1、2020 届高三数学（理） “小题速练”2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、单选题 1复数z满足1 24 3i z i（i为虚数单位） ，则复数z的模等于（ ） A 5 5 B 5 C2 5 D4 5 2已知全集为R，集合2, 1,0,1,2A ， 1 0 2 x Bx x ，则 U AC B的元素个 数为（ ） A1 B2 C3 D4 3已知函数 f x在区间, a b上可导，则“函数 f x在区间, a b上有最小值”是“存在 0 ,xa b，满足 0 0fx”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
2、既不充分也不必要 条件 42011 年国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为国际数学节，来源于中国古代 数学家祖冲之的圆周率。公元 263 年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内 接 3072 边形的面积，得到的圆周率是 3927 1250 .公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之 进一步得出精确到小数点后7位的结果， 给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927， 还得到两个近似分数值，密率 355 113 和约率 22 7 。大约在公元 530 年，印度数学大师阿耶波多 算出圆周率约为9.8684（3.14140096）.在这 4 个圆
3、周率的近似值中，最接近真实值 的是（ ） A 3927 1250 B 355 113 C 22 7 D 9.8684 5已知函数 2 yf xx是奇函数，且 11f，则1f （ ） A3 B1 C0 D2 6已知数列 n a的通项为 1 n n a nk ，对任意 * nN，都有 5n aa，则正数k的取值范 围是（ ） A5k B5k C45k D56k 7如图所示的程序输出的结果为 95040，则判断框中应填（ ） A8?i B8?i C7?i D7?i 8函数 cos22sinx xf x 在, 上的图象是（ ） A B C D 9 矩形ABCD中，4AB ，3BC ， 沿AC将ABCD
4、矩形折起， 使面BAC 面DAC， 则四面体ABCD的外接球的体积为（ ） A125 6 B125 9 C125 12 D125 3 10已知正数a，b满足 19 10ab ab ，则a b的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 11点,P x y是曲线C： 1 0yx x 上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y 轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，PAPB；OAB的面积为定值； 曲线C上存在两点M，N使得OMN是等边三角形；曲线C上存在两点M，N使 得OMN是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12若平面向量, ,a b c满足3a ，2b ，1c ，
5、且 1a bca b ，则ab的 最大值为（ ） A3 2 1 B3 2 1 C2 3 1 D2 3 1 二、填空题 13若锐角, 满足 43 cos,cos,sin 55 则_. 14黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函 数定义在0,1上，其定义为： 1 , 0,0,10,1 qq xp q pppR x x 当都是正整数， 是不可以再约分的真分数 当或者上的无理数 ，若函数 f x 是定义在R上的奇函数，且 20f xfx，当0,1x时， f xR x，则 103 310 ff _. 15如图，正方体 1111 ABCDABC D的一
6、个截面经过顶点A，C及棱 11 AB上点K，其 将正方体分成体积比为2:1的两部分，则 1 1 AK KB 的值为_. 16等腰ABC中ABAC，三角形面积S等于 2，则腰AC上中线BD的最小值等于 _. 2020 届高三数学（理） “小题速练”2（答案解析） 一、单选题 1复数z满足1 24 3i z i（i为虚数单位） ，则复数z的模等于（ ） A 5 5 B 5 C2 5 D4 5 【答案】B 【解析】 435 5 1 25 i z i 2已知全集为R，集合2, 1,0,1,2A ， 1 0 2 x Bx x ，则 U AC B的元素个 数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【
7、解析】 1 021 2 x Bxxx x 2 U C Bx x 或1x 2,1,2 U AC B ，有3个元素 3已知函数 f x在区间, a b上可导，则“函数 f x在区间, a b上有最小值”是“存在 0 ,xa b，满足 0 0fx”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 条件 【答案】A 【解析】, a b为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为0 充分性成立 当 3 f xx， 0 0x 时， 0 0fx，结合幂函数图象知 f x无最小值，必要性不成立 “函数 f x在区间, a b上有最小值”是“存在 0 ,xa b，满足 0
8、0fx”的充分不必 要条件 42011 年国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为国际数学节，来源于中国古代 数学家祖冲之的圆周率。公元 263 年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内 接 3072 边形的面积，得到的圆周率是 3927 1250 .公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之 进一步得出精确到小数点后7位的结果， 给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927， 还得到两个近似分数值，密率 355 113 和约率 22 7 。大约在公元 530 年，印度数学大师阿耶波多 算出圆周率约为 9.8684（3.14140096 ）.在这
