1、第 1 页 共 25 页 2020 届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（理）试题届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1已知复数已知复数 2 1 z i ，其中，其中i为虚数单位，则为虚数单位，则z （ ） A5 B3 C2 D2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计 算得答案. 【详解】 解： 2 12 1 111 i zi iii ， 则1 12z . 故选：D. 【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题. 2函数函数 2 4yx 的定义域为的定义域为A，集合，
2、集合 2 log11Bxx，则，则AB （ ） ） A1 2xx B 22xx C23xx D13xx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数定义域得集合A，解对数不等式得到集合B，然后直接利用交集运 算求解. 【详解】 解：由函数 2 4yx 得 2 40x，解得22x ，即 22Axx ； 又 22 log11og 2lx ，解得1x ，即1Bx x， 则12ABxx. 故选：A. 【点睛】 本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题. 3 执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为 执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为 3， 则可输入的实数， 则可输入的实数x值的个
3、数为 （值的个数为 （ ） ） 第 2 页 共 25 页 A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】试题分析：根据题意，当2x时，令 2 13x ，得2x；当2x时，令 2 log3x ，得 9x，故输入的实数值的个数为 3 【考点】程序框图 4函数函数 cos ln xx xx f x ee 在在, 的图象大致为（的图象大致为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据函数的奇偶性，在x 时函数范围的判断进行排除，即可得答案. 【详解】 解：由已知 coscos lnln xxxx xxxx fxf x eeee ，则函数 cos ln xx xx f
4、x ee 在, 上是奇函数，故排除 B； 又 cos 0,1 lnlnlnln f eeeeeee ，故排除 第 3 页 共 25 页 CD； 故选：A. 【点睛】 本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进 行排除是常用的方法，是基础题. 5要得到函数要得到函数sin 2 3 yx 的图象，只需将函数的图象，只需将函数sin2yx的图象（的图象（ ） A向右平移向右平移 6 个单位个单位 B向右平移向右平移 3 个单位个单位 C向左平移向左平移 3 个单位个单位 D向左平移向左平移 6 个单位个单位 【答案】【答案】D 【解析】【解析】直接根据三角函数的图象
5、平移规则得出正确的结论即可； 【详解】 解：函数sin 2sin 2 36 yxx ， 要得到函数sin 2 3 yx 的图象， 只需将函数sin2yx的图象向左平移 6 个单位 故选：D 【点睛】 本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题 6二项式二项式 5 2 2 x x 的展开式中，常数项为（的展开式中，常数项为（ ） A80 B80 C160 D160 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求出二项式 5 2 2 x x 的展开式的通式，再令x的次数为零，可得结果. 【详解】 解：二项式 5 2 2 x x 展开式的通式为 5 5 2 25 2 155 2 12 r r rr r
6、rrr r TCxCx x ， 第 4 页 共 25 页 令 5 20 2 r r ，解得1r ， 则常数项为 1 14 5 1280C . 故选：A. 【点睛】 本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 7已知已知l为抛物线为抛物线 2 4xy的准线，抛物线上的点的准线，抛物线上的点M到到l的距离为的距离为d，点，点P的坐标为的坐标为 4,1，则，则MPd的最小值是（的最小值是（ ） A17 B4 C2 D117 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设抛物线焦点为F，由题意利用抛物线的定义可得，当 ,P M F共线时， MPd取得最小值，由此求得答案. 【详
