1、2020 届高三数学（文） “小题速练”21 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.若集合 Ax|0x4，Bx|40)的焦点到渐近线的距离是 2，则 m 的值是( ) A.2 B. 2 C.1 D.4 4.在ABC 中，BD 1 3 BC ，若 AB a， AC b，则AD ( ) A.2 3a 1 3b B.1 3a 2 3b C.1 3a 2 3b D.2 3a 1 3b 5.下表是某电器销售公司 2019 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类
2、冰箱类 小家电类 其他类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中不正确的是( ) A.该公司 2019 年度冰箱类电器营销亏损 B.该公司 2019 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2019 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2019 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 6.若在 x2y21 所表示的区域内随机取一点， 则该点落在|x|y|1 所表示的区域内的 概率是( ) A. 1 B. 2 C. 1 2 D.1 1 7.我国古代名著
3、 张丘建算经 中记载： “今有方锥， 下广二丈， 高三丈.欲斩末为方亭， 令上方六尺.问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现 从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的 高是多少.如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台 的体积是(注：1 丈10 尺)( ) A.1 946 立方尺 B.3 892 立方尺 C.7 784 立方尺 D.11 676 立方尺 8.将函数 f(x)2sin x 6 1 的图象上各点横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，得到 函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是(
4、) A.函数 g(x)的图象关于点 12，0 对称 B.函数 g(x)的最小正周期是 2 C.函数 g(x)在 0， 6 上单调递增 D.函数 g(x)在 0， 6 上的最大值是 1 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图 由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( ) A.1712 B.1212 C.2012 D.1612 10.函数 f(x)x2xsin x 的图象大致为( ) 11.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 经过点(0，1)，(0，3)，且与 x 轴正半轴相切，若圆 C 上存在点 M，使得直线 OM 与直线 ykx(k0)关于
5、y 轴对称，则 k 的最小值为( ) A.2 3 3 B. 3 C.2 3 D.4 3 12.设函数 f(x) |ln x|，x0， ex（x1），x0，若函数 g(x)f(x)b 有三个零点， 则实数 b 的取值 范围是( ) A.(1，) B. 1 e2，0 C.0(1，) D.(0，1 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.若“x2”是“xm”的必要不充分条件，则 m 的取值范围是_. 14.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 3a5a110，则 S13_. 15.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cos C1 4，c3，
6、且 a cos A b cos B，则ABC 的面积等于_. 16.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点， 且F1PF2 3 ，若 F1关于F1PF2的平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆的离心率为 _. 2020 届高三数学（文） “小题速练”21（答案解析） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.若集合 Ax|0x4，Bx|4x2，则 AB( ) A.(0，4) B.(4，2 C.(0，2 D.(4，4) 解析：选 C 因为 Ax|0x4，Bx|4x2，所以 ABx|00)的焦点到渐近线的
7、距离是 2，则 m 的值是( ) A.2 B. 2 C.1 D.4 解析：选 A 由双曲线的对称性，不妨取渐近线方程为 ymx，即 mxy0，双曲线 右焦点为 F( 1m2，0)，则由点到直线的距离公式得m 1m 2 m21 2，解得 m2.故选 A. 4.在ABC 中，BD 1 3 BC ，若 AB a， AC b，则AD ( ) A.2 3a 1 3b B.1 3a 2 3b C.1 3a 2 3b D.2 3a 1 3b 解析：选 A 法一：如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB， AC 于点 E，F，则四边形 AEDF 为平行四边形，所以 AD AE AF .因 为 BD
