1、第一章第一章1.真空中两个点电荷真空中两个点电荷q1=1.0 10-10 库仑，库仑，q2=1.0 10-10 库仑，库仑，相距相距100毫米，求毫米，求q1 受的力。受的力。解：依库仑定律，解：依库仑定律，q1受力大小为：受力大小为：其方向由其方向由 q1 指向指向q2。23111092021)10100(100.1100.1100.94rqqF10100.9(N)电磁学习题解答电磁学习题解答2023-2-72.真空中两个点电荷真空中两个点电荷q与与Q，相距，相距5.0毫米，吸引力为毫米，吸引力为40达达因。已知因。已知q=1.2 10-6 库仑，求库仑，求Q。解：解：依库仑定律：依库仑定律
2、：623124102.1100.51085.814.34100.413103.9qrFQ204204rqQF（库仑）（库仑）2023-2-73.为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用力和相距一千仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。米时的相互作用力。解：间距为解：间距为1米时的作用力：米时的作用力：间距为间距为1000米时的作用力：米时的作用力：)(100.9111100.94929210211NrqqF)(100.9100011100.94329220212NrqqF
3、2023-2-74.氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是是5.29 10-11米。已知质子质量米。已知质子质量M=1.67 10-27千克，电子质量千克，电子质量m=9.11 10-31千克，电荷分别为千克，电荷分别为 1.60 10-19库，万有引力库，万有引力常数常数G=6.67 10-11牛顿米牛顿米2/千克千克2。（。（1）求电子所受的库仑力；）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（）库仑力是万有引力的
4、多少倍？（3）求电子的速度。）求电子的速度。解：电子受的库仑力大小为：解：电子受的库仑力大小为：)(1023.8)1029.5()106.1(100.94821121992021NrqqFe)(.).(.NrmMGF472112731112106331029510671101910676 电子的万有引力大小为：电子的万有引力大小为：394781027.21063.31023.8FFe（倍）（倍）2023-2-75.卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到10-15米时，米时，他们之间的排斥引力仍遵守库仑定律。金的原子核中有他们之间的排斥引力仍遵守库仑
5、定律。金的原子核中有79个个质子，氦的原子核（即质子，氦的原子核（即粒子）中有粒子）中有2个质子。已知每个质子个质子。已知每个质子带电带电e=1.60 10-19库，库，粒子的质量为粒子的质量为6.68 10-27千克。当千克。当粒子与金核相距为粒子与金核相距为6.9 10-15米时（设这时它们都仍可当作点米时（设这时它们都仍可当作点电荷），求（电荷），求（1）粒子所受的力；（粒子所受的力；（2）粒子的加速度。粒子的加速度。解：（解：（1）从上题中得知：从上题中得知：粒子受的万有引力可以忽略，粒子受的万有引力可以忽略，它受的库仑力为：它受的库仑力为：（2）粒子的加速度为：粒子的加速度为：)(1
6、084.7)109.6()106.12()106.179(100.9422152191992021NrqqF)/(1017.11068.61084.7229272smmFa2023-2-76.铁原子核里两质子间相距铁原子核里两质子间相距4.0 10-15米，每个质子带电米，每个质子带电e=1.60 10-19库，（库，（1）求它们之间的库仑力；（）求它们之间的库仑力；（2）比较这）比较这力与每个质子所受重力的大小。力与每个质子所受重力的大小。解：（解：（1）它们之间的库仑力大小为：）它们之间的库仑力大小为：（2）质子的重力为：）质子的重力为：故：故：（倍）（倍）)(5.14)1009.4()1
7、06.1(100.942152199202NreF)(1064.18.9106.12627NmgP26261082.81064.15.14PF2023-2-77.两个点电荷带电两个点电荷带电2q和和q，相距，相距l，第三个点电荷放在何处所，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？受的合力为零？解：依题意作如右图所示，解：依题意作如右图所示，q0受受2q和和q的库仑力相等。的库仑力相等。20020)(44)2(xlqqxqqxlx12xxl22lx2)21(llx122122xl-x2023-2-78.三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此
