1、第九章 二次型9.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵9.2 复数域和实数域上的二次型复数域和实数域上的二次型9.3 正定二次型正定二次型9.4 主轴问题主轴问题 研究对象研究对象：二次齐次多项式二次齐次多项式(1)也叫二次型也叫二次型 (2)在数学和物理的许多分支都有重要应用在数学和物理的许多分支都有重要应用 (3)展现矩阵的无穷魅力展现矩阵的无穷魅力 1谢谢观赏2019-8-179.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵学习目标：学习目标：1.1.掌握二次型及其矩阵的定义，掌握二次型及其矩阵的定义，2.2.理解变量的线性变换理解变量的线性变换 3.3.掌握矩阵合同的概念掌握矩阵合同的概念 4
2、.4.掌握二次型的标准形掌握二次型的标准形2谢谢观赏2019-8-17一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵 1 1、定义：、定义：设设F是一个数域，是一个数域，F上上n n元二次齐次多项式元二次齐次多项式叫做叫做F上的上的n n 元二次型，简称二次型元二次型，简称二次型注：（注：（1 1）二次型的特点）二次型的特点(i)ijaF（iiii）每项都为二次项）每项都为二次项2221211 122212 1213 1 31,1(,)222nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxx(2)(2)例：下列是否二次型例：下列是否二次型21122()23ixx xx1321212
3、3()23iixx xx x x2113()23iiixx x答答:不是不是答答:不是不是答答:是是3谢谢观赏2019-8-171）分析：）分析：12(,)nf x xx 2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xax xax11nnijijija x x 2221211 1222121213 131,1(,)222nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxx约定约定aij=aji，2111121211nna xa x xa x x4谢谢观赏2019-8-17111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa 令令
4、其中矩阵其中矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵.12(,)nf x xx12,nxxXx 令令X AX 2）分析：）分析：计算计算1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 1112112122221212.(,.,).nnnnnnnnaaaxaaaxx xxxaaa 5谢谢观赏2019-8-17于是有于是有12(,.,).nf xxxX AX 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 1122111nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x11nnijijija x x 6谢谢观赏2019-8-173）
5、总结：）总结：11nnijijija x x 2221211 1222121213 131,1(,)222nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxx ijjiaa（令令）X AX 111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa 其其中中12,nxxXx 7谢谢观赏2019-8-174）说明）说明:ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定）二次型与它的矩阵相互唯一确定正因为如此，讨论二次型时正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具矩阵是一个有力的工具.i）二次型的矩阵）二次型的矩阵A是对称矩阵是对称矩阵,即即.AA （这表明二次型（这表明二次型12(,.,
6、)nf x xxX AX 12(,.,)nf x xxX AX 在在二二次次型型中中 ijjiaa（因因）完全由对称矩阵完全由对称矩阵A决定决定.)8谢谢观赏2019-8-173、例题、例题:212311213(,)23f x xxxx xx x1）求下列二次型的矩阵）求下列二次型的矩阵 1121221 2(,)(,)1 2xf x xx xx 2）求下列矩阵的二次型）求下列矩阵的二次型130302021A 4、定义、定义:12(,.,)nf x xxX AX 二二次次型型的的秩秩是是指指：A的秩的秩1）例，求下列二次型的秩）例，求下列二次型的秩212311213(,)23f x xxxx x
7、x x 31212221321222,xxxxxxxxxf 9谢谢观赏2019-8-17 二、变量的线性变换二、变量的线性变换1 1、定义、定义：是两组变量是两组变量,关系式关系式1212,;,nnx xxyyy11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy ijpF 称为称为变量的线性变换变量的线性变换10谢谢观赏2019-8-172 2、分析、分析：变量的线性变换变量的线性变换11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy 12nxxx 111212122
8、212.nnnnnnppppppppp 12nyyy 12nxxXx 令令111212122212.,.nnnnnnppppppPppp 12,nyyYy X PY11谢谢观赏2019-8-173 3、定义：、定义：P若矩阵 非奇异（可逆，非退化），XPY则称变量的线性变换是非奇异的（可逆的，非退化的）注：注：XPY是非奇异的 P矩阵 可逆0P 12谢谢观赏2019-8-17即，即，B为对称矩阵为对称矩阵.4 4、分析：、分析：B PAP令 12(,.,)nf x xxX AX B 又又()YP AP Y()()PYA PY Y BY 12(,.,)ng yyyY BY 也是二次型也是二次型.