7、解】 解：抛物线焦点0,1F，准线1y ， 过M作MNl交l于点N，连接FM 由抛物线定义MNMFd， 2 44MPdMPMFPF， 当且仅当 ,P M F三点共线时，取“”号， MPd的最小值为4. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学 思想，属于中档题. 第 5 页 共 25 页 8不等式组不等式组 20 1 2 30 xy yx xy 表示的平面区域为表示的平面区域为，则（，则（ ） A, x y， 23xy B, x y，25xy C, x y， 2 3 1 y x D, x y， 2 5 1 y x 【答案】【答案】D 【
8、解析】【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设 12 2 2 , 1 y zxy z x ，分析 12 ,z z的几何意义，可得 12 ,z z的最小值，据此分析选项即 可得答案. 【详解】 解：根据题意，不等式组 20 1 2 30 xy yx xy 其表示的平面区域如图所示， 其中2,1A ，1,2B， 设 1 2zxy，则 1 22 zx y ， 1 z的几何意义为直线 1 22 zx y 在y轴上的截距的 2 倍， 由图可得：当 1 22 zx y 过点1,2B时，直线 1 2zxy在y轴上的截距最大，即 25xy ， 当 1 22 zx y 过点原点时，直线
9、 1 2zxy在y轴上的截距最小，即20xy， 故 AB 错误； 设 2 2 1 y z x ，则 2 z的几何意义为点, x y与点1, 2连线的斜率， 第 6 页 共 25 页 由图可得 2 z最大可到无穷大，最小可到无穷小，故 C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】 本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认 识，属于基础题. 9平行四边形平行四边形ABCD中，已知中，已知4AB ，3AD，点，点E、F分别满足分别满足 2AEED uuu ruuu r ， DFFC ，且，且 6AF BE ，则向量，则向量AD在在AB上的投影为（上的投影为（ ） A2
10、 B2 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】将,AF BE用向量AD和AB表示，代入 6AF BE 可求出 6AD AB ， 再利用投影公式 AD AB AB 可得答案. 【详解】 解： AF BEADDFBAAE 2112 3223 AD ABADADAB ABABAD 22 421 346 332 AD AB， 得 6AD AB ， 则向量AD在AB上的投影为 63 42 AD AB AB . 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE用向量AD和AB表示是 关键，是基础题. 10已知已知ABC的内角的内角A、B、C的对边分别为
11、的对边分别为a、b、c，且，且60A，3b，AD 为为BC边上的中线边上的中线，若，若 7 2 AD ，则，则ABC的面积为（的面积为（ ） A 25 3 4 B15 3 4 C 15 4 D 35 3 4 【答案】【答案】B 第 7 页 共 25 页 【解析】【解析】 延长AD到E， 使A DD E， 连接,BE CE， 则四边形ABEC为平行四边形， 根据余弦定理可求出5AB，进而可得ABC的面积. 【详解】 解：延长AD到E，使ADDE，连接,BE CE，则四边形ABEC为平行四边形， 则3BEAC，18060120ABE，27AEAD， 在ABE中， 222 2cosAEABBEAB
12、BEABE 则 222 7323 cos120ABAB ，得5AB， 11315 3 sin605 3 2224 ABC SAB AC . 故选：B. 【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形 是关键，是中档题. 11已知实数已知实数0a，1a ，函数，函数 2 ,1 4 ln ,1 x ax f x xax x x 在在R上单调递增，则上单调递增，则 实数实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A12a B5a C35a D25a 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据题意，对于函数分 2 段分析：当1,( ) x xf xa，由指数函数的性质
13、分析 可得1a ，当 2 4 1,( )lnxf xxax x ，由导数与函数单调性的关系可得 第 8 页 共 25 页 2 4 ( )20 a fxx xx ，在1,)上恒成立，变形可得2a，再结合函数的单调 性，分析可得1 4a ，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】 解：根据题意，函数 2 ,1 4 ln ,1 x ax f x xax x x 在R上单调递增， 当1,( ) x xf xa，若 f x为增函数，则1a ， 当 2 4 1,( )lnxf xxax x ， 若 f x为增函数，必有 2 4 ( )20 a fxx xx 在1,)上恒成立， 变形可得： 2 4 2ax x
