1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省阜阳市高三（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省阜阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 | 31Axx ， 2 |412 0Bx xx，则(AB ) A 2，1) B( 2, 1) C( 1，6 D( 3, 1) 2 （5 分）已知复数2zi，z为z的共轭复数，则(1)(z z ) A5i B5i C7i D7i 3 （5 分）已知平面向量(2,1)a ，(2,4)b ，则向量a，b夹角的余弦值为( ) A 3 5 B 4 5 C 3 5
2、 D 4 5 4 （5 分） 某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示， 在这一年中的水、电、 交通开支 （单 位 ： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为( ) A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 5 （5 分）已知tan2，则cos(2)( 4 ) A 2 6 B 2 6 C 42 6 D 42 6 6 （5 分）若x，y满足约束条件 0 2 1 0 xy xy x ，则4zxy的最大值为( ) A5 B1 C5 D6 7（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点到
3、它的渐近线的距离为 2， 点(32P ， 2)是双曲线C上的一点，则双曲线C的离心率为( ) A3 B 2 3 3 C 13 3 D 13 3 第 2 页（共 19 页） 8 （5 分）将函数( )sin(3) 6 f xx 的图象向右平移(0)m m 个单位长度，得到函数( )g x的 图象，若( )g x为奇函数，则m的最小值为( ) A 9 B 2 9 C 18 D 24 9 （5 分）已知:293p lnlnlnlna，q：函数( ) |f xlnxa在(0， 4 e上有 2 个零点，则 p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10
4、（5 分） 一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 1 r， 大圆柱底面半径为 2 r，如图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为 1 h如图 2 放置容器， 液面以上空余部分的高为 2 h则 1 2 ( h h ) A 2 1 r r B 2 2 1 () r r C 3 2 1 () r r D 2 1 r r 11 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足( )()f xfx，且在0，)上是增函数，不 等式(2)( 1)f axf对于1x，2恒成立，则a的取值范围是( ) A 1.5，1 B 1，0.5 C 0.5，0 D0，1 12 （5 分）已知函
5、数 2 ( )() x e f xt lnxx xx 恰有一个极值点为 1，则实数t的取值范围是( ) A 1 (, 33 e B 1 (, 3 C 1 (, 2 D 1 (, 23 e 二、填空题（共二、填空题（共 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和是 n S，公差3d ，且 1 a、 3 a、 8 a成等比数列， 则 10 S 14 （5 分）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一直角三角形最短的边称为勾， 另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数现从1 5这 5 个数中 随机选取 3 个
6、不同的数，这三个数为勾股数的概率为 15 （5 分）如图，圆锥VO的母线长为l，轴截面VAB的顶角150AVB，则过此圆锥的 顶点作该圆锥的任意截面VCD，则VCD面积的最大值是 ，此时VCD 16 （5 分）过抛物线 2 :4C xy的准线上任意一点P作抛物线的切线PA、PB，切点分别 为A、B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是 三、解答题共三、解答题共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 17 （ 10分 ）ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 已 知 ( s i ns i n)
7、()s i ns i nABabbCcC点D为边BC的中点，且7AD （1）求A； （2）若2bc，求ABC的面积 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ，且 1 1 3 n n n a a a （1）证明数列 1 1 n a 是等差数列，并求数列 n a的通项公式 （2）若 2 1 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S 19 （12 分） 中央广播电视总台 2019 主持人大赛是中央人民广播电视总台成立后推出的 第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、 俞虹、李宏岩等 17 位担任专业评审从 2019 年 10 月 26
