1、第二章 电磁场的基本规律（3）2.5电磁感应定律和位移电流 2.6麦克斯韦方程组教师姓名：宗福建单位：山东大学微电子学院2018年3月27日22.1 电荷守恒定律电荷守恒定律2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律2.4 媒质的电磁特性媒质的电磁特性2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件本章讨论内容本章讨论内容本章知识脉络本章知识脉络电磁场的源：电荷、电流（电磁场的源：电荷、电流（2.12.1）主线：亥姆霍兹定理主线：亥姆霍兹定理静静态态
2、场场静电场的散静电场的散度和旋度度和旋度静磁场的散静磁场的散度和旋度度和旋度真空中（真空中（2.22.2）介质中（介质中（2.42.4）真空中（真空中（2.32.3）介质中（介质中（2.42.4）时变场时变场（麦克斯韦方程组）（麦克斯韦方程组）(2.5,2.6)(2.5,2.6)时变场的散度和旋度时变场的散度和旋度边界条件边界条件(2.7)(2.7)41、磁感应强度的定义，毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，并推导出磁感应强度的散度和旋度公式。2、安培环路定律的数学表达式，并能灵活应用。5小结小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 ddd0SVCDS
3、VEl（积分形式）（积分形式）0DE （微分形式），（微分形式），小结小结：恒定磁场是无源有旋场，磁介质中的基本方程为：恒定磁场是无源有旋场，磁介质中的基本方程为（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）0HJB ddd0CSSHlJSBS631()()4xdVrE 0 x r()()()()()0()0fxxxxEDEE 0 xx70()4xdVJrB3(x)r00fBBBJHJ 08介质方程（媒质的本构关系）真空中DEBHJE00DEBH9101112132.1 电荷守恒定律电荷守恒定律2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场
4、的基本规律2.4 媒质的电磁特性媒质的电磁特性2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件本讲讨论内容本讲讨论内容141824年，阿拉哥曾做过一个神秘的实验：观察到，一个磁体由于在它附近转动一个铜盘而引起运动。我们知道，铜是非磁性 材料，磁铁对它不起作用。15自从1820年奥斯特发现了电流的磁效应之后，人们跟着研究相反的效应，即磁场能否导致电流？早在1824年Faraday就论证过，既然电流对磁体有作用，那么磁体也应对电流有反作用。161825年，他将一根导线通以电流，这根导线紧挨着另一根与电流计相连的导线，但
5、是没有得到结果。1828年他又做了一次没有结果的实验。但是，Faraday坚持做实验。171831年8月，Faraday取了一个软铁环并以线圈A和B缠绕着它。线圈B跟一个电流计相连接。当线圈A和有10个电池的电池组相接时，电流计的指针震荡起来，并且最后又停在原来的位置上。在切断电源时指针又受到扰动。18第二天，他取了一个铁圆筒，以跟电流计相连接的螺旋线把它绕起来。然后把圆筒放在条形磁铁的两极之间。191831年8月，M.法拉第在软铁环两侧分别绕两个线圈，其一为闭合回路，在导线下端附近平行放置一磁针，另一与电池组相连，接开关，形成有电源的闭合回路。实验发现，合上开关，磁针偏转；切断开关，磁针反向
6、偏转，这表明在无电池组的线圈中出现了感应电流。法拉第立即意识到，这是一种非恒定的暂态效应。20紧接着他做了几十个实验，把产生感应电流的情形概括为 5 类：变化的电流，变化的磁场，运动的恒定电流，运动的磁铁，在磁场中运动的导体，并把这些现象正式命名为电磁感应。21进而，法拉第发现，在相同条件下不同金属导体回路中产生的感应电流与导体的导电能力成正比，他由此认识到，感应电流是由与导体性质无关的感应电动势产生的，即使没有回路没有感应电流，感应电动势依然存在。后来，楞次定律给出了感应电流方向。描述电磁感应定量规律的法拉第电磁感应定律。并按产生原因的不同，把感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种，前者起
7、源于洛伦兹力，后者起源于变化磁场产生的有旋电场。22电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比。Sdddt BS23线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间中存在着电场。因此，电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。24感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律可写为 LLSdddddtElElBSLSddtBESl若回路L是空间中的一条固定回路，则上式中对t的全微商可代为偏微商 25化为微分形式后得()()0LSSdddtEESBESlt BE26这是磁场对电场作用的
8、基本规律。由可见，感应电场是有旋场。因此在一般情况下，表示静电场无旋性的必须代以更普遍的。t BE0Et BE27即：0ftt BEBEDEDE 相应的微分形式为相应的微分形式为(1)回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化ddddSSBBSStt引起回路中磁通变化的几种情况：引起回路中磁通变化的几种情况：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有BEt ddCSBE lSt 称为动生电动势，这就是发电机工作原理。称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(2)导体回路在恒定磁场中运动导体回路在恒定磁场中运动()dinCvBlddd()d()SSSBS