14、 ， 又由1x ，可得 2 4 2g xx x 在1,)上单调递减，则 2 44 22 1 2x x ， 若 2 4 2ax x 在1,)上恒成立，则有2a， 若函数 f x在R上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小 值， 则需有1 45a ， 联立可得：25a. 故选：D. 【点睛】 本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 12ABC是边长为是边长为2 3的等边三角形，的等边三角形，E、 、F分别为分别为AB、AC的中点，沿的中点，沿EF把把 AEF折起，使点折起，使点A翻折到点翻折到点P的位置，连接的位置，连接PB、PC，当四棱锥，当四棱锥PBCF
15、E的外的外 接球的表面积最小时，四棱锥接球的表面积最小时，四棱锥PBCFE的体积为（的体积为（ ） A 5 3 4 B 3 3 4 C 6 4 D 3 6 4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】首先由题意得，当梯形BCFE的外接圆圆心为四棱锥PBCFE的外接球球 心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC的中点即为梯形BCFE的外接圆圆心， 也即四棱锥PBCFE的外接球球心，则可得到3POOC，进而可根据四棱锥 的体积公式求出体积. 第 9 页 共 25 页 【详解】 如图， 四边形BCFE为等腰梯形， 则其必有外接圆， 设O为梯形BCFE的外接圆圆心， 当O也为四棱锥PBCFE的外接球球心
16、时，外接球的半径最小，也就使得外接球的 表面积最小，过A作BC的垂线交BC于点M，交EF于点N，连接,PM PN，点O 必在AM上， E、F分别为AB、AC的中点，则必有ANPNMN， 90APM，即APM为直角三角形. 对于等腰梯形BCFE，如图： 因为ABC是等边三角形，E、F、M分别为AB、AC、BC的中点， 必有MBMCMFME， 所以点M为等腰梯形BCFE的外接圆圆心，即点O与点M重合，如图 1 3 2 POOCBC， 222 336PAAOPO ， 所以四棱锥PBCFE底面BCFE的高为 36 2 3 PO PA AM ， 1131313 6 2 3 32 3343424 P BC
17、FEBCFEABC VShSh . 故选：D. 第 10 页 共 25 页 【点睛】 本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难 点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目. 二、填空题二、填空题 13随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有 大幅提高大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某定学校体育卫生工作发展规划，某 市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市
18、市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市 30000 名高中男生的身高名高中男生的身高 （单位：（单位：cm）服从正态分布）服从正态分布 2 172,N，且，且1721800 4P .，那么该市身高，那么该市身高 高于高于180cm的高中男生人数大约为的高中男生人数大约为_. 【答案】【答案】3000 【解析】【解析】根据正态曲线的对称性求出180P，进而可求出身高高于180cm的高中 男生人数. 【详解】 解：全市 30000 名高中男生的身高（单位：cm）服从正态分布 2 172,N，且 1721800 4P .， 则 1 0.4 2 1800.1 2 P ， 该市身高高于180
19、cm的高中男生人数大约为30000 0.13000. 故答案为：3000. 【点睛】 本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题. 14春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医 院选派院选派 2 名医生，名医生，6 名护士到湖北名护士到湖北A、B两地参加疫情防控工作，每地一名医生，两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3 名名 护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有有_种选派方法种选派方法. 【答案】【答案】24 【解析】【解析】先求出每地一名医生，3 名护士
20、的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同 一地的种数即可. 【详解】 解：每地一名医生，3 名护士的选派方法的种数有 13 26 40C C ， 第 11 页 共 25 页 若甲乙两名护士到同一地的种数有 111 242 16C C C ， 则甲乙两名护士不到同一地的种数有40 1624. 故答案为：24. 【点睛】 本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题. 15已知已知a、b为正实数，直线为正实数，直线 10xy 截圆截圆 22 4xayb所得的弦长为所得的弦长为 2 2，则 ，则 1a ab 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】3 2 2 【解析】【解析】先根据弦长，半
