1、1Energy Method(Part 1)能量法能量法(1)材料力学材料力学（II）第廿六讲第廿六讲2用能量方法求解的优点：用能量方法求解的优点：1 1.不管中间过程，只算最终状态；不管中间过程，只算最终状态；2 2.能量是标量，容易计算。能量是标量，容易计算。本章主要介绍用能量方法求解材料力学问题本章主要介绍用能量方法求解材料力学问题强度问题、强度问题、刚度问题、刚度问题、稳定性问题稳定性问题3内内 容容1.应变能和余能的计算应变能和余能的计算2.卡氏定理卡氏定理4.虚位移原理及单位力法虚位移原理及单位力法3.用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统431 概概 述述 可变形固体在受外力作
2、用而变形时，外力和内力都将做可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力都将做功。对于弹性体，由于变形的可逆性，外力在相应位移上所功。对于弹性体，由于变形的可逆性，外力在相应位移上所做的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。当外力撤做的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。当外力撤除时，这种应变能将全部转化为其它形式的能量。除时，这种应变能将全部转化为其它形式的能量。利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等的方法，统称为的方法，统称为能量方法能量方法。能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。能量方法是用有限元法解固体力学问题的
3、重要基础。5能量方法用途很广：能量方法用途很广：不仅适用于线弹性问题；不仅适用于线弹性问题；也可用于非线性弹性问题；也可用于非线性弹性问题；曲杆问题；曲杆问题；6本章要介绍的几种能量方法：本章要介绍的几种能量方法：应变能原理应变能原理卡氏第一定理卡氏第一定理 余能原理余能原理卡氏第二定理卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法虚位移原理及单位力法732 应变能应变能 余能余能应变能的计算：应变能的计算：外力缓慢做功外力缓慢做功W，无损失地转化为应变能，无损失地转化为应变能（不（不转化成动能、热能）转化成动能、热能），贮存于弹性体内部。，贮存于弹性体内部。VWI.I.应变能应变能81.轴向拉压杆件轴向
4、拉压杆件应变能应变能的计算的计算lF21W EAFll2W2F lEA2V2F lEAWV 功能原理功能原理22VllEAlWFFlFlO一、一、线弹性问题线弹性问题9分段直杆分段直杆变截面直杆变截面直杆变截面且变外力直杆变截面且变外力直杆2V2NiiiiiFlE A20Vd2()()lNFxE x A x20()Vd2()()lNFxxE x A x其它情形轴向拉压变形时杆件其它情形轴向拉压变形时杆件应变能应变能的计算的计算102.受扭杆件受扭杆件应变能应变能的计算的计算1W2TpTlGI2W2pT lGI2V2pT lGIWV 功能原理功能原理22VlGIpTWTO11分段直杆分段直杆变截
5、面直杆变截面直杆变截面且变外力直杆变截面且变外力直杆2V2iiiipiT lG I20Vd2()()lpTxG x Ix20()Vd2()()lpT xxG x Ix其它情形扭转变形时杆件其它情形扭转变形时杆件应变能应变能的计算的计算123.弯曲变形杆件弯曲变形杆件应变能应变能的计算的计算12eWMEIlMle22eM lVEIVW 22eM lWEIeMWeMO13分段直杆分段直杆变截面直杆变截面直杆变截面且变外力直杆变截面且变外力直杆2V2eiiiiziMlE I20Vd2()()lezMxE x Ix20()Vd2()()lezMxxE x Ix其它情形弯曲变形时杆件其它情形弯曲变形时杆
6、件应变能应变能的计算的计算14 计算梁的应变能时，由于工程中常用梁的跨长往往大于计算梁的应变能时，由于工程中常用梁的跨长往往大于横截面高度的横截面高度的10倍，因而梁的剪切应变能与弯曲应变能相比倍，因而梁的剪切应变能与弯曲应变能相比可以略去不计。可以略去不计。20()Vd2()()lssF xxG x A x梁弯曲时的梁弯曲时的剪切变形相应的应变能剪切变形相应的应变能s-为修正因素，与截面形状有关（见为修正因素，与截面形状有关（见P.86）=10 9s实心圆形截面：=6 5s矩形截面：=2.0s薄壁圆环形截面：154.应变能应变能的计算（直接用积分的形式）：的计算（直接用积分的形式）：dVVv