9、XPY 非非奇奇异异12(,.,)ng yyy()P APP A P P AP B 13谢谢观赏2019-8-175 5、总结：、总结：12(,.,)nf x xxX AX ()YP AP Y XPY 非非奇奇异异12(,.,)ng yyy（2 2）问：）问：经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩保持不变保持不变（3 3）例：）例：1212(,)2,f x xx x 1122111 1xyxy （1 1）问：）问：12(,.,)nf x xxX AX 非奇异线性变换非奇异线性变换,XPY 实施变量的实施变量的得到的二次型的矩阵为得到的二次型的矩阵为P AP 1
10、4谢谢观赏2019-8-17三、矩阵的合同三、矩阵的合同1、定义：、定义：设设A，B为为n 阶矩阵，阶矩阵，,P APB2、基本性质、基本性质 传递性：传递性：自反性：自反性：对称性：对称性：若存在若存在可逆可逆矩阵矩阵P P，可使，可使 则称则称B与与A合同合同。若若A与与B合同合同,如果如果B与与A合同，那么合同，那么A也与也与B合同合同如果如果 A 与与 B 合同，合同，B 与与 C合同，合同，那么那么A 与与 C合同。合同。3、性质、性质:则秩A=秩B任意矩阵任意矩阵A都与自身合同都与自身合同15谢谢观赏2019-8-174、比较：合同，相似、比较：合同，相似PP APB存在可逆矩阵
11、可使A与与B合同合同秩A=秩BA与与B相似相似1PP APB存在可逆矩阵 可使秩A=秩BBA()()ABfxfx特征值相同16谢谢观赏2019-8-17F上两个二次型上两个二次型等价等价，是指：可以通过变量，是指：可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.5、定义：、定义：6、分析、分析：fX AXgYBY二次型与二次型等价 fX AXXPYgYBY实施非奇异可化为 BP APAB与 合同7、结论、结论：两个二次型等价它们的矩阵合同8、问：、问：若两个二次型等价，则它们的秩相等17谢谢观赏2019-8-171、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次
12、型它的矩阵是对角阵 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？2、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成2221122nnd xd xd x12120000(,)000nndddiag d ddd 四、二次型的标准形四、二次型的标准形18谢谢观赏2019-8-17证明：证明：对二次型变量个数对二次型变量个数n作归纳法作归纳法.假定对假定对n1元二次型结论成立元二次型结论成立.下面考虑下面考虑n元元过非退化线性替换化成平方和的形式过非退化线性替换化成平方和的形式.3 3、定理：数域、定理：数域F F上任
13、一二次型都可经上任一二次型都可经n=1时，时，结论成立结论成立.21111(),f xa x 二次型二次型12(,).nf x xx分三种情形来讨论：分三种情形来讨论：aii(i=1,2,n)中至少有一个不为零，中至少有一个不为零，不妨设不妨设 a11 0,这时这时19谢谢观赏2019-8-17212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x2222222nna xax x2333332nna xax x2nnnax2111111222nnnjjijijjija xa x xa x x2111112222nnnjjijijjija xxa xa x x20谢谢观赏
14、2019-8-17 这里，这里，2111111112112112()2njjjnjjjaxxaaaa xx 12121111111112222()()nnnnjjjjijijjjijaxaa xaa xa x x1211121122()nnnijijijjjja xaaxax 12111111222()nnnjjijijjijaxaa xb x x 1211122222()nnnnnijijjjijijijjijb x xaa xa x x 是一个是一个.的的n1元二次型元二次型.23,nxxx配方配方法法21谢谢观赏2019-8-17它是非退化的，它是非退化的，111111222njjjnn