8、三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？的合力为零？解：设三个电荷相等为解：设三个电荷相等为q，三边边长为，三边边长为a，其中心到三顶点距，其中心到三顶点距离为离为 ，此处置于电荷，此处置于电荷q0，则：，则：2000202)33(4|30cos42aqqaq3223a20243223aqaq|330qq|330qq 2023-2-79.电量都是电量都是Q的两个点电荷相距为的两个点电荷相距为l，连线中点为，连线中点为O；有另一；有另一点电荷点电荷q，在连线的中垂面上距，在连线的中垂面上距O为为x处。处。(1)求求q受
9、的力；受的力；（2）若）若q开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就动？分别就q与与Q同号和异号情况加以讨论。同号和异号情况加以讨论。解：（解：（1）q受的库仑力为：受的库仑力为：(2)若若Q与与q同号，同号，q向上运动；向上运动；若若Q与与q异号，异号，q以以o为中心作往复运动。为中心作往复运动。2/3220222220)4/(24/)4/(42lhqQhlhhlhqQFQhlooqQooF（N）2023-2-710.两个小球质量都是两个小球质量都是m，都用长为，都用长为l的细线挂在同一点；的细线挂在同一点；若它们带上相同的电量，平衡
10、时两线夹角为若它们带上相同的电量，平衡时两线夹角为2（见附图）。（见附图）。设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。解：依题意可知，解：依题意可知，q受三个力处于平衡：受三个力处于平衡：写成分量形式：写成分量形式：0gmTF 20224)sin(sincos lqTmgT20224)sin(tan lmgq tansinmglq042 qqll2023-2-71.在地球表面上某处电子受到的电场力与它本身的总量相在地球表面上某处电子受到的电场力与它本身的总量相等，求该处的电场强度（已知电子质量等，求该处的电场强度（已知电子质量9.1 103
11、1千克，电千克，电荷为荷为 -e=-1.60 10-19库）。库）。解：若此处的电场为解：若此处的电场为E，则，则米伏/106.5106.18.9101.9111931qmgE2023-2-72.电子说带的电荷量（基本电荷电子说带的电荷量（基本电荷-e）最先是由密立根通过油滴）最先是由密立根通过油滴试验测的。密立根设计的试验装置如附图所示。一个很小的带试验测的。密立根设计的试验装置如附图所示。一个很小的带电油滴在电场电油滴在电场E内。调节内。调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的，使作用在油滴上的电场力与油滴的总量平衡。如果油滴的半径为总量平衡。如果油滴的半径为1.64 104厘米，在平衡时，
12、厘米，在平衡时，E1.92 105牛顿牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为0.851克克/厘米厘米3）。）。解：设油滴带电量为解：设油滴带电量为q，有电场力格重力平衡条件：，有电场力格重力平衡条件：qEmg得：得：EgkEmgq33/4563361092.18.91010851.0)1064.1(14.33/4库仑191002.8喷雾器喷雾器油滴油滴显微镜显微镜电池组电池组E+-2023-2-73.在早期（在早期（1911年）的一连串实验中，密立根在不同的时刻观察年）的一连串实验中，密立根在不同的时刻观察单个油滴上呈现的电荷，其测量结果（绝对值）如下：
13、单个油滴上呈现的电荷，其测量结果（绝对值）如下：6.586 1019库仑库仑 13.13 1019库仑库仑 19.71 1019库仑库仑8.204 1019库仑库仑 16.48 1019库仑库仑 22.89 1019库仑库仑11.50 1019库仑库仑 18.08 1019库仑库仑 26.13 1019库仑库仑根据这些数据，可以推得基本电荷根据这些数据，可以推得基本电荷e的数值为多少？的数值为多少？解：把上下，自左向右每两组数相减得：解：把上下，自左向右每两组数相减得：1.636 10-19 3.296 10-19 1.63 10-19 3.18 10-19 3.24 10-19 3.35 1
