1、2020 届高三数学（文） “小题速练”23 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.设全集 UR，集合 Ax|3x1，Bx|x10，则U(AB)( ) A.x|x3 或 x1 B.x|x1 或 x3 C.x|x3 D.x|x3 2.若复数 z 满足(34i)z25i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是( ) A.3i B.3i C.3 D.3 3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的 使用情况，选了 n 座城市作试验基地.
2、这 n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A.x1，x2，xn的平均数 B.x1，x2，xn的标准差 C.x1，x2，xn的最大值 D.x1，x2，xn的中位数 4.已知数列an为等比数列， 首项 a14， 数列bn满足 bnlog2an， 且 b1b2b312， 则 a4( ) A.4 B.32 C.108 D.256 5.椭圆x 2 25 y2 161 的焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点，若F1PF260，则F1PF2 的 面积是( ) A.16 3 3 B.32 3 3 C.16 3 D.
3、32 3 6.已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则下列结论正确的是( ) A.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7 12 个单位长度，得到曲线 C2 B.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 6 个 单位长度，得到曲线 C2 C.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 7 12 个 单位长度，得到曲线 C2 D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 6 个单 位长度，得到曲线 C2 7.甲、乙、丙、丁四
4、位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有 两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”. 看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 8.设函数 f(x)2ln(x x21)3x3(2x2)，则使得 f(2x)f(4x3)0 成立的 x 的 取值范围是( ) A.(1，1) B. 1 2，1 C. 1 4，1 D. 1 4， 5 4 9.已知变量 x，y 满足 x2y40， x2， xy60， 则 ky1 x
5、3的取值范围是( ) A.k1 2或 k5 B.5k1 2 C.5k1 2 D.k1 2或 k5 10.魔法箱中装有 6 张卡片，上面分别写着如下 6 个定义域为 R 的函数：f1(x)2x，f2(x) 2x，f3(x)x2，f4(x)sin x，f5(x)cos x，f6(x)12 x 12x.现从魔法箱中任取 2 张卡片，将卡片 上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( ) A.2 5 B.3 5 C.1 2 D.1 3 11.已知数列an满足 2an1an3(n1)，且 a313 4 ，其前 n 项和为 Sn，则满足不等式 |Snn6| 1 123的最小整数 n 是( )
6、 A.8 B.9 C.10 D.11 12.已知三棱锥 P- ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， PC 是球 O 的直径.若平面 PCA 平面 PCB，PAAC，PBBC，三棱锥 P- ABC 的体积为 a，则球 O 的体积为( ) A.2a B.4a C.2 3a D.4 3a 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知 e1，e2为单位向量且夹角为2 3 ，设 a3e12e2，b3e2，则 a 在 b 方向上的投 影为_. 14.已知函数 f(x)ln xax(aR R)的图象与直线 xy10 相切，则实数 a 的值为 _. 15.已知双曲线 E：x
7、2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线 引垂线， 垂足为P， 交另一条渐近线于点Q， 若5 PF 3FQ ， 则双曲线E的离心率为_. 16.已知 R R， 函数 f(x) x4，x， x24x3，x.当 2 时， 不等式 f(x)0 的解集是_. 若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_. 2020 届高三数学（文） “小题速练”23（答案解析） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.设全集 UR，集合 Ax|3x1，Bx|x10，则U(AB)( ) A.x|x3 或 x1 B.x|x1 或 x3 C.x
