1、山东大学物理学院 宗福建电动力学电动力学第第16讲讲第三章第三章 静磁场静磁场(1)3.1 静磁场的矢势静磁场的矢势 教师姓名：教师姓名：宗福建宗福建单位：单位：山东大学物理学院山东大学物理学院20152015年年1111月月0606日日山东大学物理学院 宗福建2Maxwell方程组00tt BEEBJEB 000山东大学物理学院 宗福建3Maxwell方程组00lslssddtdIdtQdQdVdId BElSEBlSESBSJS 000s山东大学物理学院 宗福建4标势 的Poisson方程0200/EEE山东大学物理学院 宗福建5静电场的标势静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为，设r为
2、由源点xx 到场点x x的距离，则场点x x处的电势为 1()()4dVr。xx山东大学物理学院 宗福建6(0)(1)(2)(0)0(1)0(2)0()()()().11()411()4111():46xQRRR pDxxxxxx山东大学物理学院 宗福建72()()()(31 )VVVQdVdVrdVxpx xDxxx山东大学物理学院 宗福建8本讲主要内容 静磁场的矢势 矢势的微分方程 矢势的多极展开 磁偶极子的场山东大学物理学院 宗福建9静磁场的矢势静磁场的矢势 在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的磁场部分为 00BJB山东大学物理学院 宗福建10静磁场的矢势静磁场的矢势
3、 磁场的特点和电场不同。静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷,静电场线永不闭合。静磁场则是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。由于特性上的显著差异，描述磁场和电场的方法就有所不同。静电场由于其无旋性,可以引入标势来描述。磁场由于其有旋性，一般不能引入一个标势来描述。但是由于磁场的无源性，我们可以引入另一个矢量来描述它。山东大学物理学院 宗福建11静磁场的矢势静磁场的矢势 根据矢量分析的定理（附录.17式）,若 则 B B 可表为另一矢量的旋度 A A 称为磁场的矢势。0BBA山东大学物理学院 宗福建12静磁场的矢势静磁场的矢势 为了看出矢势A A的意义，我们考察上式的积分形式。把B
4、 B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得式中左边是通过曲面S的磁通量。由上式，通过一个曲面的磁通量只和这曲面的边界L有关，而和曲面的具体形状无关。SSLdddBSASAl山东大学物理学院 宗福建13静磁场的矢势静磁场的矢势 矢势A A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任意曲面的磁通量。只有A A的环量才有物理意义，而每点上的A A(x x)则没有直接的物理意义。山东大学物理学院 宗福建14静磁场的矢势静磁场的矢势 由矢势A可以唯一确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A。即 A A+与A A对应于同一个磁场B B。A A的这种任意性是由于只有A A的环量才有物理意义
5、，而每点上的A A本身没有直接的物理意义。()AA山东大学物理学院 宗福建15静磁场的矢势静磁场的矢势 由 A A 的这种任意性，我们还可以对它加上一定的限制条件，由下面的推导可知，对A A加上辅助条件 是特别方便的。0A山东大学物理学院 宗福建16静磁场的矢势静磁场的矢势 我们先说明对A A加以上条件总是可以的，也就是说总可以找到一个A A，满足 设有某一解A A不满足上式，0A0uA山东大学物理学院 宗福建17静磁场的矢势静磁场的矢势 我们另取一解 A A的散度为 AA22u AA山东大学物理学院 宗福建18静磁场的矢势静磁场的矢势 取 为泊松方程 的一个解，代入上式，所得的A A 就满足
6、 A A=0。对A A所加的辅助条件称为规范条件。220u AA2u 山东大学物理学院 宗福建19矢势微分方程矢势微分方程 把 B=A 代入 得矢势A的微分方程 0()AJ0BJ山东大学物理学院 宗福建20矢势微分方程矢势微分方程 由矢量分析公式（附录.25式），若取A满足规范条件 A=0，得矢势A的微分方程,又称矢势A的泊松方程。20(0)AJA2()()AAA山东大学物理学院 宗福建21矢势微分方程矢势微分方程 A A的每个直角分量 Ai 满足泊松方程 这些方程和静电势 的方程 有相同形式。20iiAJ(1,2,3)i 20/山东大学物理学院 宗福建22矢势微分方程矢势微分方程 静电势 的
7、方程 20/1()()4dVr0 xx山东大学物理学院 宗福建23矢势微分方程矢势微分方程 对比静电势的解，可得矢势A的泊松方程式 特解 式中x是源点，x是场点，r为由x 到x的距离。20(0)AJA0()()4xdVrJAx山东大学物理学院 宗福建24矢势微分方程矢势微分方程 求出A以后，取旋度即可求出B。0000033()4()()411()()()41()()()04()1()4dVrdVrdVrrdVrdVrrr BArrJ xJ xJ xJ xJ xJ xJ x山东大学物理学院 宗福建25矢势微分方程矢势微分方程 这就是毕奥-萨伐尔定律。过渡到线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代
8、换 JdV I dl 得 034drl rBI034dVrJ(x)rB山东大学物理学院 宗福建26矢势的边值关系 在两介质分解面上磁场的边值关系为 磁场边值关系可以化为矢势A A的边值关系。对于非铁磁介质，矢势的边值关系为 2121()()0nHHn BB212121()011()nAAnAA山东大学物理学院 宗福建27矢势的边值关系 在分界面两侧取一狭长回路计算A A对此狭长回路的积分。当回路短边长度趋于零时，另一方面，由于回路面积分趋于零,有 21()ttdAAlAl0ddABSl山东大学物理学院 宗福建28矢势的边值关系 因此，若取 A A=0 规范，可得 合起来得 21ttAA21nn
