1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（理科）学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |230Ax xx ， |20Bx x，则(AB ) A( 1,2) B(2,3) C( 3, 1) D(,2) 2 （5 分）复数 3 1 i z i 的模| (z ) A1 B2 C2 D5 3 （5 分）某商家统计了去年P
2、，Q两种产品的月销售额（单位：万元） ，绘制了月销售额 的雷达图，图中A点表示P产品 2 月份销售额约为 20 万元，B点表示Q产品 9 月份销售额 约为 25 万元 根据图中信息，下面统计结论错误的是( ) AP产品的销售额极差较大 BP产品销售额的中位数较大 CQ产品的销售额平均值较大 DQ产品的销售额波动较小 4 （5 分） 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x的系数为( ) A12 B16 C20 D24 5 （5 分）设 0.6 0.6a ， 1.5 0.6b ， 0.6 1.5c ，则a，b，c的大小关系( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 6 （5 分）若sin2
3、cos，则 2 cossin2( ) 第 2 页（共 19 页） A 12 5 B 9 5 C1 D 4 5 7 （5 分）已知非零向量a，b满足| 2|ab，且()abb，则a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8 （5 分）设，是两个平面，m，n是两条直线，下列命题错误 的是( ) A如果m，/ /n，那么mn B如果/ /，m，那么/ /m C如果mn，m，/ /n，那么 D如果内有两条相交直线与平行，那么/ / 9 （5 分）甲乙两队进行排球决赛，赛制为 5 局 3 胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队 以3:1获胜的概率为( ) A 3 16 B 1 4 C
4、3 8 D 1 2 10 （5 分）下列函数中，其图象与函数ylgx的图象关于点(1,0)对称的是( ) A(1)ylgx B(2)ylgx C 0.1 log(1)yx D 0.1 log(2)yx 11 （5 分）关于函数( ) |sin|sin|f xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数( )f x在区间( 2 ，0)单调递减 ( )f x在，有 4 个零点( )f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 12 （5 分）抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过F且斜率为 1 的直线与C交于A，B 两点，若| 8AB ，则(p ) A 1 2 B
5、1 C2 D4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数( )f x在R单调递减，且为奇函数，则满足(1)(3)0f xf x的x的 取值范围为 14（5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若ABC的面积为 222 4 abc ， 则A 第 3 页（共 19 页） 15 （5 分）设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直 径的圆与圆 222 xya交于P，Q两点，若| |PQOF，则C的渐近线方程为 16（5 分） 已知正三棱柱 111 A
6、BCABC的六个顶点都在球O的表面上，3AB ， 异面直线 1 AC 与BC所成角的余弦值为 3 10 ，则 1 AA ，球O的表面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）设 n S是数列 n a的前n项和，且 1 1a ， 11nnn aSS （1）证明：数列 1 n S 是等差数列；
7、 （2）求 n a的通项公式 18 （12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元， 未售出的产品，每1t亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分 布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以x（单位：t， 100150)x剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度 内经销该农产品的利润 （）将T表示为x的函数； （）根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率； （）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概
8、率 （例如： 若100x，110)则取105x ， 且105x 的概率等于需求量落入100，110)的频率，求T的数学期望 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为 AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC； （2） 若点M在棱BC上， 且二面角MPAC为30， 求PC与平面PAM所成角的正弦值 20 （12 分）已知圆 22 1: 270Oxyx，动圆 2 O过定点( 1,0)F 且与圆 1 O相切，圆心 2 O 的轨迹为曲线C （1）求C的方程； （2）设斜率为 1 的直线l交C于M，N两点，交y轴于D点，y轴交C于A
9、，B两点，若 | | |DMDNDADB，求实数的值 21 （12 分）已知函数 1 ( ) 1 x f xlnx x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）证明：在(1,)上存在唯一的 0 x，使得曲线ylnx在 0 xx处的切线l也是曲线 x ye 的切线 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点( 2, 4)M ，以原点