8、|x3 D.x|x3 解析：选 D 因为 Bx|x1，Ax|3x1，所以 ABx|x3，所以 U(AB)x|x3.故选 D. 2.若复数 z 满足(34i)z25i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是( ) A.3i B.3i C.3 D.3 解析：选 D 因为(34i)z25i，所以 z 25i 34i 25i（34i） （34i）（34i） 25i（34i） 25 43i，所以 z43i，所以 z 的虚部为3.故选 D. 3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的 使用情况，选了 n 座城市作试验基地.这 n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天
9、)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A.x1，x2，xn的平均数 B.x1，x2，xn的标准差 C.x1，x2，xn的最大值 D.x1，x2，xn的中位数 解析：选 B 平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一 组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选 B. 4.已知数列an为等比数列， 首项 a14， 数列bn满足 bnlog2an， 且 b1b2b312， 则 a4( ) A.4 B.32 C.108 D.256 解析：选 D 设等比数列an的公比为 q，由题意知 q0，又首项 a14，所以数列a
10、n 的通项公式为 an4 qn 1，又 b nlog2an，所以 bnlog2(4 q n1)2(n1) log 2q，所以bn 为等差数列，则 b1b2b33b212，所以 b24，由 b22(21)log2q4，解得 q4， 所以 a4444 144256.故选 D. 5.椭圆x 2 25 y2 161 的焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点，若F1PF260，则F1PF2 的 面积是( ) A.16 3 3 B.32 3 3 C.16 3 D.32 3 解析：选 A 法一：由椭圆x 2 25 y2 161 的焦点为 F1，F2 知，|F1F2|2c6，在F1PF2 中，不妨设|PF1|m
11、，|PF2|n，则|PF1|PF2|mn2a10，在F1PF2中，由余弦定理 |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，得(2c)2m2n22m ncos 60，即 4c2 (mn)23mn4a23mn， 解得 mn64 3 ， 所以 SF1PF21 2 |PF1| |PF2|sinF1PF2 1 2mnsin 6016 3 3 .故选 A. 法二： 由椭圆的焦点三角形的面积公式 SF1PF2b2 tan 2 (其中 P 为椭圆上的点， F1， F2为椭圆的左、右焦点，F1PF2)得 SF1PF2b2tan 2 16tan60 2 16 3 3 .故选 A.
12、6.已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则下列结论正确的是( ) A.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7 12 个单位长度，得到曲线 C2 B.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 6 个 单位长度，得到曲线 C2 C.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 7 12 个 单位长度，得到曲线 C2 D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 6 个单 位长度，得到曲线 C2 解析：选 C 把曲线 C1：y
13、cos x 上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，得到 函数 ycos 2xsin 2x 2 sin 2 x 4 的图象， 再把图象向右平移7 12 个单位长度，得到 函数 ysin 2 x 4 7 12 sin 2 x 3 sin 2x2 3 的图象，即得曲线 C2.故选 C. 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有 两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”. 看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩
14、 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析：选 D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁 均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优 秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道 甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选 D. 8.设函数 f(x)2ln(x x21)3x3(2x2)，则使得 f(2x)f(4x3)0 成立的 x 的 取值范围是( ) A.(1，1) B. 1 2，1 C. 1 4，1 D. 1 4， 5 4 解析： 选 B 因为 f(x)2ln(x x21)3x3， 2x2
15、， f(x)f(x)2ln(x x21) 3x32ln(x （x）21)3(x)32ln(x x21)ln(x x21)2ln 10， 所以 f(x)为奇函数.易得 f(x)在(2， 2)上单调递增.所以 f(2x)f(4x3)0 可转化为 f(2x) f(4x3)f(34x)，则由题意，得 22x2， 234x2 2x34x， ，解得1 2x1.故选 B. 9.已知变量 x，y 满足 x2y40， x2， xy60， 则 ky1 x3的取值范围是( ) A.k1 2或 k5 B.5k1 2 C.5k1 2 D.k1 2或 k5 解析：选 A 由约束条件 x2y40， x2， xy60 作出可
