1、 - 1 - 杭州建人高复 2020 届第二学期模拟测试数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 参考公式：参考公式： 如果事件BA,互斥，那么 柱体的体积公式 )()()(BPAPBAP； VSh 如果事件BA,相互独立，那么 椎体的体积公式 )()()(BPAPBAP； 1 3 VSh 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 球的表面积公式 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率 2 4SR knkk nn PPCkP )1 ()( (k = 0,1,n). 球的体积公式 台体的体积公式 3 4 3 VR 选择题部分选择题部分（共 4
2、0 分） 一一、 选择题选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1、已知全集1,2,3,4,5,6U ，集合1,4P ，3,5Q ，则() U CPQ U（） A、2,6 B、2,3,5,6 C、1,3,4,5 D、1,2,3,4,5,6 2、已知i是虚数单位，, x yR，则“1xy”是“ 2 ()2xyii”的（） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（） A88 B 8 16 C 168 D16 16 4、如果正数a
3、bcd， ， ，满足4abcd，那么（ ） A. abcd，且等号成立时abcd， ， ，的取值唯一 B. abcd，且等号成立时abcd， ， ，的取值唯一 C. abcd，且等号成立时abcd， ， ，的取值不唯一 D. abcd，且等号成立时abcd， ， ，的取值不唯一 - 2 - 5、设等差数列 n a的公差为 d，若数列 1 2 n a a 为递减数列，则（ ）来源:163文库 A0d B0d C 1 0a d D 1 0a d 来源: 6、已知实数x,y满足 22 46120xyxy则22xy的最小值是 A.5 5 B.4 5 C. 51 D.5 5 7、定义平面向量之间的一种运
4、算“”如下：对任意的( , ),( , )am n bp q， 令a .npmqb下面说法错误的是 A. 若a与b共线，则a0b B. abb a C. 对任意的)(,aR有ab()b D. a( 222 |)()babab 8、对于给定正数k，定义 ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xk fx k f xk ，设252)( 22 aaaxaxxf，对任意Rx和 任意)0 ,(a恒有)()(xfxfk，则( ) Ak的最大值为 2 Bk的最小值为 2 Ck的最大值为 1 Dk的最小值为 1 9、如图，点P在正方体 1111 ABCDABC D的表面上运动，且P到直线BC与直线 1
5、1 C D 的距离相等，如 果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（ ） A. B. - 3 - C. D. 10、设函数 2 2 sin2 ( ) cos2 aax f x aax 的最大值为( )M a，最小值为( )m a，则（） A、 000 ,()()2aR M am a B、,( )( )2aR M am a C、 000 ,()()1aR M am a D、,( )( )1aR M am a 非选择题部分非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：二、填空题：本大题共 7 个小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11、已知 2 ,0 (
6、 ) (),0 x x f x fx x ，若 4 log 3a ，则( )_,(1)f af a_； 12、已知方程 22 (1)(9)1kxk y，若该方程表示椭圆方程，则k的取值范围是_; 13、已知 322 ( )(3)nf xxx展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992，则展开式中最大的二 项式系数为_；展开式中系数最大的项为_ 14、将字母, , , , ,a a b b c c放入3 2的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列 的字母也互不相同的概率为_； 若共有k行字母相同，则得 k 分，则所得分数的数学期望为 _； （注：横的为行，竖的为列；比
7、如以下填法第二行的两个字母相同，第 1,3 行字母不同，该情况下1） a b c c a b 15 、已知正四面体ABCD和平面，BC，正四面体ABCD绕边BC旋转，当AB与平面所成 角最大时，CD与平面所成角的正弦值为_ 16、双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为 1 F，过 1 F的直线交双曲线左支于,A B两点， 且 - 4 - 1 | |OFOA，延长AO交双曲线右支于点C，若 11 | 2|CFBF，则该双曲线的离心率为_ 17、已知, ,a b c r r r 都是单位向量，且 1 2 a b r r ，则11a cb c r rr r 的最小值为_;最大