8、 1 3 BC ，所以 AE 2 3 AB ，AF 1 3 AC ，所以AD 2 3 AB 1 3 AC 2 3a a 1 3b b.故选 A. 法二： AD AB BD AB 1 3 BC AB 1 3( AC AB )2 3 AB 1 3 AC 2 3a 1 3b.故 选 A. 法三：由BD 1 3 BC ，得AD AB 1 3( AC AB )，所以AD AB 1 3( AC AB )2 3 AB 1 3 AC 2 3a 1 3b.故选 A. 5.下表是某电器销售公司 2019 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其他类 营业收入占比 90.10% 4
9、.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中不正确的是( ) A.该公司 2019 年度冰箱类电器营销亏损 B.该公司 2019 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2019 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2019 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 解析：选 B 由统计表知，冰箱类净利润占比为0.48%，所以冰箱类电器营销亏损， 所以选项 A 正确；由统计表知，小家电类电器营业收入占比和净利润占比均为 3.82%，但 在总的营业收入和总的净利润未知的情况下，无法得到营业
10、收入和净利润相同，所以选项 B 不正确；由统计表知，空调类的净利润占比为 95.80%，所以该电器销售公司的净利润主要 由空调类电器销售提供，所以选项 C 正确；剔除冰箱类销售数据后，总的净利润增加了， 而空调类销售总利润没有变，所以空调类电器销售净利润占比将会降低，选项 D 正确.综上 可知.故选 B. 6.若在 x2y21 所表示的区域内随机取一点， 则该点落在|x|y|1 所表示的区域内的 概率是( ) A. 1 B. 2 C. 1 2 D.1 1 解析：选 B x2y21 表示由一个单位圆所围成的区域(包括边界)， 其面积为12.|x|y|1 表示由中心在原点，对角线在坐标轴上， 边长
11、为 2的正方形所围成的区域(包括边界)，其面积为 2 22，如图 所示，则所求概率 P 2 .故选 B. 7.我国古代名著 张丘建算经 中记载： “今有方锥， 下广二丈， 高三丈.欲斩末为方亭， 令上方六尺.问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现 从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的 高是多少.如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台 的体积是(注：1 丈10 尺)( ) A.1 946 立方尺 B.3 892 立方尺 C.7 784 立方尺 D.11 676 立方尺 解析：选 B 法一：如
12、图，记正四棱台为 A1B1C1D1ABCD.该正四 棱台由正四棱锥 S- ABCD 截得，O 为正方形 ABCD 的中点，E 为 BC 的中点，E1为 B1C1的中点，设正四棱台的高为 x，则由图中SO1E1 SOE，得SO1 SO O1E1 OE ，即30x 30 3 10，解得 x21，所以该正四棱 台的体积 V1 3(6 2620202)213 892(立方尺).故选 B. 法二：如法一中图，记正四棱台为 A1B1C1D1ABCD.该正四棱台由正四棱锥 S- ABCD 截 得，O 为正方形 ABCD 的中心，E 为 BC 的中点，E1为 B1C1的中点，设截去的正四棱锥的 高为 x，则由
13、图中SO1E1SOE，得SO1 SO O1E1 OE ，即 x 30 3 10，解得 x9，所以该正四棱台 的体积 VV正四棱锥S- ABCDV正四棱锥S- A1B1C1D11 320 2301 36 293 892(立方尺).故 选 B. 8.将函数 f(x)2sin x 6 1 的图象上各点横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，得到 函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A.函数 g(x)的图象关于点 12，0 对称 B.函数 g(x)的最小正周期是 2 C.函数 g(x)在 0， 6 上单调递增 D.函数 g(x)在 0， 6 上的最大值是 1 解析：选 C 由题意知，函数
14、f(x)的图象上各点横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，得 到的图象对应的函数 g(x)2sin 2x 6 1，将 x 12代入 g(x)得 g 12 1，则 g(x) 的图象不关于点 12，0 对称，故选项 A 不正确；g(x)的最小正周期 T 2 2 ，所以选 项 B 不正确；由 2 2x 6 2 ，得 3 x 6 ，所以函数 g(x)的一个单调递增区间为 3 ， 6 ，所以函数 g(x)在 0， 6 上单调递增，所以选项 C 正确；当 x 0， 6 时，2x 6 6 ， 2 ，g(x)2111，所以选项 D 不正确.故选 C. 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几
15、何体的三视图，其中俯视图 由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( ) A.1712 B.1212 C.2012 D.1612 解析：选 C 由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个 半圆柱的底面半径分别为 1 和 3，高均为 3，所以该几何体的表面积为1 2233 1 22 132 1 23 21 21 2 2232012.故选 C. 10.函数 f(x)x2xsin x 的图象大致为( ) 解析：选 A 由 f(x)(x)2(x)sin(x)x2xsin xf(x)，知函数 f(x)为偶函数， 其图象关于 y 轴对称.当 x0 时，由 f(x)x2xsin