21、径，弦心距之间的关系列式求得10ab ，代入 1a ab 整理 得 11 2 13 1 a ab a a ，利用基本不等式求得最值. 【详解】 解：圆 22 4xayb的圆心为, a b， 则, a b到直线10xy 的距离为 1 2 ab ， 由直线10xy 截圆 22 4xayb所得的弦长为2 2可得 2 2 2 1 22 2 ab ，整理得 2 14ab， 解得10ab 或30 ab(舍去)，令 1( 0,0) a mab ab 2 1111 2 1 1312 13 1 aaa m abaa aa a a ， 又 2 12 2 1 a a ，当且仅当 12a 时,等号成立, 则 2 13
22、2 23 1 a a 11 32 2 2 32 2 13 1 m a a . 故答案为：3 2 2 . 【点睛】 第 12 页 共 25 页 本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变 成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题. 16在在ABC中，中，B、C的坐标分别为的坐标分别为 2 2,0， 2 2,0，且满足，且满足 2 sinsinsin 2 BCA，O为坐标原点，若点为坐标原点，若点P的坐标为的坐标为 4,0，则，则AO AP 的取的取 值范围为值范围为_. 【答案】【答案】12, 【解析】【解析】由正弦定理可得点A在曲线 22
23、1,2 44 xy x 上，设 ,A x y，则 22 4AO APxxy，将 22 4yx代入可得 2 216AOxAP，利用二次 函数的性质可得范围. 【详解】 解：由正弦定理得 22 4 244 2 22 ACABBC， 则点A在曲线 22 1,2 44 xy x 上， 设,A x y，则 22 1,2 44 xy x ， 22 4.4,AO APxyxyyxx， 又 22 4yx， 2 2 2 42641AOxAPxxx， 因为2x，则 2 22 1612AO AP ， 即AO AP 的取值范围为12,. 故答案为：12,. 【点睛】 本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考
24、查学生计算能力，有一定的综 合性，但难度不大. 三、解答题三、解答题 第 13 页 共 25 页 17已知数列已知数列 n a满足：满足： 1231 123 22221 22 nn n aaaan 对一切对一切 n N成立 成立. （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 2 1 nn aa 的前的前n项和项和 n S . 【答案】【答案】 （1） n an； （2） 35 412 n nn S nn 【解析】【解析】 （1）先通过1n 求得 1 1a ，再由2n得 1231 1231 2222222 nn n aaaan ，和条件中的式子作差可得答 案； （
25、2）变形可得 2 11 11 22 nn aann ，通过裂项求和法可得答案. 【详解】 （1） 1231 123 22221 22 nn n aaaan ， 当 1n 时， 1 1 22a， 1 1a， 当2n时， 1231 1231 2222222 nn n aaaan ， 得：22 nn n an， n an， 适合 1 1a ， 故 n an； （2） 2 111 11 222 nn aan nnn ， 111111111 21324352 n S nn 1111 1 2212nn 第 14 页 共 25 页 35 412 nn nn . 【点睛】 本题考查 n S法求数列的通项公式，
26、考查裂项求和，是基础题. 18如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD的底面的底面ABCD中，中，ABD为等边三角形，为等边三角形，BCD是等是等 腰三角形，且顶角腰三角形，且顶角120BCD，PCBD，平面，平面PBD 平面平面ABCD，M为为PA 中点中点. （1）求证：）求证：/DM平面平面PBC； （2）若）若PDPB，求二面角，求二面角CPAB的余弦值大小的余弦值大小. 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 21 7 【解析】【解析】 （1）设AB中点为N，连接MN、DN，首先通过条件得出CBAB，加 DNAB，可得/DNBC，进而可得/DN平面PBC，再加上/MN平面PBC， 可得平
27、面/ /DMN平面PBC，则/DM平面PBC； （2） 设BD中点为O， 连接AO、CO， 可得PO平面ABCD， 加上BD 平面PCO， 则可如图建立直角坐标系Oxyz，求出平面PAB的法向量和平面PAC的法向量，利 用向量法可得二面角的余弦值. 【详解】 （1）证明：设AB中点为N，连接MN、DN， ABD为等边三角形， DNAB， DCCB，120DCB， 30CBD， 603090ABC，即CBAB， DNAB， / /DNBC， BC 平面PBC，DN 平面PBC， /DN平面PBC， 第 15 页 共 25 页 MN为 PAB 的中位线， / /MNPB， PB 平面PBC，MN