14、0-19 1.60 10-19 1.63 10-19 其中以其中以1.6 1019作为一个基本数据，上面的总数为作为一个基本数据，上面的总数为12个基本数据。个基本数据。故：故：库仑）(.).(1919106301121024318363160135363129636391 2023-2-74.根据经典理论，在正常状态下，氢原子绕核作圆周运动，根据经典理论，在正常状态下，氢原子绕核作圆周运动，其轨道半径为其轨道半径为5.29 10-11米。已知质子电荷为米。已知质子电荷为e1.60 1019库，库，求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。解：电子所在处的
15、原子核（即质子）的电场由：解：电子所在处的原子核（即质子）的电场由：库仑米或牛顿伏）/.(.112101992010145105290106110094 rqE 2023-2-75.两个点电荷，两个点电荷，q1 8.0微库仑，微库仑，q2=-16.0微库仑（微库仑（1微微库仑库仑106库仑），相距库仑），相距20厘米。求离它们都是厘米。求离它们都是20厘米处的厘米处的电场强度电场强度E。解：依题意，作如图所示：解：依题意，作如图所示：q120cmoq2ooEr2r1yx3100960606020121 .sinsinEEEEEyyy6020121220222101110702606044 .c
16、oscosEEEEErqErqEyyy 米伏/.6221013 yxEEE055113010391027 tantanxyEE方向 2023-2-76.如附图所示，一电偶极子的电偶极矩如附图所示，一电偶极子的电偶极矩p=ql，P点到偶极点到偶极子中心的距离为子中心的距离为r，r与与l的夹角微的夹角微。在。在rl时时，求，求P点的电点的电场强度场强度E在在rOP方向的分量方向的分量Er和垂直于和垂直于r方向上的分量方向上的分量E。解：把解：把pql分解为：分解为：ppsin，prpcos,由电偶极子在延由电偶极子在延长线，垂直平分线公式得：长线，垂直平分线公式得：20204242rprpErr
17、cos 202044rprpE sin 33444220222022 cossincosrprpEEErlo-q+qP(r,)r2023-2-77.把电偶极矩把电偶极矩pql的电偶极子放在点电荷的电偶极子放在点电荷Q的电场内，的电场内，p的中的中O到到Q的距离为的距离为r（rl）。分别求（）。分别求（1）p/（图（图a）和）和p （图（图b）时偶极子所受的力）时偶极子所受的力F和力矩和力矩L。解：（解：（1）在图中（上图）在图中（上图）p/时，时，P受力：受力：正电荷：正电荷：负电荷：负电荷：P受合力：受合力：QOQOQO)()/(NlrqQF2024 )()/(NlrqQF2024 )()/
18、()/(NrqQlrlrqQFFF302204221214 PrQOOPQ2023-2-7)4/(4220lrqQF)4/(4220lrqQF303022220444/2/)4/(42rQPrqQllrllrqQFFF0|EPMPrQPEEPM204|（2）在图中（下图）在图中（下图）P ，P受力：受力：正电荷：正电荷：负电荷：负电荷：P受合力：受合力：P受的力矩：（受的力矩：（1）中）中P/，力矩，力矩 (2）中，）中，P ，力矩，力矩QOQOQO2023-2-78.附图中所示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子附图中所示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子pql组成，这两电偶极子在同一
19、直线上，但方向相反，它们的负组成，这两电偶极子在同一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为为r处，处，式中式中Q2ql2叫做它的电四极矩。叫做它的电四极矩。解：依电场叠加原理，三个点电荷在解：依电场叠加原理，三个点电荷在P处的场强：处的场强：222020202012144424 rlrlrqlrqrqlrqE/)()(),(4340lrrQE 4022202222202436432123214E21111rQrlrqrlrlrlrlrqxxx !)(!取二级近似利用rl-lP-2q+q+q2
