、2 10xx 恒成立，即命题q是真命题， 则命题“pq”是假命题；故错误， 命题“()pq ”是假命题；故正确， 命题“()pq”是真命题；故正确， 命题“()()pq ”是真命题故错误， 故选：B 10 （5 分）若向量(sin, 3) 2 x m ， 2 (cos,) 22 xx ncos，函数( )f xm n，则( )f x的图象的 一条对称轴方程是( ) A 3 x B 6 x C 3 x D 2 x 【解答】解：（） 2 1333 ( )sincos3cossincossin() 22222232 xxx f xm nxxx ； 令 326 xkxk ，kZ， 当0k 时 6 x
20、； ( )f x的图象的一条对称轴方程是 6 x 故选：B 11 （5 分）对于函数 32 ( )(0)f xaxbxcxd a，定义：设( )fx是( )f x的导数，( )fx 是函数( )fx的导数，若方程( )fx有实数解 0 x，则称点 0 (x， 0 ()f x为函数( )yf x的“拐 第 12 页（共 21 页） 点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心设函数 32 115 ( )3 3212 g xxxx，则 122019 ()()() 202020202020 ggg的值为( ) A2017 B2018 C2019 D2020 【解答】解：与题
21、意可得， 2 ( )3g xxx，( )21gxx ， 令( )210gxx 可得，而 1 ( )1 2 g， 故函数( )g x关于 1 (,1) 2 对称，即(1)( )2gxg x， 则 1220192019 ()()()22019 2020202020202 ggg 故选：C 12（5 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点， 若AFBF，设ABF，且, 12 6 ，则该椭圆离心率e的取值范围为( ) A 6 31, 3 B 2 ,1) 2 C 23 , 22 D 36 , 23 【解答】解：如图所示， 设椭圆的左焦点为F，连
22、接AF，BF 则四边形AFBF为矩形 因此| 2ABFFc | 2AFBFa | 2 sinAFc，| 2 cosBFc 2 sin2 cos2cca 11 sincos 2sin() 4 e ， , 12 6 ， 5 (), 43 12 ， 326 sin(), 424 ， 6 13 2sin(), 422 6 31, 3 e 第 13 页（共 21 页） 故选：A 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5 分） 设变量x，y满足约束条件 22 0 24 0 1 0 xy xy x ， 则目标函数32zxy的最大
23、值为 8 【解答】解：由32zxy得 3 22 z yx ， 作出变量x，y满足约束条件 22 0 24 0 1 0 xy xy x ，对应的平面区域如图（阴影部分） ：由 1 240 x xy 解得 5 (1, ) 2 A， 平移直线 3 22 z yx 由图象可知当直线 3 22 z yx 经过点A时，直线 3 22 z yx 的截距 最大， 此时z也最大，将 5 (1, ) 2 A代入目标函数32zxy， 得8z 故答案为：8 第 14 页（共 21 页） 14 （5 分）函数log (3)1(1 a yxa，0)a 的图象恒过定点A，若点A在直线 10mxny 上，其中0m ，0n ，
24、则 12 mn 的最小值为 8 【解答】解：2x 时，log 1 11 a y ， 函数log (3)1(0 a yxa，1)a 的图象恒过定点( 2, 1)即( 2, 1)A ， 点A在直线10mxny 上， 210mn ，即21mn， 0m ，0n ， 121244 ()(2)22 428 nmnm mn mnmnmnmn ， 当且仅当 1 4 m ， 1 2 n 时取等号 故答案为：8 15 （5 分） 九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒 ABCD中，AB 平面BCD， 且1A BB D C D， 则此鳖儒的外接球的表面积为 3 【解答】解：由题意知，BD
25、CD，将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高 都是 1，既是棱长为 1 的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径为 R，则23R ， 第 15 页（共 21 页） 所以外接球的表面积 2 43SR， 故答案为：3 16 （5 分）已知( )f xxxlnx，若kZ，且(2)( )k xf x对任意2x 恒成立，则k的最 大值是 4 【解答】解：2x ， (2)( )k xf x可化为 ( ) 22 f xxxlnx k xx ； 令( ) 2 xxlnx F x x ， 则 22 1 (1)(2)() 24 ( ) (2)(2) lnxxxxxlnx xlnx x F
26、 x xx ； 令( )24g xxlnx，则 2 ( )10g x x ， 故( )g x在(2,)上是增函数， 且g（8）82 842(28)0lnln，g（9）92 9452 90lnln； 故存在 0 (8,9)x ，使 0 ()0g x，即 00 24lnxx； 故( ) 2 xxlnx F x x 在 0 (2,)x上是减函数，在 0 (x，)上是增函数； 故 0 00 0 0 0 4 2 ( )() 22 min x xx x FxF x x ； 故 0 2 x k ； 故k的最大值是 4； 故答案为：4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分
27、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知等比数列 n a是递减数列， 14 1 32 a a ， 23 3 8 aa （1）求数列 n a的通项公式； 第 16 页（共 21 页） （2）若 2 (2)log nn bna ，求数列 1 n b 的前n项和 n T 【解答】解： （1）数列 n a是等比数列且 14 1 32 a a ， 23 1 32 a a ，又 23 3 8 aa，且数列 n a是递减数列， 解得： 2 1 4 a ， 3 1 8 a ， 1 2 q， 1 1 2 a 1 ( ) 2 n n a ； （2）
28、 22 1 (2)log(2)( )(2) 2 n nn bnanlogn n 111 11 () (2)22 n bn nnn ， 则数列 1 n b 的前n项和 1111111111 (1) 232435112 n T nnnn 11111 311 (1)() 22122 212nnnn 18（12 分） 已知ABC中， 内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 若( 2) c o sc o s0a cB bC （1）求角B的大小； （2）若2b ，求ac的取值范围 【解答】解： （1）(2)coscos0acBbC， (2sinsin)cossincos0ACBBC， 2sincossin
