1、1第三讲有效前沿与最优证券组合2有效前沿的定义：定义定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其中存在一个子集F(p)，具有如下性质：1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的证券组合在S中具有最大的期望收益率。2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组合在S中具有最小的标准差（或方差）。则称F(p)为有效前沿（efficient frontier），简称前沿（边界）。33.1 N种风险证券组合的有效前沿（一）两种风险证券组合的有效前沿两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a 和 b，方差和协方差分别为对任一组合p=(x，1-x)，x0，1，证券组合p的期望收益率和方差如下：rrbaba
2、ab,22baprxrxr)1(_22222(1)2(1)pabababxxxx 4讨论证券组合P的有效前沿形状1）2）3）1ABBApxx)1(1AB(1)pABxx 11AB2_2pprD_pFrG 0)/()2(2_22BABAABBArrD52种和3种风险证券的有效前沿 r p B rp C ab=-1 2 ab=1 4 3 C D 1 B A AO p O p 图3.1 图3.26例题两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a=4.6%和 b=8.5%，方差和协方差分别为求这两种风险资产的有效前沿。rr%7.4,%)33.6(,%)62.5(2222baba4.6%(1)8.3%p
3、rxx22222(5.62%)(1)(6.33%)2(1)4.7%pxxxx7N种风险证券的有效前沿 r p O p 图3.3 E8（二)N中风险证券组合泽的有效前沿设市场上有N种风险证券，它们的收益率和方差为有限值，这些收益率的方差-协方差矩阵V为正定矩阵，N种证券的期望收益率为：N种证券组合P表示为：证券组合期望收益率和方差分别为TNrrrr),.,(_2_1TNxxxX),.,(21_rXrTpVXXTp29 按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：VXXT21min_,.pTrrXts1IXT10构造拉格朗日函数一阶条件：12TLX VX_()(1)TTprX rX I_0TL
4、VXrIX_0TpLrX r10TLX I 11由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。求解得 _1_11_11()()()1()()TTpTXVrIrr Vrr VIIVrI VIDrABDArCpp/)(/)(_1TAI Vr_1TBr Vr1TCI VI02ABCD12对于另一个指定的 ，在前沿上的证券组合为：IVDrABrVDArCXppp1_1_qrIVDrABrVDArCXqqq1_1_13两个证券组合的协方差为令 ，则得前沿上的证券组合方差为：),cov(qprrDCpr(CAqr)(CAC1)qprr2p(DCpr2)CAC114 Cp/121/)/(22CDCArp A/C MVP
5、O (1/C)1/2 ppr1532 允许对无风险证券投资的有效前沿无风险证券（例如国库券等）的期末收入是确定的。因此这种证券的方差为零，从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风险证券简称为债券。16一种风险证券和一种无风险证券股票A和债券以 记投入债券的比例，则 是购买股票的比例。证券组合的期望收益率和标准差分别为：1x211xx _11(1)pfArx rx r1(1)pAx17一种风险证券和一种无风险证券得证券组合的期望收益率 和标准差的关系：_()/pfAfAprrrr18图3.5 prfrpB A C。ArAO 19两种股票A和B，及一种债券 有效前沿为从(0，rf)出发，与双
6、曲线AB相切的射线 frprpr C A Dp B O e 20N 种股票及一种债券 问题 s.t 构造拉格朗日函数：1min2TX VX_(1)TTfpX rX I rr12TLX VX_(1)TTfpX rX I rr21 一阶条件：_()0fTLVXrr IX_()0TpffLrrXrr I22 得证券组合的投资比例 其中证券组合的方差为 或_1()()/pfpfXVr r I rrH_12()()2TffffHr r IVr rBr Ar C_22()/TppppfXVXrrH_()/ppfrrH23切点证券组合(tangency portfolio)切点证券组合e的投资比例 _()e
7、fADrCC ACrffCrAArB1/221()efDC ACrC22_12(/)()(/)feffA CrCDXVr r IC H A Cr24 切点的证券组合 1()(/)fefVrr IXC A CrffCrAIrrV)(1253.3 最优证券组合N种风险证券的情形设投资者的效用函数为 ，并设 和 ，下标1，2分别表示对U的第1，2个变元求导。意味着对给定的风险 ，投资者认为期望回报率越大越好。意味着对给定的期望回报率 ，投资者认为风险 越小越好。2(,)ppU r10U 20U 10U 2ppr20U pr2p26 这时投资者的问题可表述为 s.t max(,)TTU X r X V
8、X1TX I 27 构造拉格朗日函数一阶条件(,)(1)TTTLU X r X VXX I_1220TLU rU VXIX10TLX I 28 一阶条件变形得：从而得出：_1122UXVrU 122VIU11212TTUI XI VrU 122TI VIU 212UAUC29 把代回X中可得最优投资比例：*122AUXU ArV111212AUVIUC 122dAUXU 1212gAUXU 30 定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合构成的。又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点，故有：推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由
9、和 的凸组合构成的。有效前沿又可以看成由所有切点组成，因而有：推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸组合。31最优证券组合存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证券上的投资比例为X，在无风险证券上的投资比例为（1 XI），从而证券组合的期望收益率32 证券组合的期望收益率 投资者的问题可表示为：(1)TTpfrX rX I r()TffrXrr Imax(),)TTffU rXrr IX VX33 一阶条件最优投资比例为 在债券上的投资比例为(1 X*I)12()20fTUU rr IU VXX_*112()2fUXVrr IU 34定理3.2 (两资金分离定理，two-fund separation)当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切点证券组合构成。35 计算方法与例题切点e证券组合的计算方法 36 例3.1 设风险证券A和B分别有期望收益率 r1=12%，r2=8%，方差分别为1=10和2=4，它们之间的协方差12=2，又设无风险证券的收益率rf=6%，求切点证券组合Xe.三种解法。