20、023-2-79.附图中所示是另一种电四极子，设附图中所示是另一种电四极子，设q和和l都已知，图中都已知，图中P点点到电四极子中心到电四极子中心O的距离为的距离为x，与正方形的一对边平行，求与正方形的一对边平行，求P点的电场强度点的电场强度E。当。当xl时时,E=?解解:利用偶极子在中垂线上的场强公式利用偶极子在中垂线上的场强公式来计算来计算:方向向下301)2/(4lxPE方向向上30224)/(lxPE 30322320330303012434434212142424EPxPllxllxPlxlxPlxPlxPEE )/(/)/()/()/()/(:点合场强为故+q+q-q-qllxllP
21、2023-2-710.求均匀带电细棒求均匀带电细棒(1)在通过自身端点的垂直面上和在通过自身端点的垂直面上和(2)在在自身的延长线上的场强分布自身的延长线上的场强分布,设棒长为设棒长为2l,带电总量为带电总量为q.解解:依题意选坐标系如图所示依题意选坐标系如图所示.Y-y+dy带电带电:(1)它在它在x处的电场为处的电场为:lqdydydq2/lq 2/)(4220yxdydE2202023220444lxxqyxxdydEElx /)(cos 220202322041184lxxlqyxydydEEly /)(sin ylyyydyEl1214402020 )(轴某点场强在y2lqdydyd
22、q/2023-2-711.两条平行的无线长直均匀带电导线两条平行的无线长直均匀带电导线,相距为相距为a,电荷线密度电荷线密度分别为分别为e。（。（1）求这两线构成的平面上任一点（设这点）求这两线构成的平面上任一点（设这点到其中一线的垂直距离为到其中一线的垂直距离为x）的场强；（）的场强；（2）求两线单位长度）求两线单位长度间的相互吸引力。间的相互吸引力。解：（解：（1）依题意）依题意,做如图所示，故做如图所示，故x处电场：处电场：)()(axxaaxxEeee 000222 （2）第一直线电荷在第二直线电荷处的电场为：）第一直线电荷在第二直线电荷处的电场为：第二直线电荷单位长度受力为：第二直线
23、电荷单位长度受力为：aEe02)(负号表吸引力aFe022 eeaoxx2023-2-712.如附图，一半径为如附图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为的均匀带电圆环，电荷总量为q。（1）求轴线上离环中心为）求轴线上离环中心为x处的场强处的场强E；（；（2）画出）画出Ex曲曲线；（线；（3）轴线上什么地方场强最大？其值是多少？）轴线上什么地方场强最大？其值是多少？解：（解：（1）)(2204yxdqdE 232204/)(cosyxxdqdEdEx 232204/)(cosyxxqdEEx 20232222232223223620232003RqERxyxxyxxyxyxxdxddxdERx
24、 /max/|/)(/)()(,/)(令dqPROx)2(oEx2023-2-713.半径为半径为R的圆面上均匀带电，电荷的面密度为的圆面上均匀带电，电荷的面密度为e。（1）求轴线上离圆心的坐标为）求轴线上离圆心的坐标为x处的场强；（处的场强；（2）在保持）在保持e不不变的情况下，当变的情况下，当R0和和R时的结果如何？（时的结果如何？（3）在保持）在保持总电荷总电荷QR2 e不变的情况下，当不变的情况下，当R0和和R时结果如时结果如何？何？解：（解：（1）在）在rrdr取一小圆环，带电量取一小圆环，带电量dq erdr，它在，它在x处电场：处电场：232202322044/)()(rxrdr
25、xrxxdqdEe )(/220023220124rxxrxrdrxEeRe 0122122220022000 limlimlimlim)(rxxErxxEexxeexx Rxdqx2023-2-70124123220202220200 limlimlimlim)(rxxRQExQrxxRQERRRR 2023-2-714.一均匀带电的正方形细框，边长为一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为，总电量为q。求这正。求这正方形轴线上离中心为方形轴线上离中心为x处的场强。处的场强。解：依题意作如图所示，线电荷密度为解：依题意作如图所示，线电荷密度为q/4l，其一个边上，其一个边上，xxdx带电量
26、为带电量为dqdx。它在。它在 z轴某点电场：轴某点电场：由于对称性，由于对称性，z处总场强处总场强E为：为：)/(222044yxldxdE 2222220444yxlzyxldxdEz /)/(2322022232220244444/)/()/(lxqzyxldxzdEEllzz xdqzyl/2z2023-2-715.证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。则抛物线在什么情况下退化为直线？物线。则抛物线在什么情况下退化为直线？解：设电场解：设电场E方向沿着方向沿着y方向，且如图选取坐标系。方向，且如图选取坐标系。t0时刻，