10、O为极 点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos （1）写出直线l的参数方程(为常数）和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与C交于A、B两点，且| | 40MAMB ，求倾斜角的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知0a ，0b 第 5 页（共 19 页） （1）证明： 3322 aba bab； （2）若2ab，求 33 ab的最小值 第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（理科）学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选
11、择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |230Ax xx ， |20Bx x，则(AB ) A( 1,2) B(2,3) C( 3, 1) D(,2) 【解答】解： | 13Axx ， |2Bx x， ( 1,2)AB 故选：A 2 （5 分）复数 3 1 i z i 的模| (z ) A1 B2 C2 D5 【解答】解： 3 1 i z i ， 3|3|10 | |5 1|1|2 ii z ii 故选：D 3
12、（5 分）某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元） ，绘制了月销售额 的雷达图，图中A点表示P产品 2 月份销售额约为 20 万元，B点表示Q产品 9 月份销售额 约为 25 万元 根据图中信息，下面统计结论错误的是( ) 第 7 页（共 19 页） AP产品的销售额极差较大 BP产品销售额的中位数较大 CQ产品的销售额平均值较大 DQ产品的销售额波动较小 【解答】解：根据图象可以看见P产品的销售额波动较大，故D对； P产品的销售额极差更大，故A对； Q产品的销售额基本维持在 25 万元向上，而P销售额相对较低且波动大，则Q销售额平均 值更大，故C对， 故选：B 4 （5 分）
13、24 (12)(1)xx的展开式中 3 x的系数为( ) A12 B16 C20 D24 【解答】解： 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x的系数为： 3311133 4143 111 21112CCCC 故选：A 5 （5 分）设 0.6 0.6a ， 1.5 0.6b ， 0.6 1.5c ，则a，b，c的大小关系( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解：函数0.6xy 为减函数； 故 0.61.5 0.60.6ab， 函数 0.6 yx在(0,)上为增函数； 故 0.60.6 0.61.5ac， 故bac， 故选：C 6 （5 分）若sin2cos，则 2 cos
14、sin2( ) A 12 5 B 9 5 C1 D 4 5 【解答】解：sin2cos，故tan2， 所以 2 2 222 cos2sincos12tan cossin21 sincos1tan ， 故选：C 7 （5 分）已知非零向量a，b满足| 2|ab，且()abb，则a与b的夹角为( ) 第 8 页（共 19 页） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：()abb， 2 ()ab ba bb 2 |cos,0a ba bb ， 2 | cos, | b a b a b 2 2 |1 2 2| b b ， ,0, a b， , 3 a b 故选：B 8 （5 分）设，是两个
15、平面，m，n是两条直线，下列命题错误 的是( ) A如果m，/ /n，那么mn B如果/ /，m，那么/ /m C如果mn，m，/ /n，那么 D如果内有两条相交直线与平行，那么/ / 【解答】解：m，/ /n，那么mn，满足直线与平面垂直的性质，所以A正确； / /，m，那么/ /m，满足两个平面平行的性质定理，所以B正确； 如果mn，m，/ /n，那么，、也可能相交，也可能平行，所以C不正 确； 如果内有两条相交直线与平行， 那么/ /，满足两个平面平行的判断定理，所以D正 确 故选：C 9 （5 分）甲乙两队进行排球决赛，赛制为 5 局 3 胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队 以3:1
16、获胜的概率为( ) A 3 16 B 1 4 C 3 8 D 1 2 【解答】解：甲乙两队进行排球决赛，赛制为 5 局 3 胜制， 第 9 页（共 19 页） 若甲乙两队水平相当， 最后甲队以3:1获胜由指前 3 局比赛中甲两胜一负，第 4 局比赛甲胜， 最后甲队以3:1获胜的概率为： 22 3 1113 ( ) ( )( ) 22216 PC 故选：A 10 （5 分）下列函数中，其图象与函数ylgx的图象关于点(1,0)对称的是( ) A(1)ylgx B(2)ylgx C 0.1 log(1)yx D 0.1 log(2)yx 【解答】解：设所求函数图象上任意一点( , )P x y，则
17、( , )P x y关于(1,0)对称的点(2,)xy在 ylgx上， 即(2)ylgx ， 所以 0.1 (2)log(2)ylgxx 故选：D 11 （5 分）关于函数( ) |sin|sin|f xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数( )f x在区间( 2 ，0)单调递减 ( )f x在，有 4 个零点( )f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【解答】解：()sin|sin()| sin|sin |( )fxxxxxf x则函数( )f x是偶函数，故 正确， 当( 2 x ，0)时，sin|sinxx ，|sin |sinxx ， 则( )si