8、日起，每周六20:00在中央电视台 综合频道播出， 某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况， 分别在大一和大二两个 年级各随机抽取了 100 名大学生进行调查 如图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的 时间频率分布直方图和频数分布表， 并将场均关注比赛的时间不低于 80 分钟的学生称为 “赛 第 4 页（共 19 页） 迷” 大二学生场均关注比赛时间的频数分布表 时间分组 频数 0，20) 12 20，40) 20 40，60) 24 60，80) 22 80，100) 16 100，120 6 （1）将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由； （2）已知抽到
9、的 100 名大一学生中有男生 50 名，其中 10 名为“赛迷” 试完成下面的22 列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“塞迷”与性别有关 非“塞迷” “塞迷” 合计 男 女 合计 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 第 5 页（共 19 页） 20 （12 分）如图 1，在等腰梯形 12 ABF F中，两腰 21 2AFBF，底边6AB ， 12 4F F ， D、C是AB的三等分点，E是 12 F F的中点
10、分别沿CE，DE将四边形 1 BCEF和 2 ADEF折 起，使 1 F、 2 F重合于点F，得到如图 2 所示的几何体在图 2 中，M、N分别为CD、EF 的中点 （1）证明：MN 平面ABCD （2）求几何体ABFDCE的体积 21 （12 分）已知椭圆 2 2 2 :1(1) x Cya a 的左顶点为A，右焦点为F，斜率为 1 的直线与 椭圆C交于A、B两点，且OBAB，其中O为坐标原点 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、N两点， 若点P满足3OPPM， 且NP与椭圆C的另一个交点为Q，求 | | NP PQ 的值 22 （12 分）设函
11、数 1 ( )f xxtlnx x ，其中(0,1)x，t为正实数 （1）若不等式( )0f x 恒成立，求实数t的取值范围； （2）当(0,1)x时，证明 2 1 1 x xxe lnx x 第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年安徽省阜阳市高三（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省阜阳市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 | 31Axx ， 2 |412 0Bx xx，则(AB ) A 2，1) B( 2, 1) C( 1，6 D( 3, 1)
12、 【解答】解：集合 2 |412 0 | 26Bx xxxx剟?，集合 | 31Axx ， | 21ABxx ， 故选：A 2 （5 分）已知复数2zi，z为z的共轭复数，则(1)(z z ) A5i B5i C7i D7i 【解答】解：2zi，2zi， 则(1)(3)(2)z zii， 7i 故选：D 3 （5 分）已知平面向量(2,1)a ，(2,4)b ，则向量a，b夹角的余弦值为( ) A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解：(2,1)a ，(2,4)b ， 84 cos, 5|520 a b a b a b 故选：B 4 （5 分） 某单位去年的开支分布的折线图如
13、图 1 所示， 在这一年中的水、电、 交通开支 （单 位 ： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为( ) 第 7 页（共 19 页） A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 【解答】解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%， 由条形图得去年水、电、交通支出合计为： 250450100800（万元） ， 共中水费支出 250（万元） ， 去年的水费开支占总开支的百分比为： 250 20%6.25% 800 故选：A 5 （5 分）已知tan2，则cos(2)( 4 ) A 2 6 B 2 6 C
14、 42 6 D 42 6 【解答】解：已知tan2， 则 22 22 22 2sincos cos(2)(sin2cos2 ) 422 cossin sincos 2 2 2 2tan12 2 21242 21236 tan tan ， 故选：D 6 （5 分）若x，y满足约束条件 0 2 1 0 xy xy x ，则4zxy的最大值为( ) A5 B1 C5 D6 【解答】解：由约束条件 0 2 1 0 xy xy x 作出可行域如图， 联立 2 0 xy xy ，解得(1,1)C 第 8 页（共 19 页） 化目标函数4zxy为4yxz ，由图可知，当直线4yxz 过点C时， 直线在y轴上
15、的截距最大，z有最大值为 5 故选：C 7（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点到它的渐近线的距离为 2， 点(32P ， 2)是双曲线C上的一点，则双曲线C的离心率为( ) A3 B 2 3 3 C 13 3 D 13 3 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的焦点到它的渐近线的距离为 2， 可得2b ，点( 3 2P ，2)是双曲线C上的一点， 可得 2 184 1 4a ，解得3a ，则9413c ， 所以双曲线的离心率为： 13 3 c e a 故选：C 8 （5 分）将函数( )sin(3) 6 f xx 的图象