27、时刻，带电粒子带电粒子q位于位于0处，初速度处，初速度v0与与x轴夹角轴夹角，则：，则：qEtdydmtdxdm22220 mqEaattvytvx/sincos 2200 上式中消去上式中消去t得：得：为开口向上抛物线。为开口向上抛物线。tancos22220 xxmvEqyxy0vE2023-2-716.如附图，一示波管偏转电极的长度如附图，一示波管偏转电极的长度l1.5厘米，两极间电厘米，两极间电场是均匀的，场是均匀的，E1.2104伏伏/米（米（E垂至于管轴），一个电子垂至于管轴），一个电子一初速度一初速度v02.6107米米/秒沿铅管轴注入。已知电子质量秒沿铅管轴注入。已知电子质量m
28、9.1 1031千克，电荷为千克，电荷为e1.6 1019库。（库。（1）求）求电子经过电极后所发生的偏转电子经过电极后所发生的偏转y；（；（2）若可以认为一出偏转电）若可以认为一出偏转电极的区域之后，电场立即为零。设偏转电极的边缘到荧光屏的极的区域之后，电场立即为零。设偏转电极的边缘到荧光屏的距离距离D10厘米，求电子打在荧光屏上产生的光电偏离中心厘米，求电子打在荧光屏上产生的光电偏离中心O的距离的距离y1。解：（解：（1）电子在电场中的加）电子在电场中的加速度为：速度为：meEa 0vlt 米3273124192022103501062101921051102110612121 .).(.
29、vlmeEaty+-偏转电极偏转电极电子电子v0荧荧光光屏屏PlDyy1O2023-2-7（2）电子从极板道荧光屏所用的时间为t1，则：20101111001mveElDtmveElatttvyytvDvDty /|（毫米）05101501035033201.mveElDyy2023-2-71.设一半径为设一半径为5厘米的圆形平面，放在场强为厘米的圆形平面，放在场强为300 牛顿牛顿/库仑的匀库仑的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角强电场中，试计算平面法线与场强的夹角取下列数值是通过此取下列数值是通过此平面的电通量：（平面的电通量：（1）0o；（；（2）30o；（；（3）90o；（；（4）
30、120o；（；（5）180o。解：电通量解：电通量（1）0o时：时：（2）30o：（3）90o：（4）120o：（5）180o：cos36.2coscos2rESSEe36.20cos36.2oe318.130cos36.2oe090cos36.2oe18.1120cos36.2oe36.2180cos36.2oe2023-2-72.均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。解：设半球面和圆面组成闭合面：011ssssdsEdsEdsE211)(aEdsEEdsdsEdsEsssss100iqdsE2023-2-73.如附图所示，在半径为R1和R2 的两个同心球
31、面上，分别均匀地分布着电荷Q1和Q2，求：（1）、三个区域内的场强分部；（2）若Q1Q2，情况如何？画出此情形的Er曲线。解：（1）高斯定理：求E的分布:0iqdsE)4/()()4/(02021201rQQrQErR1R1rR20)4/(020rQErR1R1rR2R1R2Q2Q1o)4/(220RQ)4/(210RQrE2R1Rr2023-2-701024eeqErdsEi4.根据量子理论，氢原子中心是一个带正电qe的原子核（可以看成是点电荷），外面是带负电的电子云。在正常状态（核外电子处在s态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的：式中a0为一常数（它相当于经典原子啊模型中s电子圆形轨道的
32、半径，称为玻尔半径）。求原子内的电场分布。解：在r处的电场E：,)(0/230areeeaqrp00/2020202/23001)122(4arrarreearardqreaeedqeee0/2020202021)122(44areeararrereeE2023-2-75.实验表明：在靠近地面出有相当强的电场，E垂直于地面向下，大小为100牛顿/库仑；在离地面1.5千米高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25牛顿/库仑。（1）试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；（2）如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。解：（1）由高斯定理：（2）若电荷全部分布在表面：（R为