7、V12v212E12v212 G164.1 轴向拉压杆件轴向拉压杆件应变能应变能的计算的计算dVVvV12dVV212EdVV212E()d dNFAlAA l2()2EAdNFll2()2E(x)A(x)dNFxlx174.2 扭转杆件扭转杆件应变能应变能的计算的计算dVVvV12dVV212GdVV212G()d dPTIlAA l2P2GIdTll2212G()d dPTIlAA l2P()2G(x)I()dT xxlx184.3 弯曲杆件弯曲杆件应变能应变能的计算的计算dVVvV12dVV212EdVV212E()d dzMyIlAA l2z2EIdMll2212E()d dzMIlA
8、yA l2z()2E(x)I()dM xxlx195.5.应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式1 1）轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直）轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功；相互不做功；222()()()ddd 222NLLLPFxTxMxVxxxEAGIEI2 2）变形能与加载次序无关，应变能相互叠加）变形能与加载次序无关，应变能相互叠加 （略掉剪力的影响）（略掉剪力的影响）20例例1.1.求简支梁受均布荷载情形的应变能求简支梁受均布荷载情形的应变能ABqlEI21ABqlAFBFx解（一）：解（一）：21122()M xqlxqx20()d2lM xVxEI221112220()dlE
9、IVqlxqxx2 5240q lEI22解（二）：解（二）：4343424()(2)qlxxxEIlllw x 将将qdx看成一个集中力看成一个集中力dq x120d()lVWq x w x4343412240(2)dlqlxxxEIlllq x2 5240q lEIBAql()w x23例例2.2.求图示悬臂梁的应变能求图示悬臂梁的应变能2P1P2l2l121313PlEI212212()(3)6PlllEI332152448PlPlEIEI23122()3PlEI211212()(3)6PlllEI33125348PlPlEIEIVW11112222PP2 32 331212564848
10、P lP lPPlEIEIEIEI241P2l2l21进一步分析进一步分析21231212()(3)6548llPlEPllEII2P2l2l1222232122()(3)6548llPlEPllEII112221PP第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功等于等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。=功的互等定理功的互等定理=25功的互等定理应用功的互等定理应用ABql4l4lC求图示梁中点求图示梁中点C C的挠度的挠度可以用叠加原理做可以用叠加原理做EI26ABql4l4lC用叠加原理做用叠加原理做AB
11、ql4l4lCABql4l4lC53214()31222442524 32lcqwEIlqlEI53424()314424422324 512lcqwEIlqlEI 1244452324 3224 5125712288cccwwwqlqlEIEIqlEI27ABql4l4lC利用功的互等定理利用功的互等定理AB1P l4l4lC在在C C点假想作用一向下的单位力点假想作用一向下的单位力221()(34)480/2xwxxlxEIl（）/222/411d(34)48lclxq xlxEI45712288cqlEI281P2l2l212P2l2l12112221PP功的互等定理功的互等定理12;P
12、P若进一步有若进一步有则有则有1221位移互等定理位移互等定理1P2l2lBAB1P2l2lAABAB位移互等定理位移互等定理29位移互等定理的应用位移互等定理的应用 B？B1NBF lEA11ACBCACBClFlllFlEAlEA解法一：解法一：将力作用到将力作用到B B点，点，求求A A点的位移点的位移 解法二：解法二：ABACBCllF1,A E lABC2,A E l1ACBClFllEA30应变能应变能的计算（利用计算功的形式）：的计算（利用计算功的形式）：10dVWP P广义力（力，力偶）广义力（力，力偶）广义位移（线广义位移（线位移位移，角位移），角位移）二、非线性弹性问题二、
