1、2020 届高三数学（理） “小题速练”13 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知复数 z12i 2i (其中 i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知全集 Ux|x|b0)的左、 右焦点， 过 F2的直线交椭圆于 A， B 两点，且AF1 AF2 0，AF2 2F2B ，则椭圆 E 的离心率为( ) A.2 3 B3 4 C. 5 3 D 7
2、4 12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂 势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水 平截面的面积相等， 则这两个几何体的体积相等 已知曲线 C： yx2， 直线 l 为曲线 C 在点(1，1)处的切线，如图所示，阴影部分为曲线 C、直线 l 以及 x 轴所围 成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的几何体为 T.给出以下四个几何体： 图是底面直径和高均为 1 的圆锥： 图是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何 体； 图是底面边长和高均为 1 的正四棱锥； 图是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高
3、为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高 为 1 的倒置圆锥得到的几何体 根据祖暅原理，以上四个几何体中与 T 的体积相等的是( ) A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知平面向量 a，b 满足 a(1， 3)，|b|3，a(ab)，则 a 与 b 夹角的余弦值 为_ 14. 1 x1 ( x1) 5的展开式中，x 的系数为_(用数字作答) 15已知函数 f(x) x 22ax9，x1 x4 xa，x1 ，若 f(x)的最小值为 f(1)，则实数 a 的取值范围是 _ 16已知一族双曲线 En：x2y2 n 2 019(nN *，且 n2 019)
4、，设直线 x2 与 E n在第一 象限内的交点为 An，点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn，Cn.记AnBnCn的面积为 an，则 a1a2a3a2 019_ 2020 届高三数学（理） “小题速练”13（答案解析） 1解析：选 D.z12i 2i （12i）（2i） （2i）（2i） 4 5 3 5i，故 z 4 5 3 5i，z 在复平面内对应 的点为 4 5， 3 5 ，故在第四象限，故选 D. 2解析：选 A.Ux|x|2x|2x2，Px|log2x1x|0x2，故UP(2， 0故选 A. 3解析：选 B.解法一：设an的公比为 q，则 a1q22 a1q48， a11
5、2， q24 ，故 a7a1q61 2 4 332. 解法二：an为等比数列，a3，a5，a7成等比数列，即 a25a3a7，解得 a732.故选 B. 4解析：选 C.设该家庭 2015 年全年收入为 a，则 2019 年全年收入为 2a.对于 A，2019 年食品消费额为 0.2 2a0.4a， 2015 年食品消费额为 0.4a， 故两者相等， A 不正确 对于 B， 2019 年教育医疗消费额为 0.2 2a0.4a，2015 年教育医疗消费额为 0.2a，故 B 不正确对 于C， 2019年休闲旅游消费额为0.25 2a0.5a， 2015年休闲旅游消费额为 0.1a， 故C正确 对
6、 于 D，2019 年生活用品的消费额为 0.3 2a0.6a，2015 年生活用品的消费额为 0.15a，故 D 不正确故选 C. 5解析：选 D.因为 k(18)200，所以 f(18)200 (1810)1 600.又 k(21)300，所以 f(21)300 (2110)3 300，所以 f(21)f(18)3 3001 6001 700.故选 D. 6解析：解法一：选 D.若小王和小李都没被选中，则有 C22种方法，若小王和小李有一 人被选中，则有 C12C12种方法，故所求概率 PC 2 2C 1 2C 1 2 C24 5 6. 解法二：若小王和小李都被选中，则有 1 种方法，故所
7、求概率 P1 1 C24 5 6.故选 D. 7解析：选 D.如图，把展开图中的各正方形按图 1 所示的方式分别作为正方体的前、 后、左、右、上、下面还原，得到图 2 所示的直观图，可见选项 A，B，C 不正确正确 选项为 D.图 2 中， BECD， ABE 为 AB 与 CD 所成的角， ABE 为等边三角形， ABE 60 . 8解析：选 C.对于选项 A.当 x1 时，f(1)120，与函数图象不符，故排除 A； 对于选项 B，由函数 f(x)的部分图象关于 y 轴对称可知，该函数是偶函数，故排除 B(也可通 过 f(0)0 排除 B)；对于选项 D，当 x 时，f()220，与函数图
8、象不符，故排除 D.故选 C. 9解析：选 B.设 log2xlog3ylog5zt，则 t1，x2t，y3t，z5t，因此 2x2t 1，3y3t1，5z5t1，又 t1，t10，由幂函数 yxt1的单调性可知 5z3y2x.故选 B. 10解析：选 A.0x，0， 6x 6 6.又 f(x)的值域为 1 2，1 ， 6 2， 2 3，故选 A. 11解析：选 C.设|BF2 |m，则|AF2 |2m.连接 BF1，由椭圆的定义可知|AF1 |2a2m， |BF1 |2am.由AF1 AF2 0 知 AF1AF2， 故在 RtABF1中， (2a2m)2(3m)2(2am)2， 整理可得 m
9、a 3.故在 RtAF1F2 中，|AF1 |4a 3 ，|AF2 |2a 3 ，故 2a 3 2 4a 3 2 4c2，解得 e 5 3 . 故选 C. 12解析：选 A.由题意 yx2，所以 y2x，故直线 l 的方程为 y2x1. 设直线 yt(0t1)与曲线 yx2、 直线 y2x1 的交点分别为 P， Q， P(x1， y1)(x10)， Q(x2，y2)，由 yx2 yt ，解得 x1 t，由 y2x1 yt ，解得 x2t1 2 ，所以高度为 t 处的旋转体 的截面面积为 Sx22x21 t1 2 2 t t1 2 2 . 如图ABC 为高为 1，底面半径为1 2的圆锥的过轴的截
10、面， 设高度为 t 处的水平截面的半径为 r，即 HDt，HGr， 则r 1 2 1t 1 ，所以 r1t 2 ，所以高度为 t 处的水平截面的面积为 S 1t 2 2 ，所以 S S，所以旋转体 T 的体积与上述圆锥的体积相同，故选 A. 13解析：由 a(ab)可知 a (ab)a2a b42 3cosa，b0，故 cosa，b 2 3. 答案：2 3 14解析： 1 x1 ( x1) 5的展开式中，含 x 的项为1 xC 1 5( x) 4和1 C3 5( x) 2，故 x 的系 数为 C15C355. 答案：5 15解析：由题意可知要保证 f(x)的最小值为 f(1)，需满足 a1 f
11、（2）f（1），解得 a2. 答案：2，) 16解析：因为双曲线的方程为 x2y2 n 2 019(nN *，且 n2 019)，所以其渐近线方 程为 y x，设点 An(2，yn)，则 4y2n n 2 019(nN *，且 n2 019) 记 An(2，yn)到两条渐近线的距离分别为 d1，d2，则 SAnBnCn1 2d1d2 1 2 |2yn| 2 |2yn| 2 |4y 2 n| 4 n 2 019 4 n 4 2 019， 故 an n 4 2 019， 因此an为等差数列， 故 a1a2a3a2 019 1 4 2 019 2 019 1 4 2 019 2 019 2 018 2 505 2 . 答案：505 2