15、yxaa xyxyx 令令111111222njjjnnxyaa yxyxy 或或112111111221,0100001nnnaaxyaaxyxy 即即,21211122(,).nnnijijijf x xxa yb y y且使且使22谢谢观赏2019-8-17使它变成平方和使它变成平方和 于是，非退化线性替换于是，非退化线性替换 22222332332233332233nnnnnnnnnnzc yc ycyzc yc ycyzcycycy 11222223322233nnnnnnnnzyzc yc ycyzcycycy 2222 23 3n nd zd zd z由归纳假设，对由归纳假设，对
16、 有非退化线性替换有非退化线性替换22nnijijijb y y23谢谢观赏2019-8-1711221233nnxyyxyyxyxy 2221211 12 2(,)nn nf x xxa zd zd z就使就使 变成变成12(,)nf x xx2）但至少有一个但至少有一个 0,(1,2,),iiain10(1)jaj不妨设不妨设 作非退化线性替换：作非退化线性替换：120,a 24谢谢观赏2019-8-17不为零不为零.由情形由情形1）知，结论成立）知，结论成立.2212112222a ya y1212122()()ayyyy12122a x x则则 121(,)2nijijij nf x
17、xxa x x 这是一个这是一个 的二次型，且的二次型，且 的系数的系数 12,nyyy21y25谢谢观赏2019-8-17这是一个这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立元二次型，由归纳假设，结论成立.总之，数域总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式替换化成平方和的形式.即即1222(,).nnnijijijf x xxa x x 213110.naaa3）由对称性，由对称性，111210.naaa26谢谢观赏2019-8-174 4、二次型的标准形的定义、二次型的标准形的定义:所变成的平方和形式所变成的平方和形式注注：1）由上定理知任
18、一二次型的标准形是存在的）由上定理知任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形）可应用配方法得到二次型的标准形.2221122nnd yd yd y二次型二次型 经过非退化线性替换经过非退化线性替换 12(,)nf x xx的一个的一个标准形标准形.称为称为 12(,)nf x xx27谢谢观赏2019-8-17则则 解：作非退化线性替换解：作非退化线性替换 2221332232()228yyyyy y221213232248yyy yy y1232()yyy121212123(,)2()()6()nf x xxyyyyyyy1122331 1011 00 0 1xyxyx
19、y即即,11221233xyyxyyxy 5 5、例：、例：求求123122313(,)262f xxxx xx xx x 的标准形的标准形.28谢谢观赏2019-8-17222123322(2)6zzzz22221233322(2)82zzzzz或或 11223332zwzwwzw 最后令最后令 11223332wzwzzwz 则则 222121232 3(,)2228nf x xxzzzz z1122331 0 10 1 00 0 1yzyzyz 即即,或或 1132233yzzyzyz 再令再令 1132233zyyzyzy 29谢谢观赏2019-8-17所作的非退化线性替换是所作的非退
20、化线性替换是 即即 11232123333xwwwxwwwxw 1231 101 0 11 0 011 00 1 00 1 20 0 10 0 10 0 1www1231 131110 01www1112223331 101 101 0 111 011 00 1 00 0 10 0 10 0 1xyzxyzxyz222123123(,)226f x xxwww则则 30谢谢观赏2019-8-176 6、定理：、定理：数域数域F F上任一对称矩阵合同于上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵一个对角矩阵.31谢谢观赏2019-8-17五、合同变换法五、合同变换法（1）互换矩阵的互换矩阵的,i j两行，再
21、互两行，再互 换矩阵的换矩阵的,i j两列两列;1、定义定义：合同变换合同变换是指下列三种变换是指下列三种变换 （2）以数以数 k（0k)乘矩阵的第乘矩阵的第 i 行；再以数行；再以数 k 乘乘ii（3）将矩阵的第将矩阵的第i行的行的k倍加倍加 到第到第 j行，再将第行，再将第 i列列 的的k倍加到第倍加到第 j列（列（).ij矩阵的第矩阵的第 i 列列.32谢谢观赏2019-8-172 2、合同变换法化二次型为标准形、合同变换法化二次型为标准形 又，又，设对称矩阵设对称矩阵A与对角矩阵与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵合同，则存在可逆矩阵（1）基本原理）基本原理：C,使使.(,)(,),()(