18、nsin2sinf xxxx 为减函数，故正确， 第 10 页（共 19 页） 当0 x剟时，( )sin|sin| sinsin2sinf xxxxxx， 由( )0f x 得2sin0x 得0x 或x， 由( )f x是偶函数，得在，)上还有一个零点x ，即函数( )f x在，有 3 个 零点，故错误， 当sin| 1x ，|sin| 1x 时，( )f x取得最大值 2，故正确， 故正确是， 故选：A 12 （5 分）抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过F且斜率为 1 的直线与C交于A，B 两点，若| 8AB ，则(p ) A 1 2 B1 C2 D4 【解答】解：由题可知
19、( 2 p F，0)，则该直线AB的方程为： 2 p yx， 代入 2 2ypx，化简可得 2 2 30 4 p xpx 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则有 12 3xxp | 8AB ， 有 12 8xxp，解得2p ， 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数( )f x在R单调递减，且为奇函数，则满足(1)(3)0f xf x的x的 第 11 页（共 19 页） 取值范围为 (1,) 【解答】解：( )f x在R单调递减，且为奇函数， 则由(1)(3)0f xf x可得
20、(1)(3)(3)f xf xfx ， 则有13xx ， 解可得，1x ， 故答案为：(1,) 14（5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若ABC的面积为 222 4 abc ， 则A 3 4 【解答】解：ABC的面积为 222 1 sin 42 abc bcA ， 又 222 2cosabcbcA，可得 222 2cosabcbcA ， 2cos1 sin 42 bcA bcA ，可得cossinAA，即tan1A ， (0, )A， 3 4 A 故答案为： 3 4 15 （5 分）设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以O
21、F为直 径的圆与圆 222 xya交于P，Q两点， 若| |PQOF， 则C的渐近线方程为 yx 【解答】解：如图， 以OF为直径的圆的方程为 22 0xycx， 又圆O的方程为 222 xya， PQ所在直线方程为 2 a x c 第 12 页（共 19 页） 把 2 a x c 代入 222 xya，得 2ab PQ c ， 再由| |PQOF，得 2ab c c ，即 22 2abab， ab，解得双曲线的渐近线方程为：yx 故答案为：yx 16（5 分） 已知正三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在球O的表面上，3AB ， 异面直线 1 AC 与BC所成角的余弦值为 3 10 ，则
22、 1 AA 4 ，球O的表面积为 【解答】解：由题意 11 / /BCBC， 所以 11 AC B为异面直线 1 AC与BC所成角， 设 1 AAb， 在 三 角 形 11 AC B中 ， 11 ABAC， 取 11 BC的 中 点Q， 11 11 22 1 1 133 2 cos 210 3 BC AC B AC b ， 所以4b ； 外接球的球心为过底面外接圆的圆心做底面的垂线与中截面的交点， 设外接球的半径为R，底面半径为r， 则 222 ( ) 2 b Rr， 因为底面为等边三角形， 所以 3 2 sin 3 r ，即3r ， 所以 2 347R ， 所以球O的表面积为4728； 故答
23、案分别为：4，28 第 13 页（共 19 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）设 n S是数列 n a的前n项和，且 1 1a ， 11nnn aSS （1）证明：数列 1 n S 是等差数列； （2）求 n a的通项公式 【解答】解： （1）因为 11nnn aSS ，所以 11
24、nnnn SSS S 两边同除以 1nn S S 得 11 1 1SnSn 因为 1 1a ，所以 1 1 1S 因此数列 1 Sn 是首项为1，公差为1的等差数列 （2）由（1）得 1 1(1)( 1)nn Sn ， 1 n S n 当2n时， 1 1 (1) nnn aSS n n 于是 1 (1) n a n n （首项不符合通项） ， 故 1(1) 1 (2) (1) n n a n n n 18 （12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元， 未售出的产品，每1t亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分 布直方图，如图所
25、示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以x（单位：t， 第 14 页（共 19 页） 100150)x剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度 内经销该农产品的利润 （）将T表示为x的函数； （）根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率； （）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 （例如： 若100x，110)则取105x ， 且105x 的概率等于需求量落入100，110)的频率，求T的数学期望 【解答】解： （）由题意得，当100x，130)时，500300(130
26、)80039000Txxx， 当130x，150)时，500 13065000T ， 80039000,100,130) 65000,130,150 xx T x （）由（）知，利润T不少于 57000 元，当且仅当120150x剟 由直方图知需求量120X ，150的频率为 0.7， 所以下一个销售季度的利润T不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7 （）依题意可得T的分布列如图， T 45000 53000 61000 65000 p 0.1 0.2 0.3 0.4 所以450000.1530000.2610000.3650000.459400ET 19 （12 分）如图，在三棱锥P