33、地球半径）0021eshqsEsEdsE米）库仑/(104.41500)25100(1085.8)(1312210hEEe0204ERq米）库仑/(109.81001085.810120E1E2Eshs地球2023-2-76.半径为R的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为。求场强分布，并画Er曲线。解：由高斯定理：求得：0iqdsErR)2/(00rEErRo2023-2-77.一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2，筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度的电量分别为1和2。（1）求各区域内的场强分布；（2）若12情况如何？画出此情形的Er曲线。解：由高斯定理：求得：（1）电场分布
34、：0iqdsE)2/()()2/(002101rrErR1R1rR20)2/(001rErR1R1rR22023-2-78.半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为e。求场强分布，并画Er曲线。解：依题意作如图所示，由 求得E分布：rR 时：0iqdsE02/2lrrlE02/2lRrlE02rE rRE0222023-2-79.设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示：式中r是到轴线的距离，0是轴线上的e值，a是个常数（它是e减少到0/4处的半径）。求场强分布。解：由高斯定理：0iqdsE220)(1)(arre)(222020raraE22220022002)(1
35、2Erarlardvardvqrlrri右边式中左边2023-2-710.两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为e，求各区域的场强分布。解：由叠加原理可知：022022220000000eeCeeBeeeAEEEeexCAB2023-2-711.两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是e，求各处的场强分布。解：由叠加原理可求得：exCABe000000002222022eeeCeeeBeeAEEE2023-2-712.三个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为e1、e2、e3。求下列情况各处的场强：（1）e1 e2 e3 e；（2）e1 e3 e，e2 e；（3）e1 e3
36、 e，e2e；（4）e1 e，e2 e3 e。解：（只解答（4），其它类似地解答）（4）e1 e，e2 e3 e000000000000000022222222232222222eeeeDeeeeCeeeeBeeeeAEEEExCABDe3e2e12023-2-7reERQrREarr)4/(2)(1)(220022200iqdsE000000000000000022222222232222222eeeeDeeeeCeeeeBeeeeAEEEE2023-2-713.一厚度为d的无限大平板，平板内均匀带电，电荷的体密度为 。求板内外场强的分布。解：板内：由高斯定理得：0/qdSEi0/22xSE
37、S 0/xE 板外：0/2dSES 2/0dE 2023-2-714.在半导体pn结附近总是堆积着正、负电荷，在n区有正电荷，p区内有负电荷，两区电荷的代数和为零。我们把p-n接看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们互相接触（见图）。取坐标x的原点在p,n区的交界面上，n区的范围是 p区的范围是 设两区内电荷体分布都是均匀的：n区：p区:这里ND,NA 是常数，且NAxP=NDxn(两区电荷数量相等）。试证明电场的分布为 n区：E（x）Nde（xnx）/xxpxn0n区 p区证明：n区：EE1+E2+E3=P区:E(x)=Nae(xp-x)/并画出 （x）和E（x）随x变化的曲线来。,0 x