22、),p i jp i jp i kp i ks2112sC ACQQ Q AQ QQ s2112sQQQ AQQQ （）若若 为初等阵，则为初等阵，则 12,siCQ QQQ(,()(,()p i j kp j i k 33谢谢观赏2019-8-17对对E施行同样的施行同样的初等列变换初等列变换便可求得可逆矩阵便可求得可逆矩阵C满足满足就相当于对就相当于对A作作s次合同变换化为次合同变换化为D.所以，在所以，在合同变换合同变换化矩阵化矩阵A为对角阵为对角阵D的同时，的同时，又注意到又注意到12.SCEQ QQ 212(.().)SSQQ Q AQ QQD所以，所以，212(.().)SSC A
23、CQQQ AQ QQ.C ACD 34谢谢观赏2019-8-17（2）基本步骤）基本步骤：对对A作合同变换化为对角矩阵作合同变换化为对角矩阵D 对对E仅作上述合同变换中的仅作上述合同变换中的初等列变换得初等列变换得C 作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY，则，则即即,12(,.,),nf x xxX AXAA 写出二次型写出二次型的矩阵的矩阵A12(,.,)nf x xx为标准形为标准形.12(,.,)nf x xxY DY DC AED为对角阵为对角阵,且且DC AC 35谢谢观赏2019-8-173、例：用合同变换求下面二次型的标准形r r1 1+r+r2 2 c c1 1+c+c2
24、2123122313(,)262f x xxx xx xx x112103130100010001 011103130100010001AE 212103230100110001 解：解：的矩阵为的矩阵为011103130A 123(,)f x xx36谢谢观赏2019-8-17r3+r1r2r112c3+c1c2c1122r22c220002404211111 1001 1221202022100110001 121212200020221111001 12122000140221111001 c3+2c2r3+2r220002 400611111 1001 20002 0006113111
25、001 37谢谢观赏2019-8-17作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形则二次型化为标准形 222123123(,)226f xxxyyy令令1 13111,0 01C则则20002 0,006C AC38谢谢观赏2019-8-17对对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对（因为合同变换保持矩阵的对 称性称性可利用这一点检查计算是否正确可利用这一点检查计算是否正确.）对对A作合同变换时，无论先作行变换还是作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的先作列变换，结果是一致的.可连续
26、作可连续作n次初等行（列）变换后，再依次次初等行（列）变换后，再依次作作n次相应的初等列（行）变换次相应的初等列（行）变换.4、说明、说明：39谢谢观赏2019-8-17作非退化线性替换作非退化线性替换f 的标准形为的标准形为5、练习：、练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换非退化线替性换.答案：答案：22123411213142(,)4422f xxxxxx xx xx xx22324344222x xx xx xx1211013 1,00210001XCYC 其其中中22212322yyy40谢谢观赏2019-8-17的矩阵为的矩阵为详解：
27、详解：AE100022312341111 0122101000010000121314122cccccc 1234(,)f xxxx1 2 2 12 2 1 12 1 0 11 1 1 1A 21314110002023120341011 01221010000100001rrrrrr 41谢谢观赏2019-8-173242100002001103221101223121123101122200100001cccc 3242100002003110022211100222121031012200100001rrrr 42谢谢观赏2019-8-17431000020010002100021211