27、ABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为 AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC； （2） 若点M在棱BC上， 且二面角MPAC为30， 求PC与平面PAM所成角的正弦值 第 15 页（共 19 页） 【解答】 （1）证明：连接BO， 2 2ABBC，O是AC的中点， BOAC，且2BO ， 又4PAPCPBAC， POAC，2 3PO ， 则 222 PBPOBO， 则POOB， OBACO， PO平面ABC； （2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： (0A，2，0)，(0P，0，2 3)，(0C，2，0)，(2B，0，0)， ( 2BC
28、 ，2，0)， 设( 2BMBC ，2，0)，01 则( 2AMBMBA ，2，0)( 2 ，2，0)(22，22，0)， 则平面PAC的法向量为(1m ，0，0)， 设平面MPA的法向量为(nx，y，) z， 则(0PA，2，2 3)， 则22 30n PAyz ，(22 )(22)0n AMxy 令1z ，则3y ， (1) 3 1 x ， 第 16 页（共 19 页） 即 (1) 3 ( 1 n ，3，1)， 二面角MPAC为30， 3 cos30| |2 m n m n ， 即 2 (1) 3 3 1 21 (3)13 1 1 ， 解得 1 3 或3（舍)， 则平面MPA的法向量(2
29、3n ，3，1)， (0PC ，2，2 3)， PC与平面PAM所成角的正弦值sin|cosPC， 2 32 34 33 | | 1641616 n 20 （12 分）已知圆 22 1: 270Oxyx，动圆 2 O过定点( 1,0)F 且与圆 1 O相切，圆心 2 O 的轨迹为曲线C （1）求C的方程； （2）设斜率为 1 的直线l交C于M，N两点，交y轴于D点，y轴交C于A，B两点，若 | | |DMDNDADB，求实数的值 【解答】解： （1）圆 1 O的圆心为(1,0)，半径为2 2，点F在圆 1 O内，故圆 2 O与圆 1 O相内 切 设圆 2 O的半径为r，则 2 |O Fr， 2
30、1 | 2 2O Or，从而 212 | 2 2O OO F 第 17 页（共 19 页） 因为| 22 2FF ，所以曲线C是以点F ( 1,0)，(1,0)F为焦点的椭圆 由2a ，1c ，得1b ，故C的方程为 2 2 1 2 x y （2）设: l yxt， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则(0, )Dt， 22 111 |(0)()2|DMxytx， 22 222 |(0)()2 |DNxytx yxt与 2 2 1 2 x y联立得 22 34220xtxt 当 2 8(3) 0t时，即33t剟时， 2 12 22 3 t x x 所以 2 12 4|1|
31、| | 2| 3 t DMDNx x 由（1）得(0, 1)A，(0,1)A，所以 2 | | |1| |1| |1|DADBttt 等式| | |DMDNDADB可化为 2 2 4|1| |1| 3 t t 当33t剟且1t 时， 4 3 当1t 时，可以取任意实数 综上，实数的值为 4 3 21 （12 分）已知函数 1 ( ) 1 x f xlnx x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）证明：在(1,)上存在唯一的 0 x，使得曲线ylnx在 0 xx处的切线l也是曲线 x ye 的切线 【解答】解： （1）f ( ) x定义域为(0，1)(1，)， 2 2 1 ( )0 (1
32、) x fx xx 因此f ( ) x在(0,1)单调递增，在(1,)单调递增 （2）曲线在ylnx在 0 xx处切线l的方程为 0 1 y x 0 1xlnx 设l与曲线 x ye相切于点 1 (x， 1) x e，则消去 1 x得 0 0 0 1 0 1 x lnx x ，即f 0 ()0x 于是当且仅当 0 x是f ( ) x的零点时，l是曲线 x ye的切线 因为f （e） 12 10 11 e ee ，f 2 2 2 3 ()0 1 e e e ，f ( ) x在(1,)单调递增， 所以f ( ) x在(1,)上存在唯一零点 第 18 页（共 19 页） 所以在(1,)上存在唯一的
33、0 x， 使得曲线ylnx在 0 xx处的切线l也是曲线 x ye的切线 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点( 2, 4)M ，以原点O为极 点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos （1）写出直线l的参数方程(为常数）和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与C交于A、B两点，且| |
34、40MAMB ，求倾斜角的值 【解答】解： （1）倾斜角为的直线l过点( 2, 4)M ， 直线l的参数方程是 2cos 4sin xt yt ，(t是参数） ， 曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos， 曲线C的直角坐标方程是： 2 2yx； （2）把直线的参数方程代入 2 2yx，得 22 sin(2cos8sin )200tt， 12 2 2cos8sin sin tt ， 1 2 2 20 sin t t ， 根据直线参数的几何意义 1 2 2 20 | |40 sin MA MBt t ， 故 4 或 3 4 ， 又 22 (2cos8sin )80sin0， 故 4 选修选修 4
35、-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知0a ，0b （1）证明： 3322 aba bab； （2）若2ab，求 33 ab的最小值 【解答】解： （1） 33222 aba baba 2 ()abb ()ba 222 ()()() ()ab ababab 第 19 页（共 19 页） 0a ，0b ，0ab ， 2 ()0ab， 2 () () 0abab 于是 3322 aba bab （2）2ab， 3322 ()()abab aabb 222 2()2()386aabbababab 2 ()1 2 ab ab ，当且仅当1ab等号成立， 862ab 故当1ab时， 33 ab取最小值 2