16、向右平移(0)m m 个单位长度，得到函数( )g x的 图象，若( )g x为奇函数，则m的最小值为( ) A 9 B 2 9 C 18 D 24 【解答】解：将函数( )sin(3) 6 f xx 的图象向右平移(0)m m 个单位长度， 得到函数( )sin(33) 6 g xxm 的图象， 又( )g x为奇函数， 3 6 mk ，kZ，解得 1 183 mk ，kZ， 0m，可得 18 min m ， 第 9 页（共 19 页） 故选：C 9 （5 分）已知:293p lnlnlnlna，q：函数( ) |f xlnxa在(0， 4 e上有 2 个零点，则 p是q的( ) A充分不必
17、要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：:293p ln lnlnlna，即 1 2 233 2 lnlnln lna，即42lnlna，即016a， q：函数( ) |f xlnxa在(0， 4 e上有 2 个零点，即|lnxa，在(0， 4 e上有 2 个交点， 则04a， 则p是q的必要不充分条件， 故选：B 10 （5 分） 一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 1 r， 大圆柱底面半径为 2 r，如图 1 放置容器时，液面以上空余部分的高为 1 h如图 2 放置容器， 液面以上空余部分的高为 2 h则 1 2 ( h
18、 h ) A 2 1 r r B 2 2 1 () r r C 3 2 1 () r r D 2 1 r r 【解答】解：在图 1 中，液面以上空余部分的体积为： 2 11 r h， 在图 2 中，液面以上空余部分的体积为： 2 22 r h， 22 1122 r hr h， 第 10 页（共 19 页） 212 21 () hr hr 故选：B 11 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足( )()f xfx，且在0，)上是增函数，不 等式(2)( 1)f axf对于1x，2恒成立，则a的取值范围是( ) A 1.5，1 B 1，0.5 C 0.5，0 D0，1 【解答】解：( )f
19、 x满足( )()f xfx， 故( )f x为偶函数，且在0，)上是增函数， 根据偶函数的对称性可知，(,0)上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大， 不等式(2)( 1)f axf对于1x，2恒成立， 则|2| 1ax， 12 1ax剟， 即31ax剟对于1x，2恒成立， 根据一次函数的性质可得， 31 3 21 a a 剟 剟 ， 解可得， 3 1 2 a剟 故选：A 12 （5 分）已知函数 2 ( )() x e f xt lnxx xx 恰有一个极值点为 1，则实数t的取值范围是( ) A 1 (, 33 e B 1 (, 3 C 1 (, 2 D 1 (, 23 e 【解答】解：
20、由题意知函数的定义域为(0,)， 第 11 页（共 19 页） 222 (1)(2)() (1)12 2 ( )(1) x x e xxt xe x fxt xxxx ， 函数( )f x恰有一个极值点 1， ( )0fx 有且仅有一个解，即1x 是它的唯一解，也就是另一个方程0 2 x e t x 无解， 令( )(0) 2 x e g xx x ，则 2 (1) ( )0 (2) x xe g x x ， 函数( )g x在(0,)上单调递增， 从而 1 ( )(0) 2 g xg， 所以当 1 2 t时， 方程0 2 x e t x 无 解， 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 20
21、 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和是 n S，公差3d ，且 1 a、 3 a、 8 a成等比数列， 则 10 S 175 【解答】解：由题意，数列 n a是公差为 3 的等差数列，则 311 26aada， 81 21aa 1 a、 3 a、 8 a成等比数列，根据等比中项的性质，可得 2 318 aa a，即 2 111 (6)(21)aaa 解得 1 4a 等差数列 n a的首项为 4 10 109 1043175 2 S 故答案为：175 14 （5 分）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一直角三角形最短的边称为勾， 另一直角边为股
22、，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数现从1 5这 5 个数中 随机选取 3 个不同的数，这三个数为勾股数的概率为 1 10 【解答】解：现从1 5这 5 个数中随机选取 3 个不同的数， 基本事件总数 3 5 10nC， 第 12 页（共 19 页） 这三个数为勾股数包含的基本事件(a，b，) c有：(3，4，5)，共 1 个， 这三个数为勾股数的概率为 1 10 p 故答案为： 1 10 15 （5 分）如图，圆锥VO的母线长为l，轴截面VAB的顶角150AVB，则过此圆锥的 顶点作该圆锥的任意截面VCD，则VCD面积的最大值是 1 2 ，此时VCD 【解答】解：过此圆锥的顶点作该圆