28、平面PBC， / /MN平面PBC， MN、DN为平面DMN内二相交直线， 平面/ /DMN平面PBC， DM 平面 DMN， /DM平面PBC； （2）设BD中点为O，连接AO、CO ABD为等边三角形，BCD是等腰三角形，且顶角120BCD AOBD，COBD， A、C、O共线， PCBD，BDCO，PCCOC，PC，CO平面PCO BD平面PCO. PO 平面PCO BDPO 平面PBD 平面ABCD，交线为BD，PO平面PBD PO平面ABCD. 设2AB ，则3AO 在BCD中，由余弦定理，得： 222 2cosBDBCCDBC CDBCD 又BCCD， 222 222cos120B
29、CBC， 2 3 3 CBCD， 3 3 CO ， PDPB，O为BD中点， 1 1 2 POBD， 建立直角坐标系Oxyz（如图） ，则 第 16 页 共 25 页 3 ,0,0 3 C ，0,0,1P，3,0,0A，0,1,0B. 3, 1,0BA， 3,0, 1PA， 设平面PAB的法向量为, ,nx y z，则， 300 0 30 xyn BA n PA xz ， 取1x ，则3yz， 1, 3, 3n ， 平面PAC的法向量为0,1,0OB ， 21 cos, 7 n OB n OB n OB ， 二面角CPAB为锐角， 二面角CPAB 的余弦值大小为 21 7 . 【点睛】 本题考
30、查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空 间想象能力，是中档题. 19 贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标 贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出党的十九届四中全会提出“坚坚 决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进对当前和下一个阶段的扶贫工作进 行了前瞻性的部署，即行了前瞻性的部署，即 2020 年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康 社会的奋斗目标社会的奋斗目标.为了响应党的号
31、召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品对某种农产品 加工生产销售进行指加工生产销售进行指导， 经调查知， 在一个销售季度内， 每售出一吨该产品获利导， 经调查知， 在一个销售季度内， 每售出一吨该产品获利 5 万元，万元， 未售出的商品，每吨亏损未售出的商品，每吨亏损 2 万元万元.经统计经统计A，B两市场以往两市场以往 100 个销售周期该产品的市个销售周期该产品的市 场需求量的频数分布如下表：场需求量的频数分布如下表： A市场：市场： 需求量需求量90 100 110 第 17 页 共 25 页 （吨）（吨） 频数频数 20 50
32、30 B市场：市场： 需求量需求量 （吨）（吨） 90 100 110 频数频数 10 60 30 把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n吨该产品，在吨该产品，在 A、B两市场同时销售，以两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求）求200X 的概率；的概率； （2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量）以销
33、售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n吨还是吨还是 200n吨吨?并说明理由并说明理由. 【答案】【答案】 （1）0.42； （2）200n吨，理由见解析 【解析】【解析】 （1）设“A市场需求量为 90，100，110 吨”分别记为事件 1 A， 2 A， 3 A，“B市 场需求量为 90，100，110 吨”分别记为事件 1 B， 2 B， 3 B，由题可得 1 P A， 2 P A， 3 P A， 1 P B， 2 ()P B， 3 P B，代入 233233 200P XP A BA BA B，计 算可得答案； （2）X可取 180，190，200，210，220，求
34、出190n吨和200n吨时的期望，比较 大小即可. 【详解】 （1）设“A市场需求量为 90，100，110 吨”分别记为事件 1 A， 2 A， 3 A，“B市场需求 量为 90，100，110 吨”分别记为事件 1 B， 2 B， 3 B，则 1 0.2P A ， 2 0.5P A， 3 0.3P A， 1 0.1P B， )2 (0.6P B ， 3 0.3P B， 233233 200P XP A BA BA B 第 18 页 共 25 页 233233 P AP BP A P BP A P B 0.5 0.3 0.3 0.60.3 0.30.42； （2）X可取 180，190，20
35、0，210，220， 11 1800.2 0.10.02P XP AB 2112 1900.5 0.1 0.2 0.60.17P XP A BAB 当190n时， 180 5 10 20.02 190 51 0.02948.()6E Y 当200n时， 180 5 20 20.02190 5 10 20.17200 51 0.02 0.17E Y 985.3. 9486985.3.， 200n 时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n吨. 【点睛】 本题考查离散型随机变量的期望，是中档题. 20已知椭圆已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为的离心率为 5 5 ，右