13、非线性弹性问题31W1112VP线弹性：线弹性：1W1PPO11PPO几何非线性：几何非线性：10dVP1.几何非线性问题几何非线性问题32AP()a()b例例3：原为水平位置的杆系如下图（：原为水平位置的杆系如下图（a）所示，两杆的）所示，两杆的长度均为长度均为l，截面积均为，截面积均为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E（线（线弹性材料），弹性材料），C点受点受P集中力作用后位移为集中力作用后位移为（图（图b），），试计算杆的应变能。试计算杆的应变能。ABllCBllCEAEAEAEA33APBllC解：解：本题为几何非线性问题本题为几何非线性问题D,2sinN BDFP由于由于 很小
14、，则很小，则sintanl,2sinN BDPF,2sin2N BDPPlF,N BDBDFllEA22PlEA34APBllCD222BDll2()BDll222BDBDllll考虑到考虑到 与与 相比属高阶小量，则相比属高阶小量，则2BDl2BDll22BDll22BDPlEA32PlEA33lPEA3,PlEA 3PEAl几何非线性几何非线性22BDPllEA222BDBDlll35 3lPEAWPPO0dVWP 30dlEA434EAl3PlEA 14P22NF lVEA?,2N BDPlF2222PllVEA2 324P lEA 3lPEA434EAl14P材料是线性的材料是线性的3
15、6F11O物理非线性物理非线性10dv dVVvV2.物理物理(材料材料)非线性问题非线性问题v371F11O1(1)nKn例例4：计算图（计算图（a）杆在）杆在F1轴力作用下的应变能。轴力作用下的应变能。杆的杆的长度为长度为l，截面积为，截面积为A，应力应变曲线如图，应力应变曲线如图（b）。）。()a()b381F11O1(1)nKn()a()b解：解：本题为材料非线性问题本题为材料非线性问题10dv d,VVvV110dnvK111nnnKn111nK11FA11nK1nFKA39111nnnvKn11nFKA1F11O1(1)nKn()a()b111nFnvKnKAdVVvVvA l11
16、1()nnFnlnAK40II.II.余能余能 另一个能量参数另一个能量参数1W1PPO一、几何非线性问题一、几何非线性问题10dVWPcW11PPO10dPP仿照外力功的表达仿照外力功的表达式计算另一部分式计算另一部分cW余功余功cV余能余能Complementary energy411112VWP几何线性问题：几何线性问题：1W1PPOcW1112ccVWPcWWcVV特别指出：特别指出：1.余功、余能没有具体的物理概念，仅余功、余能没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已；是具有功和能的量纲而已；2.对于线弹性材料的几何线性问题，余对于线弹性材料的几何线性问题，余能和应变能在数值上相
17、等，但在概念和能和应变能在数值上相等，但在概念和计算方法上截然不同，应加以区分。计算方法上截然不同，应加以区分。42APBllCD例例5：试计算图示杆的余能。试计算图示杆的余能。ccVW 3lPEAPPO10dPP11/30dPPPEAl4313()34PEAl133()4PEAPl34PcWW3144PPP43二、材料非线性问题二、材料非线性问题F11O物理非线性物理非线性10dv dVVvV10dcv vcvdccVVv V应变能密度应变能密度余能密度余能密度44例例6：试计算图示结构杆的余能。试计算图示结构杆的余能。APBlEAClEA11O1(1)nKn()a()b45解：解：本题为材
18、料非线性问题本题为材料非线性问题10dcv d,ccVVv V 10dncKv1111nnnK2cos2 cosPPAA1NFAAPBlEAClEA11O1(1)nKn11112 cosnnPnKAcv 4611112 cosnnPnKAcv APBlEAClEA11O1(1)nKndccVVv V2cvAl12112 cosnnAlPnKA111(2)cosncnlPVnAK47小小 结结 （2）应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而与加）应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。载的次序无关。（3）应变能一般不可叠加应变能一般不可叠加，即各个载荷分别作用即各个载荷分别作用时弹性体的应变能之和时弹性体的应变能之和不等于不等于各个载荷共同作用时各个载荷共同作用时弹性体的应变能。弹性体的应变能。（1 1）线弹性问题应变能的普遍表达式线弹性问题应变能的普遍表达式222()()()ddd 222NLLLPFxTxMxVxxxEAGIEI48谢 谢！P93：3-3;3-4(c)作业作业(第第II册册)下次课讲卡氏定理下次课讲卡氏定理P92：3-2