8、值为_ 三、简答题：三、简答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18.（本小题 14 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 求角 的大小； 求 的取值范围 19. （本小题 15 分） 如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD， 0 120ABCDBC ，E、F 分 别为 AC、DC 的中点. （1）求证：EFBC； （2）求二面角EBFC的正弦值. 20. （本小题 15 分） 已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和满足1 n S，且 * ),2)(1(6NnaaS nnn （1）求 n a的通项公式； （2）
9、设数列 n b满足1) 12( n b n a，并记 n T为 n b的前 n 项和，求证： * 2 ),3(log13NnaT nn - 5 - 21. （本小题 15 分） 已知,A B是抛物线 2 xy 上位于y轴两侧的不同两点 （1）若CD在直线4yx上，且使得以ABCD为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。 （2）求过A、B的切线与直线1y 围成的三角形面积的最小值； 22. （本小题 15 分） 已知函数( )(), x f xeax aR其函数图像与x轴交于 1 ( ,0)A x 2 , (,0)B x，且 12 xx （1）求a的取值范围； （2）求证： 12 3 ()0
10、 4 xx f ； （3）若C也在( )f x图像上，且ABC为正三角形，记 2 1 x t x ，求(1)(3)ta的值 数学答案数学答案 选择题 AACAC ABBBD 11、3， 2 3 3 12、1559kk或 13、10， 26 3 405x 14、 2 15 ， 3 5 （填 0.6 也对） 15、 3 6 16、 17 3 - 6 - 17、 6 2 ，6 18、在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 求角 的大小； 求 的取值范围 （1）由题意 3 sinsincossinsin 3 3 sin()sincossinsin 3 3 sincoscossinsinco
11、ssinsin 3 3 cossinsinsin 3 sinC0 3 cossin 3 tan3 3 ABCCB BCBCCB BCBCBCCB BCCB BB B B Q又 （2） 22 1 cos21 cos21 sinsin1(cos2cos2C) 222 1214 1cos2cos2()1cos2cos(2 ) 2323 1 131 1( cos2sin2 )1cos(2) 2 2223 AC ACA AAAA AAA 2 (0,) 3 5 2(,) 333 A A Q 1 cos(2) 1, ) 32 A 22 13 3 sin A sin C1cos(2)( , 234 2 A 1
12、9、如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD， 0 120ABCDBC ，E、F - 7 - 分别为 AC、DC 的中点. （1）求证：EFBC； （2）求二面角EBFC的正弦值. 易得 133 1 (0,),(,0) 2222 EF,所以 33 (,0,),(0,2,0) 22 EFBC，因此0EF BC,从而得 - 8 - （方法二）由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 左垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴， 在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易得 B（0,0,0） ，A(0，-1，3
13、),D(3,-1,0)，C(0,2,0),因而 133 1 (0,),(,0) 2222 EF,所以 - 9 - 33 (,0,),(0,2,0) 22 EFBC，因此0EF BC,从而EFBC，所以EFBC. 20、已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和满足1 n S，且 * ),2)(1(6NnaaS nnn （1）求 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足1) 12( n b n a，并记 n T为 n b的前 n 项和，求证： * 2 ),3(log13NnaT nn 解析： （1）由 111211 1 (1)(1),1 6 aSaaaS结合，因此 1 2a 由 1111