16、x，得 f(x)2xsin xxcos xxsin x x(1cos x)，令 g(x)xsin x(x0)，则 g(x)1cos x0，所以 g(x)在(0，)上单调 递增，所以 g(x)0.又 x(1cos x)0 恒成立，所以 f(x)g(x)x(1cos x)0 在(0，) 上恒成立，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增，排除选项 B、C、D.故选 A. 11.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 经过点(0，1)，(0，3)，且与 x 轴正半轴相切，若圆 C 上存在点 M，使得直线 OM 与直线 ykx(k0)关于 y 轴对称，则 k 的最小值为( ) A.2 3 3 B. 3 C
17、.2 3 D.4 3 解析：选 D 由圆 C 过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为13 2 2，又圆 C 与 x 轴 正半轴相切， 所以圆的半径为 2， 则圆心的横坐标 x 22 31 2 2 3， 即圆心为( 3， 2)，所以圆 C 的方程为(x 3)2(y2)24.因为 k0，所以 k 取最小值时，直线 ykx 与圆相切，可得 2| 3k2| k21 ，即 k24 3k0，解得 k4 3(k0 舍去).故选 D. 12.设函数 f(x) |ln x|，x0， ex（x1），x0，若函数 g(x)f(x)b 有三个零点， 则实数 b 的取值 范围是( ) A.(1，) B. 1 e2
18、，0 C.0(1，) D.(0，1 解析：选 D 当 x0 时，f(x)ex(x1)，则 f(x)ex(x1)exex(x2)，由 f(x)0， 得函数 f(x)的单调递增区间为(2，0)，由 f(x)0，得函数 f(x)的单调递减区间为(， 2)，且易知 x1 时，f(x)0，f(0)1.由以上分析，可作出分段函数 f(x)的图象，如图所示. 要使函数 g(x)f(x)b 有三个零点，则方程 f(x)b0，即 f(x)b 有三个不同的实数根，也 就是函数 yf(x)的图象与直线 yb 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数 b 的取值范 围是(0，1.故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小
19、题，每小题 5 分，共 20 分) 13.若“x2”是“xm”的必要不充分条件，则 m 的取值范围是_. 解析：因为“x2”是“xm”的必要不充分条件，所以集合x|xm是集合x|x2 的真子集，所以 m2. 答案：(2，) 14.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 3a5a110，则 S13_. 解析：法一：设等差数列的公差为 d，则由 3a5a110，得 3(a14d)a110，整理， 得 a16d5，所以 S1313a11312 2 d13(a16d)13565. 法二： 由 3a5a110， 得 2a5a5a110， 由等差数列的性质得(a1a9)a5a110， 则 a5a910，
20、所以 2a710，即 a75，所以 S1313（a1a13） 2 13a713565. 答案：65 15.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cos C1 4，c3，且 a cos A b cos B，则ABC 的面积等于_. 解析：由 a cos A b cos B及正弦定理，得 sin A cos A sin B cos B，即 tan Atan B，所以 AB，即 a b.由 cos C1 4且 c3，结合余弦定理 a 2b22abcos Cc2，得 ab 6，又 sin C 1cos2C 15 4 ，所以ABC 的面积 S1 2absin C 3 15 4 .
21、 答案：3 15 4 16.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点， 且F1PF2 3 ，若 F1关于F1PF2的平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆的离心率为 _. 解析：法一：如图，设点 F1关于F1PF2的平分线的对称点为 Q， 则根据椭圆的对称性和角平分线的性质知， P， F2， Q 三点共线， 且|PF1|PQ|.又F1PF2 3 ，所以PF1Q 为正三角形.设|PF1| |PQ|x，则由椭圆的定义知|PF2|2ax，所以|QF2|PQ|PF2|2x2a，再由椭圆的定 义知|QF1|2a(2x2a)4a2x，则 4a
22、2xx，即 x4 3a，所以|PF2| 2 3a，则在PF1F2 中，由余弦定理，得 4c2 4 3a 2 2 3a 2 24 3a 2 3acos 3 ，整理，得 3c2a2，即 c 3 3 a， 所以椭圆的离心率 ec a 3 3 . 法二：如法一中图，设点 F1关于F1PF2的平分线的对称点为 Q，则根据椭圆的对称性 和角平分线的性质知，P，F2，Q 三点共线，且|PF1|PQ|.又F1PF2 3 ，所以PF1Q 为 正三角形.所以|F1P|F1Q|，根据椭圆的对称性知，PQ 垂直于 x 轴，且过焦点 F2，所以|F1F2| 3 2 |PQ|，即 2c 3 2 2b 2 a ，所以 2ac 3b2 3(a2c2)，即 3c22ac 3a20，所以 3 e22e 30，解得 e 3 3 或 e 3(舍去). 答案： 3 3