28、3011200110001cc 431000020010002000012113011200110001rr 43谢谢观赏2019-8-17令令则则作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY，则，则 f 的标准形为的标准形为3100002000010000012212013 100210001c 3100002000020200001211013 100210001r 1211013 1,00210001C 12.20C AC 22212322yyy44谢谢观赏2019-8-17小结1、二次型的标准形基本概念基本概念基本结论基本结论定理定理2 2、数域、数域P上对称矩阵合同于一上对称矩阵合同于一
29、 个对角矩阵个对角矩阵.定理1、任一数域P上的二次型 f(x1,x2,xn)可经过非退化线性变换经过非退化线性变换XCY化为标准形化为标准形2、合同变换、合同变换2221122nnd yd yd y45谢谢观赏2019-8-179.2 9.2 复数域和实数域上的二次型复数域和实数域上的二次型 学习目标：学习目标：1掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、2.掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。3掌握实二次型的惯性定律掌握实二次型的惯性定律.46谢谢观赏2019-8-17复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型复数域
30、和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型和实二次型.一、一、复二次型复二次型1、定理：、定理：复数域上两个复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩且必要条件是它们有相同的秩.证证：条件的必要性是明显的：条件的必要性是明显的.我们只要证条件我们只要证条件的充分性的充分性.设设A，B是复数域上两个是复数域上两个n阶对称矩阵，阶对称矩阵，且且A与与B有相同的秩有相同的秩r，由定理，由定理9.1.2，分别存在复，分别存在复可逆矩阵可逆矩阵P和和Q，使得，使得即：两个复二次型等价的充分且必要条件即：两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩是它们有相同的
31、秩.47谢谢观赏2019-8-17 000021rcccAPP 000021rdddBQQ48谢谢观赏2019-8-17ridcrii,2,1,0,0,0 时时当当取取 n n 阶复矩阵阶复矩阵 1011011rccS 1011011rddT的一个平方根的一个平方根.iiiidcdc,分分别别表表示示复复数数这这里里49谢谢观赏2019-8-17那么那么 ，而，而 TTSS ,OOOIBQTQTAPSPSr因此，矩阵因此，矩阵A，B 都与矩阵都与矩阵 OOOIr合同，所以合同，所以A与与B合同合同.50谢谢观赏2019-8-17二、实二次型二、实二次型1、定理：、定理：实数域上每一实数域上每一
32、n 阶对称矩阵阶对称矩阵A 都合同于都合同于如下形式的一个矩阵：如下形式的一个矩阵：（1）OOOOIOOOIprp这里这里 r 等于等于A的秩的秩.证证：由定理由定理9.1.2，存在实可逆矩阵，存在实可逆矩阵P，使得，使得 51谢谢观赏2019-8-17 000021rcccAPP如果如果r 0，必要时交换两列和两行，我们总，必要时交换两列和两行，我们总可以假定可以假定 rpcccrp 0,0,0,152谢谢观赏2019-8-17取取 101|10|11rccT那么那么 OOOOIOOOIAPTPTprp53谢谢观赏2019-8-172、定理：、定理：实数域上实数域上n 元二次型都与如下形式的
33、二元二次型都与如下形式的二次型等价：次型等价：（1）221221rppxxxx 这里这里 r 是所给的二次型的秩是所给的二次型的秩.注注:二次型（二次型（1）叫做）叫做实二次型的典范形式实二次型的典范形式，该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价形式等价.在典范形式里，平方项的个数在典范形式里，平方项的个数 r 等于二等于二次型的秩，因而是唯一确定的次型的秩，因而是唯一确定的.54谢谢观赏2019-8-173 3、定理、定理 （惯性定律）：（惯性定律）：设实数域上设实数域上n n元二次型元二次型 ninjjiijxxa11等价于两个典范形