16、行域，如图中阴影 部分所示，其中 A(2，4)，ky1 x3的几何意义为可行域内的动点(x，y) 与定点 P(3，1)连线的斜率，kPA4（1） 23 5，x2y40 的斜率为1 2，由图可知，k5 或 k 1 2.故选 A. 10.魔法箱中装有 6 张卡片，上面分别写着如下 6 个定义域为 R 的函数：f1(x)2x，f2(x) 2x，f3(x)x2，f4(x)sin x，f5(x)cos x，f6(x)12 x 12x.现从魔法箱中任取 2 张卡片，将卡片 上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( ) A.2 5 B.3 5 C.1 2 D.1 3 解析：选 A 由题意知，
17、在已知的 6 个函数中，奇函数有 f1(x)，f4(x)，f6(x)，共 3 个； 偶函数有 f3(x)，f5(x)，共 2 个；非奇非偶函数为 f2(x).则从 6 张卡片中任取 2 张，根据函数奇 偶性的性质知， 函数乘积为奇函数的有 f1(x) f3(x)， f1(x) f5(x)， f4(x) f3(x)， f4(x) f5(x)， f6(x) f3(x)， f6(x) f5(x)，共 6 个，而已知的 6 个函数任意 2 个函数相乘，可得 15 个新函数，所以所求事 件的概率 P 6 15 2 5.故选 A. 11.已知数列an满足 2an1an3(n1)，且 a313 4 ，其前
18、n 项和为 Sn，则满足不等式 |Snn6| 1 123的最小整数 n 是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析： 选 C 由 2an1an3， 得 2(an11)(an1)0， 即an 11 an1 1 2， 又 a3 13 4 ， 所以 a319 4，代入上式，有 a21 9 2，a119，所以数列an1是首项为 9，公比为 1 2 的 等 比 数 列 . 所 以 |Sn n 6| |(a1 1) (a2 1) (an 1) 6| 9 1 1 2 n 1 1 2 6 6 1 2 n 1 123，又 nN *，所以 n 的最小值为 10.故选 C. 12.已知三棱锥 P- ABC
19、的所有顶点都在球 O 的球面上， PC 是球 O 的直径.若平面 PCA 平面 PCB，PAAC，PBBC，三棱锥 P- ABC 的体积为 a，则球 O 的体积为( ) A.2a B.4a C.2 3a D.4 3a 解析： 选B 设球O的半径为R， 因为PC为球O的直径， PAAC， PBBC， 所以PAC， PBC 均为等腰直角三角形，点 O 为 PC 的中点，连接 AO，OB(图略)，所以 AOPC，BO PC，因为平面 PCA平面 PCB，平面 PCA平面 PCBPC，所以 AO平面 PCB，所以 V三棱锥P- ABC1 3SPBCAO 1 3 1 2PCBO AO 1 3 1 22R
20、R R 1 3R 3a，所以球 O 的体积 V4 3R 34a.故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知 e1，e2为单位向量且夹角为2 3 ，设 a3e12e2，b3e2，则 a 在 b 方向上的投 影为_. 解析：因为 a3e12e2，b3e2，所以 a b(3e e12e2) 3e29e1e26e 2 2 911cos2 3 63 2，又|b|3，所以 a 在 b 方向上的投影为 a b |b| 3 2 3 1 2. 答案：1 2 14.已知函数 f(x)ln xax(aR R)的图象与直线 xy10 相切，则实数 a 的值为 _. 解析：设
21、直线 xy10 与函数 f(x)ln xax 的图象的切点为 P(x0，y0)，因为 f(x) 1 xa，所以由题意，得 x 0y010， f（x0） 1 x0a1， f（x0）ln x0ax0y0， 解得 a 1 e21. 答案： 1 e21 15.已知双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线 引垂线， 垂足为P， 交另一条渐近线于点Q， 若5 PF 3FQ ， 则双曲线E的离心率为_. 解析：由题意知，双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为(c，0)，设一条渐 近线 OP(O 为坐标原点)的方程为 yb
22、 ax，另一条渐近线 OQ 的方程为 y b ax，不妨设 P m，b am ，Q n，b an ，由 5 PF 3FQ ，得 5（cm）3（nc）， 5 b am 3 b an ， 解得 m 4 5c， n4 3c， 因 为 OPFP，所以 kPF b am cm a b，解得 a 24b2，所以 e2c 2 a21 b2 a2 5 4，故双曲线 E 的离心率 e 5 2 . 答案： 5 2 16.(2018 浙江高考)已知 R R，函数 f(x) x4，x， x24x3，x.当 2 时，不等式 f(x)0 的解集是_.若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_. 解析：当 2 时，f(x) x4，x2， x24x3，x2， 其图象如图所示. 由图知 f(x)0 的解集为(1，4). f(x) x4，x， x24x3，x恰有 2 个零点有两种情况： 二次函数有两个零点，一次函数无零点； 二次函数与一次函数各有一个零点. 在同一平面直角坐标系中画出 yx4 与 yx24x3 的图象如图所示， 平移直线 x ，可得 (1，3(4，). 答案：(1，4) (1，3(4，)