9、BSBvdlttdlB vdd()ddinSCBSvBlt(3)回路在时变磁场中运动回路在时变磁场中运动()ddinCSBvBlStdddinSBSt （1），矩形回路静止；，矩形回路静止；0cos()zBe Btxbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvB （3），且矩形回路，且矩形回路上的可滑动导体上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。xve v0cos()zBe Bt 例例 2.5.1 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电
10、动势。B （2），矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b=常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大；运动而随时间增大；0zBe Bxve vxbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvB00dcos()dsin()inzzSSBSe Bte SabBttt 解解：(1)均匀磁场均匀磁场 随时间作简谐变化，而回随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故生的，故B00()d()dinxzyCCvBle v e BelvB b (2)均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动
11、导为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体体L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得B或或00ddd()ddinSBSbB vtbB vtt (3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得0000d()d(cos)d(cos)dsincosinSCzzxzySCBSvBlte BteSe ve Bteltvt bBtvbBt （1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势；解解:（1）线圈
12、静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故 （2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。ab 例例 2.5.2 在时变磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 a x b 的的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，如角，如图所示。试求：图所示。试求：0sinyBe BtneyeddincBElSt 0(sind)ynse Bt eSt 0coscos dsBtS 0coscosB abt xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈ne
13、假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时，与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故故0t 0net 方法一：利用式方法一：利用式 计算计算dddinSBSt 0000dddddsind(sincos)ddd1(sin 2)cos 2d2inSynSBSte Bt eSabBttttB abtB abtt （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。感应电动势可以用两种方法计算。ne1023040()d()sind2()sind2sinsinnyxcnyxbvBlee Bt exbee Bt exB abt00
14、22000coscossinsincossincos2inab BtB abtB abtBabtB abt 上式右端第一项与上式右端第一项与(1)相同，第二项相同，第二项xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈ne12 234 方法二：利用式方法二：利用式()ddincSBvBlSt计算。计算。38先分析非恒定电流分布的特点。它一般不再是闭合的。例如带有电容器的电路实质上是非闭合的回路。在电容器两板之间是绝缘介质，自由电子不能通过。电荷运动到板上时，由于不能穿过介质，就在板上积聚起来。在交流电路中，电容器交替的充电和放电，但在两板之间的介质内始终没有传导电流通过。所以，电流J J在
15、该处实际上是中断的。39()fflssdddHJHlHSJS 40一般说来，在非恒定情况下，电荷守恒定律有 0t J41现在我们考察电流激发磁场的规律 取两边散度，由于（H H）0，因此上式只有当 J J=0时才可能成立。HJ42但是，在非恒定情形，一般有 J J 0，因而与电荷守恒定律发生矛盾。电荷守恒定律是精确的普遍规律，上式仅是根据恒定情况下的实验定律导出的特殊规律，在两者发生矛盾的情形下，我们应该修改上式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。HfJ43推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量J JD,它和电流J J合起来构成闭合的量。f()0DJJf()DHJJ并假设位移电流J JD