23、锥的任意截面VCD，则VCD面积的最大值时是等腰 直角三角形时，此时 2 11 1 sin90 22 VCD S ，且45VCD 故答案分别为： 1 2 ，45 16 （5 分）过抛物线 2 :4C xy的准线上任意一点P作抛物线的切线PA、PB，切点分别 为A、B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是 4 【解答】解：设 1 (A x， 2 1 ) 4 x ， 2 (B x， 2 2 ) 4 x ，由 2 4xy可得 2 4 x y ，所以 2 x y ， 所以直线PA，PB的方程分别为： 2 11 1 () 42 xx yxx， 2 222 () 422 xxx yx， 两个
24、方程联立可得 12 ( 2 xx P ， 12 ) 4 x x ，又有P在准线上，所以 12 1 4 x x ， 所以 12 4x x ， 设直线AB的方程为：ykxm， 代入抛物线的方程可得： 2 440xkxm，可得 12 4x xm ， 所以可得1m ，即直线恒过(0,1)点，即直线恒过焦点(0,1)， 即直AB的方程为：1ykx，代入抛物线的方程： 2 440xkx， 12 4xxk，所以 2 1212 ()242yyk xxk， A点到准线的距离与B点到准线的距离之和 2 12 244 4AFBFyyk ，当0k 时， 距离之和最小且为 4，这时直线AB平行于x轴 第 13 页（共
25、19 页） 故答案为：4 三、解答题共三、解答题共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 17 （ 10分 ）ABC的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 已 知 ( s i ns i n) ()s i ns i nABabbCcC点D为边BC的中点，且7AD （1）求A； （2）若2bc，求ABC的面积 【解答】解： （1）ABC中，(sinsin )()sinsinAB abbCcC； (sinsin )()(sinsin )AB abCB c， 由正弦定理可得，()()()ab abcb c， 化简可得，
26、222 bcabc， 由余弦定理可得， 222 1 cos 22 bca A bc ， 0A， 3 A ， （2） 222 bcabc，2bc， 2222 3acbc， 2 B ， 6 C ； ； 在直角BAD中， 22222 3 ( )72 24 a ADcccc，2 3a ； 1 2 3 2 ABC Sac 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ，且 1 1 3 n n n a a a （1）证明数列 1 1 n a 是等差数列，并求数列 n a的通项公式 （2）若 2 1 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1
27、）证明：数列 n a满足 1 1a ，且 1 1 3 n n n a a a 则： 1 11111 1 1112 1 3 n nnn n a aaa a （常数） ， 故数列数列 1 1 n a 是以 1 11 12a 为首项， 1 2 为公差的等差数列 所以 1111 (1) 1222 n nn a ，整理得 2 1 n a n （首项符合通项） 故 2 1 n a n （2）由于 2 1 n a n ，所以 2 1 n a n 故 22 12 nn n n n b a ， 设2n n cn， 则： 12 1 22 22n n Tn， 231 21 22 22n n Tn ， 得： 1 2(
28、21) 2 2 1 n n n Tn ， 所以 1 (1) 22 n n Tn 所以数列 n b的前n项和(1) 21 2 nn n T Sn 19 （12 分） 中央广播电视总台 2019 主持人大赛是中央人民广播电视总台成立后推出的 第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、 俞虹、李宏岩等 17 位担任专业评审从 2019 年 10 月 26 日起，每周六20:00在中央电视台 综合频道播出， 某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况， 分别在大一和大二两个 年级各随机抽取了 100 名大学生进行调查 如图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的
29、时间频率分布直方图和频数分布表， 并将场均关注比赛的时间不低于 80 分钟的学生称为 “赛 迷” 大二学生场均关注比赛时间的频数分布表 时间分组 频数 0，20) 12 第 15 页（共 19 页） 20，40) 20 40，60) 24 60，80) 22 80，100) 16 100，120 6 （1）将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由； （2）已知抽到的 100 名大一学生中有男生 50 名，其中 10 名为“赛迷” 试完成下面的22 列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“塞迷”与性别有关 非“塞迷” “塞迷” 合计 男 女 合计 附： 2 2 ()
30、()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 【解答】解： （1）由频率分布直方图知，大一学生是“赛迷”的概率为 1 (0.01000.0025)200.25P ； 由频数分布表知，大二学生是“赛迷”的概率为 第 16 页（共 19 页） 2 166 0.22 100 P ； 因为 12 PP，所以大一年级的学生是“赛迷”的概率大； （2）由题意填写22列联表如下： 非“赛迷” “赛迷” 合计 男 40 10 50 女 35 15 50 合计 7
