1、天天舟舟文文化化 2020 年年 3 月月全全国国高高三三质质量量检检测测 理理科科数数学学 本试卷总分 150 分 考试时间 120 分钟。 一、 选择题:本题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 2 2 ( , )1 ,( , )3 2 x x Ax yyBx y y=,则 AB 中的元素的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.复数 2 3 12 i z i + =+ 在复平面内对应的点到原点的距离是 A. 2 B. 5 C. 10 D. 2 3 3.虚拟现实(VR)技术被认为是经济发展的新增长点.某地
2、区引进 VR 技术后,VR 市场收入(包 含软件收人和硬件收入)逐年翻一番，据统计该地区 VR 市场收人情况如下图所示，则下列 说法错误的是 A.该地区 2019 年的 VR 市场总收入是 2017 年的 4 倍 B.该地区 2019 年的 VR 硬件收入比 2017 年和 2018 年的硬件收入总和还要多 C.该地区 2019 年的 VR 软件收入是 2018 年的软件收入的 3 倍 D.该地区 2019 年的 VR 软件收天是 2017 年的软件收入的 6 倍 4.执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 0,则 中可填入 5. 3.设 11 3 52 14 4 4,loglogabc
3、 =，,则 a、b、c 的大小关系是. A. a0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M 在 C 的右支 上,MF1与 y 轴交 A 点，MAF 的内切圆与边 AF2切于点 B.若 12 4FFAB=,则 C 的渐近线方程为 A. 0xy= B. 30xy= C. 20xy= D. 20xy= 12.已知符号函数 1,0 0,0 1,0 x xx x = 0 . B. 4041 ()1 2 f= C. sgn(f(2k)=0(kZ) . D. sgn( ( )sgnf kk kZ= 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量( 3,2),(1, 1)ab=
4、= ? .若()aba+ ? ,则实数 的值为_；若 ()ab+ ? /(2)ab+ ? ,则实数 的值为_.(第 1 空 2 分,第 2 空 3 分) 14.若对 12233 1)1 nnn nnnn xC xC xC xC x+= +（两边求导,可得 112321 (1)23 nn nnn nxCC xC xnCx +=+通过类比推理,有 727 0127 (54)xaa xa xa x=+ ,可得 1237 237aaaa+的值为_。 15.已知数列 n a中,a1= 11. 1 2 1 nn aa nn + =+ + ,若对任意的m1.4,存在nN+,使得 an t2+mt 成立,则实
5、数 t 的取值范围是_。 16.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长是 a， S 是 A1B1的中点,P 是 A1D1的中点,点 Q 在正方形 DCC1D1及其内部运动,若 PQ/平面 SBC1，则点 Q 的轨迹的长度是_ 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22,23 题为选考 题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17(12 分) 如图所示,在ABC 中,点 D 在边 BC 上,且DAC=90 ,cosDAB= 2 2 3 ,AB=6. (1)若 sinC= 3 3 ,求 BC
6、 的值; (2)若 BC 边上的中线 AE=2,求 AC 的值. 18.(12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,AB /CD,ADCD,CD=2AB = 2AD,四边形 ADEF 是矩 形,平面BDE平面 ABCD,AF=AD. (1)证明:DE平面 ABCD; (2)若二面角 B-CF-D 的正弦值为 2 5 5 ,求 的值. 19.(12 分) 如图,已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,圆 E:(x-3)2+(y-2)2=16 与 C 交于 M、 N 两点,且 M、 E、F、N 四点共线. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设动点P在直线x= -1上,存在一个定点T
7、(t,0)(t0),动直线l经过点 T 与 C 交于 A、B 两点,直线 PA、PB、PT 的斜率分别记为 k1、k2、 k3，且 k1+k2-2k3为定值，求该定值和定点 T 的坐标. 20.(12 分) 随着智能手机的普及,手机计步软件迅速流行开来,这类软件能自动记载每日健步走的步数, 从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班 的员工中随机抽取 300 名,统计他们的每日健步走的步数(均不低于 4 千步,不超过 20 千步), 按步数分组，得到频率分布直方图如图所示。 (1)求这 300 名员工日行步数 x(单位:千步)的样本平均数(每组数据以该组区
8、间的中点值为代 表,结果保留整数). (2)由直方图可以认为该企业员工的日行步数 (单位:千步)服从正态分布 N(,2),其中 为样 本平均数,标准差的近似值为2,求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18的人数. (3)用样本估计总体,将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取 2 人作为“日行万步”活 动的慰问奖励对象，规定:日行步数不超过 8 千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励, 奖励金额每人 0 元;日行步数为 814 千步者为“一般生活 方式者”,奖励金额为每人 100 元;日行步数为 14 千步以 上者为“超健康生活方式者”,奖励金额为每人200元.求工 会慰问奖
9、励金额 X(单位:元)的分布列和数学期望. 附:若随机变量 服从正态分布 N(,2),则 P(- +)0.682 7,P(- 2+2)0.9545, P(- 3 + 3)0.997 3. 21.(12 分) 已知函数 2 1 ( )ln ()f xax aR x =+ (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 x1、x2(x1x2)是 f(x)的两个零点,证明: 21 2 ln() 10 e axx a + (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分。 22.选修 4- 4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 虫,曲线 C1的参数方程为 2cos ( 2sin x y = = 为参数),直线 C2的参数方程 2 ( xat a yt = + = 为常数且 a0,t 为参数). (1)求 C1和 C2的直角坐标方程; (2)若 C1和 C2相交于 A,B 两点,以线段 AB 为一条边作 C1的内接矩形 ABCD,当矩形 ABCD 的面积取最大值时,求 a 的值. 23.选修 4- 5:不等式选讲(10 分) 已知函数( )22 ()f xxaxaR=+ (1)证明: ( )1f xa+ (2)若 a=2,且对任意xR 都有(3)( )k xf x+成立,求实数 k 的取值范围.