16、与电流J Jf f一样产生磁效应44由电荷守恒定律。电荷密度与电场散度有关系式 0tJD45两式合起来得 即得J JD的一个可能表示式 f()0tDJtDDJ46所以：0ftDHJBBH 全电流定律：全电流定律：DHJt 微分形式微分形式d()dCsDHlJSt 积分形式积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。关系。tdDJ2.位移电流密度位移电流密度q 电位移矢量随时间的变化率，能像电电位移矢量随时间的变化率，
17、能像电流一样产生磁场，故称流一样产生磁场，故称“位移电流位移电流”。注：注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。q 位移电流只表示电场的变化率，与传位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。导电流不同，它不产生热效应。q 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。揭
18、示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。dJ 例例 2.5.3 海水的电导率为海水的电导率为4 S/m，相对介电常数为相对介电常数为81，求频率，求频率为为1 MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。解解：设电场随时间作正弦变化，表示为设电场随时间作正弦变化，表示为则则位移电流密度为位移电流密度为其振幅值其振幅值为为传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为故故cosxmEe Et0sindxrmDJeEtt 304.5 10dmrmmJEE 4cmmmJEE31.125 10dmcmJJcos()A/mxmHe Htkz2()cos()sin()A/mdx
19、yzxxxyymymDJHeeee HtxyzHeeHtkzzze kHtkz 000011dsin()dcos()V/mymymDDEte kHtkzttkeHtkz 式中的式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例例 2.5.4 自由空间的磁场强度为自由空间的磁场强度为 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由式 ,得得DHt 例例 2.5.5 铜的电导率铜的电导率 、相对介电常数、相对介电常数 。设铜中的传导电流密度为设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流
20、相比是可以忽略的。电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。75.8 10 S/m1r2cosA/mxmJe Jt000(cos)sindrrxmxrmDEJe EteEtttt 0dmrmJE 而传导电流密度的振幅值为而传导电流密度的振幅值为mmJE通常所说的无线电频率是指通常所说的无线电频率是指 f=300MHz以下的频率范围，即使扩以下的频率范围，即使扩展到极高频段（展到极高频段（f=30GHz300GHz），从上面的关系式看出比），从上面的关系式看出比值值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。解解：铜中存在时变电磁场时，位移电
21、流密度为：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为位移电流密度的振幅值为12130721 8.854 109.58 105.8 10dmrmmmmmJEfEfJEE 5200tt BEEBJEB 0005300lslssvdldStdlIdStQdSIdSdSQdv BEEBEJB 000ss540tt BEDEDBHHJJEDB 550lslssvdldStdlIdStdSQIdSdSQdv BEDDEHBHDJJEB ss56000tt BEDEDHJBHDB 57000lslssvdldStdlIdStdSQIdSdSQdv BEDHDEBHDJB ss58这组方程称为
22、麦克斯韦方程组，它反映一般情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动的规律。在和J J为零的区域，电场和磁场通过本身的互相激发而运动传播。电磁场的相互激发是它存在和运动的主要因素，而电荷和电流则以一定形式作用于电磁场。59麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了电磁场的内部作用和运动。不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以互相激发。因此，只要某处发生电磁扰动，由于电磁场互相激发，它就在空间中运动传播，形成电磁波。麦克斯韦首先从这方程组在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。以后的赫兹(Hertz)实验和近代无线电的广泛实践完全证实了麦克斯韦方程组的正确性。60麦氏方
23、程组不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在，这样就加深了我们对电磁场物质性的认识。以后我们还将讨论电磁场的物质性质，逐步丰富对电磁场物质性质的认识。q 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发互为激发源，相互激发。q 时变电磁场的电场和磁场不再时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构相互独立，而是相互关联，构成一个整体成一个整体 电磁场。电电磁场。电场和磁场分别