38、xn,0 xxp,)(eNxDe.)(eNxAe000000022)(22xxxxxxxpppnnpppnn)()(22000000 xxeNxxxxxxnDnppnnpnn p区：EE1+E2+E3=0000022)(22xxxxxxxpppnnpppnn)(222000 xxeNxpAppp2023-2-7P n 结外：(x)=0;并画出 和E(x)随x变化的曲线。15.如果在上题中电荷的体分布为-xn x xp :(x)=-eax.（线性缓变结膜型）这里a是常数，xn=xp(为什么）。统一用xm/2表示。试证明电场的分布为).4(8)(220 xxaexEm)(xe解：表面单位面积内：2
39、/8/|2)(222/22/2/xeaxeaxxeaxeaxdxxdxxqmxxxmmm由中性面两侧电荷密度对称且异号，故p_n结处E=0,如图取高斯面，依高斯定理0/)(qSxE).4(8220 xxaem0Sx2023-2-71.在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为一百兆伏，通过的电量约为伏，通过的电量约为30库仑。问一次闪电消耗的能量是多少？库仑。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从如果用这些能量来烧水，能把多少水从 加热到加热到Co0?1000C解解:(1)一次闪电消耗的能量一次闪电消耗的能量103
40、1030109 )(VVqWBA（焦耳）（焦耳）(2)设水的质量为设水的质量为m，1019.71001024.0103)(431012TcWmTcmTTcmWQ（千克）（千克）2023-2-72 以知空气的击穿强为以知空气的击穿强为2 106伏伏/米，测得某次闪电的火花米，测得某次闪电的火花长长100米，求发生这次闪电两端的电位差。米，求发生这次闪电两端的电位差。解：两端电位差为解：两端电位差为V2-V1，则，则.V2-V1=E d=2 106 100=2 108（伏）（伏）2023-2-73.证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方
41、，电场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方场强度的大小必定处处相等；或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。（提示：利用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和用高斯定理和作功与路径无关的性质，分别证明沿同一电力线和沿同一等位面上两点的场强相等。）沿同一等位面上两点的场强相等。）解：解：(1)依题意做如图所示，由高斯定理：依题意做如图所示，由高斯定理：所以：所以：EA=EB.0SESEBA(2)与电力线重合方向上为等位面：与电力线重合方向上为等位面：UB=UC所以：所以：
42、EB=EC.xUExUECCBB;xyESCB2023-2-74.求与电电荷求与电电荷q=1.0 10-6库仑分别相距库仑分别相距a=1.0米和米和b=2.0米的米的 两点间的电势差。两点间的电势差。解：两点间的电势差：解：两点间的电势差：bqaqUUBA 0044 1054021011100110091143690 .).(.)(baq 2023-2-75.一点电荷一点电荷q在离它在离它10厘米处产生的电位为厘米处产生的电位为100伏，求伏，求q。解：由点电荷电势公式：解：由点电荷电势公式：rqU041001.0100.91490rUq求得求得(库仑）库仑）1009.192023-2-76.
43、求一对等量同号点电荷连线中点的场强和电位，设电荷都是求一对等量同号点电荷连线中点的场强和电位，设电荷都是q，两者之间距离两者之间距离2l。解：由叠加原理，点电荷的场强和电势：解：由叠加原理，点电荷的场强和电势：lqlqlqUlqlqE 0002020244044 2023-2-77.求一对等量异号电荷连线中点的场强和电位，设电荷分别为求一对等量异号电荷连线中点的场强和电位，设电荷分别为正负正负q，两者之间距离为，两者之间距离为2l。解：由叠加原理，点电荷组的场强和电势：解：由叠加原理，点电荷组的场强和电势：04424400202020lqlqUlqlqlqE2023-2-7ABOCDl2 lq
44、-q8.如图所示，如图所示，AB=2l，OCD是以是以B为中心，为中心，l为半径的半圆。为半径的半圆。A点点有正点电荷有正点电荷+q，B点有负点电荷点有负点电荷-q。(1)把单位正电荷从把单位正电荷从O点沿点沿OCD移到移到D点点,电场力对它做了多少功？电场力对它做了多少功？(2)把单位负电荷从把单位负电荷从D点沿点沿AB的延长线移到无穷远去，电场力对的延长线移到无穷远去，电场力对 它做了多少功？它做了多少功？解：两电荷在解：两电荷在O点点,D点的电势为点的电势为:lqlqlqUlqlqUD 0000006434044 (1)电场力的功电场力的功:(2)电场力的功电场力的功:lqlqUUqAD