9、AA21212111()AAnAA静磁场的唯一性定理 与静电场类似，静磁场也有唯一性定理，基本的理念是对确定的体系场由边界条件唯一确定。对静电问题，边界条件可以是设定边界上标势值或者是场在边界上D的垂直分量(与导体上的表面电荷有关)。与此相对应，对静磁问题，边界条件可以是边界上的矢势A或者是H的切向分量(与导体上的表面电流相关)。静磁场的唯一性定理山东大学物理学院 宗福建31磁场的能量磁场的能量 由第一章，磁场的总能量为 0212WdVB山东大学物理学院 宗福建32磁场的能量磁场的能量 20000200111()222()()()()()111()222 BB BA BABA BABA BAB
10、ABABA JBABA J山东大学物理学院 宗福建33磁场的能量磁场的能量 20001211()2211()2212WdVdVdVddVdVBABA JABSA JA J山东大学物理学院 宗福建34磁场的能量磁场的能量 和静电情形一样，此式仅对总能量有意义，不能把 AJ/2 看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。12WdVA J山东大学物理学院 宗福建35矢势的多级展开矢势的多级展开 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为 0()()4xdVrAJ x山东大学物理学院 宗福建36矢势的多级展开矢势的多级展开 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远
11、，我们可以把A(x)作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得 011111:.2!1111()():.42!rRRRxdVRRRxx xAJ xxx x山东大学物理学院 宗福建37矢势的多级展开矢势的多级展开 展开式的第一项为 由教材第46页，习题5知 (0)0()()4xdVRAJ x(,)dt dVdtpJ x山东大学物理学院 宗福建38矢势的多级展开矢势的多级展开 所以，对于稳恒电流：此式表示和电场情形不同，磁场展开式不含磁单极项，即不含与点电荷对应的项。(0)()0 x A山东大学物理学院 宗福建39矢势的多级展开矢势的多级展开 展开式的第二项为(1)0031414dV
12、RdVR AJxJx R山东大学物理学院 宗福建40矢势的多级展开矢势的多级展开 把并矢Jx表示为对称部分与反对称部分之和，则对称部分对应于电四极矩对时间的导数，反对称部分对应于磁偶极矩。11Jx=(Jx+xJ)+(Jx-xJ)2211Jx R=(Jx+xJ)R+(Jx-xJ)R22山东大学物理学院 宗福建41矢势的多级展开矢势的多级展开(1)030303141414dVRdVRdVRAJx R1=(Jx+xJ)R21+(Jx-xJ)R2山东大学物理学院 宗福建42矢势的多级展开矢势的多级展开 首先，对称部分136106dVdVdddVdtdtdddVdVdtdtddt1(Jx+xJ)R(vx
13、+xv)R22xx(x+x)R2xxRxxR2DR山东大学物理学院 宗福建43矢势的多级展开矢势的多级展开 首先，对称部分,变化电四极矩的贡献。稳恒电磁场情况下，该部分的贡献为0。山东大学物理学院 宗福建44矢势的多级展开矢势的多级展开 其次，反对称部分11111dVdVdVdVdVdV1(JxxJ)R(J(x R)x(J R)22(x R)J(J R)x)2(x J)R(x J)R22mRm(x J)2山东大学物理学院 宗福建45矢势的多级展开矢势的多级展开 反对称部分，相当于电流环。磁偶极矩的贡献。山东大学物理学院 宗福建46矢势的多级展开矢势的多级展开 则，m m称为电流的磁矩1()2d
14、VmxJ x(1)003144RR mRAm山东大学物理学院 宗福建47矢势的多级展开矢势的多级展开 对某闭合电流流线管 JdVJdV IdlIdl 式中 称为电流线圈的磁矩。(1)0033()424IdRR mRARxl2IdI S mxl山东大学物理学院 宗福建48矢势的多级展开矢势的多级展开 展开式中：第1项为0；第2项为磁偶极矩的贡献；其他更高次项，我们不予讨论。01111()():.42!xdVRRRAJ xxx x山东大学物理学院 宗福建49矢势的多级展开矢势的多级展开(1)003(1)0144114RRR mRAmp阿哈罗夫-玻姆（A-BA-B）效应n 1959年阿哈罗夫年阿哈罗
15、夫-玻姆提出在量子力学可适用玻姆提出在量子力学可适用 的微观态中的微观态中 和和 有可观测的物理效应，这有可观测的物理效应，这 一效应被称为一效应被称为A-B效应。效应。AA-B效应表明，在量子物理中磁场的物理效效应表明，在量子物理中磁场的物理效 应不能完全用应不能完全用 来描述，矢势可以对电子发来描述，矢势可以对电子发 生相互作用。但是由于生相互作用。但是由于 的任意性，用它描的任意性，用它描 述磁场显然又过多。述磁场显然又过多。BA机动 目录 上页 下页 返回 结束 带有螺线管电子衍射实带有螺线管电子衍射实验发现，能够完全且恰当验发现，能够完全且恰当的描述磁场的物理量是相的描述磁场的物理量
16、是相因子：因子：。若。若L为可为可缩小到一点的无穷小路径，缩小到一点的无穷小路径，则则LldAeieSBldAL因此相因子描述等价于局域磁场的描述。但是当因此相因子描述等价于局域磁场的描述。但是当L为不能缩小到一点的路径时，则相因子所包含的物为不能缩小到一点的路径时，则相因子所包含的物理信息就不能用局域场描述。理信息就不能用局域场描述。P0,0BA机动 目录 上页 下页 返回 结束 山东大学物理学院 宗福建52课下作业教材第教材第108-109页页 习题习题14补充题：补充题：给出静磁场矢势A的物理意义，由矢势A可以确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一确定矢势A，试证明对矢势A可加辅助条件，并推导出矢势A满足的泊松方程0A2(0)AJA