24、是电磁场的两个场和磁场分别是电磁场的两个分量。分量。q 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。磁振荡并传播，这就是电磁波。q 在无源空间中，两个旋度方程分别为在无源空间中，两个旋度方程分别为DHt,BEt 可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场和磁场构成一个相互
25、激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。磁场增大反过来又使电场减小。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组时变场时变场静态场静态场缓变场缓变场迅变场迅变场电磁场电磁场(EM)准静电场准静电场(EQS)准静磁场准静磁场(MQS)静磁场静磁场(MS)0t0t0tD0tB小结小结：麦克斯韦方程适用范围麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象：一切宏观电磁现象静电场静电场(ES)恒定电场恒定电场(SS)dd(sin)ddcoscmmuiCCUtttCUt=sinmUtDEd
26、解解：(1)导线中的传导电流为导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为忽略边缘效应时，间距为d的两平行板的两平行板之间的电场为之间的电场为E=u/d，则，则 sinmuUt 例例 2.6.1 正弦交流电压源正弦交流电压源 连接到平行板电容器的连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。两个极板上，如图所示。(1)(1)证明电容器两极板间的位移电流与连证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；接导线中的传导电流相等；(2)(2)求导线附近距离连接导线为求导线附近距离连接导线为r 处的磁处的磁场强度。场强度。CPricu平行板电容器与交平行板电容器与交流电压源相接流电压源相接d2cHl
27、rH与闭合线铰链的只有导线中的传导电流与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ，故得，故得coscmiC Ut2cosmrHCUt (2)以以 r 为半径作闭合曲线为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故性，使得沿闭合线的磁场相等，故0ddcoscosmdmcSSUDiSt SC UtitdJS式中的式中的S0为极板的面积，而为极板的面积，而0SCd为平行板电容器的电容。为平行板电容器的电容。则极板间的位移电流为则极板间的位移电流为cos2mCUHe Hetr 例例 2.6.2 在无源在无源 的电介质的电介质 中，若已知中，若已知电场强度
28、矢量电场强度矢量 ，式中的，式中的E0为振幅、为振幅、为角为角频率、频率、k为相位常数。试确定为相位常数。试确定k与与 之间所满足的关系，之间所满足的关系，并求出与并求出与 相应的其它场矢量。相应的其它场矢量。(00)J、(0)0cos()V/mxEe EtkzE 解解：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定用麦克斯韦方程组可以确定 k 与与 之间所满足的之间所满足的关系，以及与关系，以及与 相应的其它场矢量。相应的其它场矢量。EE00cos()sin()xyyyEeeEtkze kEtkzzz cos()myk
29、EBetkz对时间对时间 t 积分，得积分，得()xyzxxBEeeee Etxyz BH=DE2sin()xyzymxxxyzeeeHk EHeetkzxyzzHHH sin()xxxmDDeeEtkztt DHt由由22k cos()mykEHetkzcos()xmDeEtkz以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和和 D代入式代入式 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 什么是电磁场的边界条件什么是电磁场的边界条件?为什么要研究边界条件为什么要研究边界条件?ne媒质媒质1 1媒质媒质2 2 如何讨论边界条件如何讨论边界条
30、件?实际电磁场问题都是在一定的物理空实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。同媒质分界面上电磁场的基本属性。物理物理：由于在分界面两侧介质的特性参由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界面两侧失去意义，必形式在分界面两侧失去意义，必 须采用边界
31、条件。须采用边界条件。数学数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的解是不确定的，边界条件起定解的 作用。作用。麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。且听下回分说！且听下回分说！教材第86-87页 2.24，2.26，2.29补充题补充题3 3、直接给出真空中及介质中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。补充题补充题4、设想存在孤立磁荷（磁单极子），试改写Maxwell方程组，以包括磁荷密度m m和磁流密度J Jm m的贡献。（设 ）69mH谢谢！