45、OCD 00006601 )()(lqlqUUqADD 0006061 )()(2023-2-79.两个点电荷的电量都是两个点电荷的电量都是q，相距为，相距为l。求中垂面上到两者连。求中垂面上到两者连线中点为线中点为x处的电位。处的电位。解：由电势叠加原理，求得：解：由电势叠加原理，求得：4/24/44/4220220220yxqyxqyxqU2023-2-710.有两个异号点电荷有两个异号点电荷ne和和-e(n1),相距为相距为a。(1)证明电位为零的等位面是一个球面；证明电位为零的等位面是一个球面；(2)证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在-e点电荷
46、的外边；点电荷的外边；(3)这球的半径为多少？这球的半径为多少？（x,y)ne-e2a2a-解：依题意做如图所示，解：依题意做如图所示，p点电势为：点电势为：yaxyaxnyaxeyaxneU2222220220)2/(1)2/(:0)2/(4)2/(4即（n2-1)x2-（n2+1)ax+（n2-1)a2/4+（n2-1)y2=0（n2-1)(x2-2ax+a2/4+y2)=0（n2-1)(x2-2ax+a2-3a2/4+y2)=0 (x-a)2+y2=3a2/4 圆心在（圆心在（a,0)半径半径.a232023-2-711.求电偶极子求电偶极子p=ql电位的直角坐标表达式电位的直角坐标表达
47、式,并用梯度求出场强的并用梯度求出场强的直角分量表达式直角分量表达式.pz解解:偶子电势偶子电势zyxrrpU222204 其中,cos 而而zyxzrz222 cos)()()(.zyxyxzpzUEzyxyzpyUEzyxxzpxUExyx2222432224322243522220520520 故梯度分量：zyxzpU22204 2023-2-712.证明本章第二节习题证明本章第二节习题8附图中电四极子在它的轴线沿长线附图中电四极子在它的轴线沿长线上的电位为上的电位为 式中式中 Q=2ql2 叫做它的电四极距。利用梯度验证，所得场强叫做它的电四极距。利用梯度验证，所得场强公式与该题一致公
48、式与该题一致。rQU3041)(lr 解：rQrUE4043)(lr q-2q+qpr2023-2-713.一电四极子如图所示一电四极子如图所示.试证明试证明:当当rl时时,它在它在P(r,)点产生的电位为点产生的电位为)(cossinlrrlqU 30243 图中极轴通过正方形中点图中极轴通过正方形中点O点点,且与一对边平行且与一对边平行.极轴极轴lll+q+q-q-qP(r,)rO证明证明:电偶子电子电势电偶子电子电势rqlU04cos一个电偶极电一个电偶极电势势)cos()cos(cos242420101 lrqlrqlU )cos()cos(cos242420202 lrqlrqlU
49、另一个电偶极电势另一个电偶极电势UUU21rlqlrrrlrqlrlrrlrqllrlrql30222242022022043244224 cossincoscossin)sin(coscossincossin)cos(sin)cos(sin 2023-2-714.求本章第二习题求本章第二习题12中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画中均匀带电圆环轴线上的电位分布，并画Ux曲线。曲线。解：解：在圆环上在圆环上 l_l+dl 的带电常量的带电常量 dq=dl 它在中心轴上电它在中心轴上电 势为：势为：整个圆环电势为：整个圆环电势为：xR4dqr4dqdU2200 xR4qxR4dqU220q022
50、0 2023-2-715.求本章第二节习题求本章第二节习题13中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并中均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画画Ux曲线。曲线。解：在圆盘上解：在圆盘上rr+dr取一圆环，带电量取一圆环，带电量dq=rdrds2它在中心轴的电势：它在中心轴的电势：xrrdrxrrrdrxrdqdU2202202204424整个圆盘的电势为：整个圆盘的电势为：).(222000220 xxrxrrdrdUUkk2023-2-716.求求 本章第三节习题本章第三节习题3中同心球在中同心球在 三个区域内的电位分布三个区域内的电位分布.解解:电场分布为电场分布为:E=RrrQQRrRrQRr22