14、11 (1)(2)(1)(2) 66 nnnnnnn aSSaaaa 得 11 ()(3)0 nnnn aaaa ，又0 n a ，得 1 3 nn aa 从而 n a是首项为 2 公差为 3 的等差数列，故 n a的通项公式为31 n an （2）由1) 12( n b n a可得 2 3 log 31 n n b n ，从而 2 3 63 log (.) 2 531 n n T n - 10 - 3 2 3 63 3log (.) 2 531 n n T n = 333 2 363 log ( )( ). () 2531 n n 3 33132 31331 3331 32 () 31313
15、31 nnn nnn nnnn nnnn Q 于是 333 2 2 2 363 3log ( )( ). () 2531 3 4 56 7 8331 32 log () () . () 2 3 45 6 731331 32 log 2 n n T n nnn nnn n 22 31log (32)log (3) nn Tna 21、已知,A B是抛物线 2 xy 上位于y轴两侧的不同两点 （1）若CD在直线4yx上，且使得以ABCD为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。 （2）求过A、B的切线与直线1y 围成的三角形面积的最小值； 【解析】 （1）设直线:AB yxb 联立直线AB与抛物
16、线方程得： 2 0xxb 易得：|2 1 4ABb 直线AB与CD之间的距离为 |4| 2 b 令 |4| 2 1 4 2 b b ，可得26b 或 所以该正方形的边长为3 2或5 2 面积为18或50； （2）设 2 ( ,)A aa， 2 ( ,)B bb（由对称性不妨设0,0ab） 则A处的切线方程为： 2 2yaxa ，与直线1y 交点记为 M，则 2 1 (, 1) 2 a M a 则B处的切线方程为： 2 2ybxb ，与直线1y 交点记为 N，则 2 1 (, 1) 2 b N b - 11 - 两条切线交点 P (,) 2 ab ab 于是 22 2 2 2 22 222 4
17、22 4 22 111 ()(1) 222 ()(1)(1) () 4 ()(1) 4 2(1) 4 (1) () 2 (1) 2 1111 14 33327 1 (4) (1)8 3 27 229 PMN ba Sab ba ba abab ta ab btbt bt btbt bt bt btq bt q q qqq q q qq Q 令 令 当 3 3 ba 时取到等号 所以该三角形面积的最小值为 8 3 9 22、已知函数( )(), x f xeax aR其函数图像与x轴交于 1 ( ,0)A x 2 , (,0)B x，且 12 xx （1）求a的取值范围； （2）求证： 12 3
18、 ()0 4 xx f ； （3）若C也在( )f x图像上，且ABC为正三角形，记 2 1 x t x ，求(1)(3)ta的值 【解析】 （1）( ) x fxea 若0a ，则( )0fx，函数( )f x在R上单调递增，这与题设矛盾； 0a易知( )f x在(,ln( a)上单调递减，在(ln(),)a上单调递增 min ( )(ln()ln()f xfaaaa 且,( );,( );xf xxf x 时时 - 12 - min ( )ln()0,f xaaaae （2）先证： 12 2ln()xxa 由于 21 ln(),ln()xa xa，又( )f x在(ln(),)a上单调递增
19、 所以欲证： 12 2ln()xxa 只需证： 21 2ln()xax 只需证： 21 ()(2ln()f xfax 由于 21 ()()0f xf x 只需证： 11 ()(2ln()f xfax 只需证： 11 ( )(2ln()0f xfax 构造：( )( )(2ln()xf xfax，(0,ln()xa 2ln() 2 ( )( )(2ln() ( 1) 22| 20 xax x x xfxfax eaea a eaaa e ( )x在(0,ln()a上单调递增，又(ln()0a 所以当(0,ln()xa，( )( )(2ln()xf xfax 0 于是 1 ( )0,x即 11 (
20、 )(2ln()0f xfax 综上可得： 12 2ln()xxa 所以 1212 3 ln() 42 xxxx a ， 所以 12 3 ln() 12 4 3 ()0 4 xx a xx feaea （3）由 1 12 2 1 2 12 2 , x xx x eax ea x x eax 由ABC为正三角形且C也在( )f x图像上可知： 12 3 ()| 22 xx fAB - 13 - 即 12 12 2 21 3 () 22 xx xx eaxx 即 12 1221 3 () 22 xx a x xaxx 两边同除以 1 x有： 2 212 11 1 3 (1) 22 x xxx aa xx 即 22 3 (1)(1) 22 a attt 2 3 (1)(1)(t 1) 22 a tt 由于 21 xx，所以1t 于是： 3 (1)(1) 22 a tt 整理可得：(3)3ata 所以(1)(3)2 3ta