9、4 个圆周率的近似值中，最接近真实值 的是（ ） A 3927 1250 B 355 113 C 22 7 D 9.8684 【答案】B 【解析】 3927 3.1416 1250 ， 355 3.141592 113 ， 22 3.142857 7 ， 9.86843.14140096由圆周率的值可知，最接近真实值的为 355 113 5已知函数 2 yf xx是奇函数，且 11f，则1f （ ） A3 B1 C0 D2 【答案】A 【解析】 2 yf xx为奇函数 22 fxxf xx 11112ff 13f 6已知数列 n a的通项为 1 n n a nk ，对任意 * nN，都有 5n
10、 aa，则正数k的取值范 围是（ ） A5k B5k C45k D56k 【答案】D 【解析】 111 1 n nnkkk a nknknk k为正数且 5n aa恒成立 50 60 k k ，解得：56k 7如图所示的程序输出的结果为 95040，则判断框中应填（ ） A8?i B8?i C7?i D7?i 【答案】B 【解析】按照程序框图运行程序，输入12i ，195040sum 则1 121295040sum ，12 1 11i ，循环 12 11 13295040sum，11 1 10i ，循环 132 10132095040sum，10 19i ，循环 1320 9118809504
11、0sum ，9 18i ，循环 11880 895040sum ，8 17i ，输出sum 8i 满足判断条件，7i 不满足判断条件 判断框中应填8?i 8函数 cos22sinx xf x 在, 上的图象是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】cos2sin1210 22 f ，可排除,B C； cos2sin1 230 22 f ，可排除D. 9 矩形ABCD中，4AB ，3BC ， 沿AC将ABCD矩形折起， 使面BAC 面DAC， 则四面体ABCD的外接球的体积为（ ） A125 6 B125 9 C125 12 D125 3 【答案】A 【解析】设AC与BD的交点为O点，在矩形
12、ABCD中，可得OAOBOCOD， 当沿AC翻折后，上述等量关系不会发生改变， 因为四面体ABCD的外接球的球心到各顶点的距离相等， 所以点O即为球心，在Rt ABC中， 22 5AC=AB +BC = , 故 5 ROAOBOCOD 2 ，所以球的体积为 3 4125 VR 36 ， 10已知正数a，b满足 19 10ab ab ，则a b的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】A 【解析】设abx，则 19 10x ab 1999 101010216 aba b xxab abbaba （当且仅当 9ab ba ，即 3ba时取等号） 2 10160xx且0x，解得：28x，即2
13、8ab ab 的最小值为2 11点,P x y是曲线C： 1 0yx x 上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y 轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，PAPB；OAB的面积为定值； 曲线C上存在两点M，N使得OMN是等边三角形；曲线C上存在两点M，N使 得OMN是等腰直角三角形，其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】设点 1 ,0P aa a ，由 2 1 y x 得切线方程： 2 11 yxa aa ， 即 2 12 yx aa 2 ,0Aa， 2 0,B a 1 ,P a a 为AB中点 PAPB，正确； 112 22 22 AOB SOA OBa
14、a ，正确； 过原点作倾斜角等于15和75的2条射线与曲线的交点为,M N 由对称性可知OMN中，OMON，又60MON OMN为等边三角形，正确； 过原点作2条夹角等于45的射线与曲线交于点,M N 当直线OM的倾斜角从90减少到45的过程中， OM ON 的值从变化到0 在此变化过程中必然存在 OM ON 的值为 2和 2 2 的时刻，此时OMN为等腰直角三角形， 正确. 真命题的个数为4个 12若平面向量, ,a b c满足3a ，2b ，1c ，且 1a bca b ，则ab的 最大值为（ ） A3 2 1 B3 2 1 C2 3 1 D2 3 1 【答案】D 【解析】由1abca b
15、得：1a babcab cab 22 22 12132a bababa ba b 2 12a b 2 32 3a b 2 1 32ababa b 当 2 3a b 时，ab取得最大值 2 max 134 32 312 31ab 二、填空题 13若锐角, 满足 43 cos,cos,sin 55 则_. 【答案】 7 25 【解析】因 43 cos,cos 55 ，故 34 sin,sin() 55 ， 1697 sinsin()sin()coscos()sin 252525 ，应填答 案 7 25 。 14黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎
16、曼函 数定义在0,1上，其定义为： 1 , 0,0,10,1 qq xp q pppR x x 当都是正整数， 是不可以再约分的真分数 当或者上的无理数 ，若函数 f x 是定义在R上的奇函数，且 20f xfx，当0,1x时， f xR x，则 103 310 ff _. 【答案】 7 30 【解析】由 20f xfx知： f x关于1,0对称 又 f x为奇函数，图象关于原点对称 f x为周期函数，周期4T 1032121117 31031031031030 ffff 15如图，正方体 1111 ABCDABC D的一个截面经过顶点A，C及棱 11 AB上点K，其 将正方体分成体积比为2:
17、1的两部分，则 1 1 AK KB 的值为_. 【答案】 51 2 【解析】 设平面ACK与线段 11 BC交于点E， 则截面ACEK为等腰梯形， 延长两腰,AK EC 交于点F，如下图所示： 设正方体棱长为1，设 1 KBx，则 1 B Ex， 1 1 x B F x ， 1 1 1 1 BFB F x 三棱台 1 ABCKB E的体积： 1 22 1 11111 1 11 336116 ABCB EK x VSBFSB Fxxx xx 又正方体体积1 1 1 1V 2 111 1 336 VVxx，解得： 51 2 x 1 5135 1 22 AK 1 1 35 3551 2 25151 2 AK KB 16等腰ABC中ABAC，三角形面积S等于 2，则腰AC上中线BD的最小值等于 _. 【答案】 3 【解析】 由三角形面积公式知： 2 11 sinsin2 22 SAB ACAABA 2 4 s i n AB A 2 2 11 2sin ADAB A 222 414cos54cos 2cos sinsinsinsin AA BDABADAB ADA AAAA 24 sin4cos16sin5BDAABDA 4 165BD ，解得： 3BD