36、焦点为抛物线，右焦点为抛物线 2 4yx的的 焦焦点点F . （1）求椭圆）求椭圆C的标准方程；的标准方程； （2）O为坐标原点，过为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若两点，若OM、ON斜斜 率之积率之积为为 4 5 ，求证：，求证：MON的面积为定值的面积为定值. 【答案】【答案】 （1） 22 1 54 xy ； （2）见解析 【解析】【解析】 （1）由条件可得1c，再根据离心率可求得, a b，则可得椭圆方程； （2）当MN与x轴垂直时，设直线MN的方程为：55,0xttt ，与椭 圆联立求得,M N的坐标，通过OM、ON斜率之积为 4 5 列方
37、程可得t的值，进而可 得MON的面积；当MN与x轴不垂直时，设 11 ,M x y， 22 ,N x y，MN的方程 为y kxm ，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM、ON斜率之积为 4 5 可得 22 254mk ，再利用弦长公式求出MN，以及O到MN的距离，通过三角形的面 第 19 页 共 25 页 积公式求解. 【详解】 （1）抛物线 2 4yx的焦点为1,0F， 1c ， 5 5 e ， 5 5 c a ， 5a ，2b， 椭圆方程为 22 1 54 xy ； （2） （）当MN与x轴垂直时，设直线MN的方程为：55,0xttt 代入 22 1 54 xy 得： 2 5 ,2 5 t
38、 M t ， 2 5 , 2 5 t N t ， 22 2 12 2 55 22 4 5 55 5 tt t k k ttt 2 2 4 54 55 t t ， 解得： 2 5 2 t ， 2 15 45 25 MON t St ； （）当MN与x轴不垂直时，设 11 ,M x y， 22 ,N x y，MN的方程为ykxm 由 222 22 45105200 1 54 ykxm kxkmxm xy ， 由 22 054km 12 2 10 45 km xx k ， 2 12 2 520 45 m x x k 4 5 OMON kk ， 第 20 页 共 25 页 12 12 4 5 yy x
39、x ， 121 2 540y yx x 即 22 1212 54550kxxmk xxm 2 22 22 52010 54550 4545 mkm kmkm kk 整理得： 22 254mk 代入得：0m 2 2 1212 14MNkxxx x 2 2 2 22 10520 14 4545 kmm k kk 22 2 2 54 4 5 1 45 km k k O到MN的距离 2 1 m d k 1 2 MON SMN d 22 2 2 554 45 mkm k 22 2 2 52 2 mmm m 5 综上：5 MON S 为定值. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考
40、查韦达定理的应用，考查了 学生的计算能力，是中档题. 21已知函数已知函数 ax f xex（aR，e为自然对数的底数） ，为自然对数的底数） ， ln1g xxmx . （1）若）若 f x有两个零点，求实数有两个零点，求实数a的取值范围；的取值范围； （2）当）当1a 时，时， x f xxg x 对任意的对任意的0,x恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值的取值 范围范围. 第 21 页 共 25 页 【答案】【答案】 （1） 1 0, e ； （2）,1 【解析】【解析】 （1） 将 f x有两个零点转化为方程 ln x a x 有两个相异实根， 令 ln x G x x 求导，利用其单
41、调性和极值求解； （2）将问题转化为 ln1 x x me xx 对一切0,x恒成立，令 ln1 0 x x F xex xx ，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【详解】 （1） f x有两个零点关于x的方程 ax ex 有两个相异实根 由0 ax e，知0x f x有两个零点 ln x a x 有两个相异实根. 令 ln x G x x ，则 2 1 ln x Gx x ， 由 0G x 得：0xe，由 0G x 得：xe， G x在0,e单调递增，在, e 单调递减 max 1 G xG e e ， 又 10G 当0 1x时， 0G x ，当1x 时， 0G x 当x 时， 0G x f x有两个零点时，实数a的取值范围为 1 0, e ； （2）当1a 时， x f xex， 原命题等价于 ln1 x xexmx对一切 0,x恒成立 ln1 x x me xx 对一切0,x恒成立. 令 ln1 0 x x F xex xx 第 22 页 共 25 页 minmF x 2 22 lnln x x xx ex Fxe xx 令 2 ln x h xx ex，0,x，则 2 1 20 x h xxex e x h x在0,上单增 又