31、5 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算，得 2 2 100 (40 15 10 35)4 1.3332.706 75 25 50 503 K ， 所以没有90%的把握认为“塞迷”与性别有关 20 （12 分）如图 1，在等腰梯形 12 ABF F中，两腰 21 2AFBF，底边6AB ， 12 4F F ， D、C是AB的三等分点，E是 12 F F的中点分别沿CE，DE将四边形 1 BCEF和 2 ADEF折 起，使 1 F、 2 F重合于点F，得到如图 2 所示的几何体在图 2 中，M、N分别为CD、EF 的中点 （1）证明：MN 平面ABCD （2）求几何体ABFDCE的体积
32、 【解答】解： （1）证明：连结DN，由题意得CNDN，2CECF， MNCD，DNEF，CNEF， DNCNN，EF平面CDN， MN 平面CDN，EFMN， / /EFBC，MNBC， 第 17 页（共 19 页） CDBCC，MN平面ABCD （2）解：设几何体ABFDCE高为2hEF， 几何体ABFDCE的体积： 11 23 122 2 22 CDN VShCDMNh 21 （12 分）已知椭圆 2 2 2 :1(1) x Cya a 的左顶点为A，右焦点为F，斜率为 1 的直线与 椭圆C交于A、B两点，且OBAB，其中O为坐标原点 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 设过点F且与直线
33、AB平行的直线与椭圆C交于M、N两点， 若点P满足3OPPM， 且NP与椭圆C的另一个交点为Q，求 | | NP PQ 的值 【解答】解： （1）由题意得，设直线AB的方程：xya，与椭圆联立整理得： 22 (1)20ayay， 2 2 1 B a y a ， 3 22 2 11 B aaa xa aa ， 因为OBAB， 3 2 1 B B ya xaa ，1a ，解得： 2 3a ， 所以椭圆C的标准方程： 2 2 1 3 x y； （2）由（1）得，( 2F，0)所以由题意得直线MN的方程为：2yx， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 3 (Q x， 3) y，
34、 将2yx代入 2 2 1 3 x y，得 2 46 230xx， 第 18 页（共 19 页） 1212 3 23 , 24 xxx x， 1212 1 (2)(2) 4 y yxx ， 3OPPM， 3 4 OPOM，则 11 33 (,) 44 Pxy， 设 | | NP m PQ ，则NPmPQ，即 12123131 3333 (,)(,) 4444 xxyym xx yy， 312 312 3(1)1 4 3(1)1 4 m xxx mm m yyy mm ， 点 3 (Q x， 3) y在椭圆C上， 22 1212 1 3(1)13(1)1 1 344 mm xxyy mmmm ，
35、 整理得 2 2222 11221212 222 9(1)1113(1) 1 ()()()1 163323 mm xyxyx xy y mmm ， 由上知， 1212 1 0 3 x xy y，且 22 12 12 1,1 33 xx yy， 2 2 9(1)1 1 16 m m ，即 2 718250mm，解得 25 7 m 或1m （舍)， 故 |25 |7 NP PQ 22 （12 分）设函数 1 ( )f xxtlnx x ，其中(0,1)x，t为正实数 （1）若不等式( )0f x 恒成立，求实数t的取值范围； （2）当(0,1)x时，证明 2 1 1 x xxe lnx x 【解答
36、】解： （1）不等式( )0f x 即 1 0tlnxx x ，记 1 ( ),(0,1)F xtlnxxx x ， 依题意， 函数( )0F x 在(0,1)上恒成立， 2 22 1 () 1 ( )1 x x t t x F x xxx ， 由( 0 , 1 )x可知， 2 1 2 x x ， 当02t 时，( )0F x，此时函数( )F x在(0,1)上单调递减，故( )F xF（1）0满足 条件； 当2t 时，存在 0 (0,1)x 使得 0 ()0F x， 第 19 页（共 19 页） 由 2 11x yx xx 的性质知， 0 (0,)xx时，( )0F x； 0 (xx，1)时
37、，( )0F x， 则函数( )F x在 0 (0,)x上单减，在 0 (x，1)上单增， 因为F（1）0，所以 0 ()0F x，则( )0F x 不恒成立，即2t 不满足条件 综上，实数t的取值范围为(0，2； （2）证明：由常见不等式可知，当(0,1)x时， 1 1lnx x ， 要 证 2 1 1 x e l n xxx x ， 只 需 证 22 111 (1)1(1)(1) x exxx xxx ， 即 证 2 1(1 ) (1 ) x xxx e xx ， 又(0,1)x，故只需证 2 (1) x ex，即证 2 (1)0 x ex， 令 2 ( )(1) x h xex，(0,1)x，则( )22 x h xex，( )2 x h xe， 易知当(0,2)xln时，( )0h x，( )h x单减；当( 2,1)xln时，( )0h x，( )h x单增， ( )(2)2 2 min h xh lnln ，又(0)1h ，h（1）40e， ( )0h x 在(0,1)上恒成立，即函数( )h x在(0,1)上为减函数， ( )(0)0h xh，即 2 (1)0 x ex，即得证