29、()0ABBC， ABC， sin()sin()sinBCAA， 2sincossin0ABA， sin0A， 1 cos 2 B， (0, )B， 3 B ； （2）由 3 B ，2b ， 第 17 页（共 21 页） 可得： 2222 ()3bacacacac， 又 2222 31 ()3()()() 44 acacacacac， 22 ()416acb，即4ac ， 又2acb， ABC的周长的范围为(2，4 19 （12 分）如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，且 2PAAB，E为PD中点 （1）求证：/ /PB平面EAC； （2）求二面角ABEC的正弦值
30、【解答】解： （1）证明：连接BD交AC于O， 底面ABCD为正方形， O为BD的中点， E为PD的中点， / /OEPB， EO在平面EAC内，PB不在平面EAC内， / /PB平面EAC； （2）底面ABCD为正方形， BCAB， 又BCPB，ABPBB， BC平面PAB， BCPA， 第 18 页（共 21 页） 同理CDPD，BCCDC， PA平面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为 2， 则(0A，0，0)，(2C，2，0)，(0E，1，1)，(2B，0，0)， 设平面ABE的一个法向量为( , , )mx y z，又(0,1,1)AE ，(2,0
31、,0)AB ， 则 0 20 m AEyz m ABx ，可取(0, 1,1)m， 同理可得平面BCE的一个法向量为(1,0,2)n ， 10 cos, |5 m n m n m n ， 二面角ABEC的正弦值为 15 5 20 （12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系 统， 以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价， 现从评价系统中选出 300 条较为详细的评价 信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 15
32、0 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 第 19 页（共 21 页） 合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有 关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三种 骑行券， 用户每次使用APP扫码用车后， 都可获得一张骑行券， 用户骑行一次获得 1 元券， 获得 2 元券的概率分别是 1 2 , 2 5 ， 且各次获取骑行券的结果相互独立 若某用户一天使用了两 次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列 和数学期望 附：
33、下边的临界值表仅供参考： 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 【解答】 解：（1） 22 2 ()300(150406050) 7.142910.828 ()()()()21090200 100 n adbc K ab cd ac bd ， 不在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系 （2）
34、公司通过APP向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三种骑行券， 用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券， 用户骑行一次获得 1 元券， 获得 2 元券的概率分别是 1 2 , 2 5 ， 且各次获取骑行券的结果相互独 立 某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X， 则X的可能取值为 0，1，2，3，4， 用户骑行一次获得 0 元券的概率 121 1 2510 p ， 2 11 (0)() 10100 P X ， 11111 (1) 10221010 P X ， 12211133 (2) 10551022100 P X ， 12212
35、(3) 25525 P X ， 第 20 页（共 21 页） 224 (4) 5525 P X ， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 100 1 10 33 100 2 5 4 25 数学期望 113324 ()012342.6 10010100525 E X 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜 率为 2 2 ，且原点到直线FM的距离为 6 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若不经过点F的直线:(0,0)l ykxm km与椭圆C交于A，B两点，且与圆 22 1xy相切试探究ABF的周长是否为
36、定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由 【解答】解： （1）可设( ,0)F c，(0, )Mb，可得 2 2 b c ， 直线FM的方程为bxcybc， 即有 22 6 3 bc bc ，解得1b ，2c ，3a ， 则椭圆方程为 2 2 1 3 x y； （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 1 (0x ， 2 0)x ， 连接OA，OQ，在OAQ中， 2 222221 1111 2 |111 33 x AQxyxx ， 即 1 6 | 3 AQx，同理可得 2 6 | 3 BQx， 12 6 | |() 3 ABAQBQxx， 1212 666 |()332
37、3 333 ABAFBFxxxx， ABF的周长是定值2 3 第 21 页（共 21 页） 22 （12 分）设函数( )()( x e f xa xlnx a x 为常数） （1）当1a 时，求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； （2）若函数( )f x在(0,1)内存在唯一极值点 0 xx，求实数a的取值范围，并判断 0 xx是 ( )f x在(0,1)内的极大值点还是极小值点 【解答】解： （1）当1a 时，( ) x e f xxlnx x ， 2 (1)1 ( )1 x ex fx xx ， f （1）0，f（1）1e， 故( )yf x在1x 处的切线方程1ye， （2） 2
38、 (1)11 ( )() xx exxe fxaaa xxxx ， 又(0,1)x， 1 0 x x ， 由题意可得，0 x e a x 在(0,1)上有一个零点，设为 0 x， 令( ) x e g xa x ，(0,1)x，则 2 (1) ( ) x ex g x x ， 可得，01x时，( )0g x，( )g x单调递减，且0x 时，( )g x ， 若存在 0 x，使得 0 ()0g x，则根据零点判定定理可知g（1）0ea， 即ae， 此时当 0 (0,)xx时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递减，当 0 (xx，1)时，( )0g x ， ( )0fx，( )f x单调递增， 故 0 xx为函数的极小值