34、式等价于两个典范形式 221221rppyyyy （2）221221rppzzzz （3）那么那么pp 证：证：设（设（2）和（）和（3）分别通过变量的非奇异线性）分别通过变量的非奇异线性变换变换（4）nixsynjjiji,2,1,1 （5）nixtznjjiji,2,1,1 55谢谢观赏2019-8-17化为所给的二次型化为所给的二次型 如果如果 不不,11 ninjjiijxxa,pp 妨设妨设 考虑考虑 个方程的齐次线性个方程的齐次线性方程组方程组,pp pnp （6 6）npixtpixsnjjijnjjij,1,2,1,11因为因为 所以所以 因此，方程组因此，方程组（6）在）在R
35、内有非零解内有非零解.令令 是（是（6）的）的一个非零解一个非零解.把这一组值代入把这一组值代入 的表示式的表示式,pp ,npnp ),(21nccciizy 和和56谢谢观赏2019-8-17（4）和（）和（5）.记记 nicscynjjiji,2,1,)(1 nictcznjjiji,2,1,)(1 我们有我们有 njnijjijirpprppccaczczczczcycycycy1221221221221)()()()()()()()(57谢谢观赏2019-8-17然而然而0)()(,0)()(11 czczcycyrpp所以所以 221221)()()()(czczcycyprp 因
36、为因为 都是非负数，所以必须都是非负数，所以必须22)()(czcyii和和0)()(0)()(11 czczcycyprp又又 所以所以 是是齐次线性方程组齐次线性方程组.0)()(1 czcznpnccc,21nictnjjij,2,1,01 的一个非零解的一个非零解.这与矩阵这与矩阵 的非奇异性矛盾的非奇异性矛盾.)(ijt58谢谢观赏2019-8-17这就证明了这就证明了 .同理可证得同理可证得 .所以所以 pp pp .pp 4、总结：实二次型都与唯一的典范形式（、总结：实二次型都与唯一的典范形式（1）等价等价.在（在（1）中，正平方项的个数）中，正平方项的个数 p 叫做所给二叫做所
37、给二次型的惯性指标次型的惯性指标.正项的个数正项的个数p与负项的个数与负项的个数 r p 的差的差s=p (r p)=2p r 叫做叫做所给的二次型的符所给的二次型的符号差号差.注意：注意：一个实二次型的秩，惯性指标和符一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的号都是唯一确定的.59谢谢观赏2019-8-175、定理：、定理：实数域上两个实数域上两个 n 元二次型等价的充分且元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差必要条件是它们有相同的秩和符号差.证证 设设 是实是实数域上两个数域上两个n元二次型元二次型.令令 分别是它们的分别是它们的矩阵矩阵.那么由定理那么由定理9.2.2，
38、存在实可逆矩阵，存在实可逆矩阵P，使得，使得),(),(212211nnxxxqxxxq和和21AA 和和 OOOOIOOOIPAPprp1如果如果 等价，那么等价，那么 合同合同.于是存在实于是存在实可逆矩阵可逆矩阵Q 使得使得 .取取 ，那么，那么12qq 与与12AA 和和QAQA12 PQT1 60谢谢观赏2019-8-17 OOOOIOOOIPAPPQQAQQPTATprp11112因此因此 都与同一个典范形式等价，所以它们都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差有相同的秩和符号差.12qq 与与反过来，如果反过来，如果 有相同的秩有相同的秩 r 和符号差和符号差s,21,
39、qq)(21srp 21,AA那么它们也有相同的惯性指标那么它们也有相同的惯性指标 .因此因此 都与矩阵都与矩阵61谢谢观赏2019-8-17 OOOOIOOOIprp合同合同.由此推出由此推出 合同，从而合同，从而 等价等价.12AA 和和12qq 与与6、推论、推论：实数域实数域 R 上一切上一切n元二次型可以分成元二次型可以分成)2)(1(21 nn 类，属于同一类的二次型彼此等价，类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价属于不同类的二次型互不等价.证证 给定给定 .令令 rpnr 00和和62谢谢观赏2019-8-17 OOOOIOOOICprppr,由定理由定理9.
40、2.4，R上每一上每一n元二次型恰与一个以元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价为矩阵的典范形式等价.当当 r 取定后，取定后，p 可以取可以取0，1，r；而；而 r 又可以取又可以取0，1，n 中任何一中任何一个数个数.因此这样的因此这样的 共有共有 prC,prC,)2)(1(21)1(21 nnn个个.对于每一个对于每一个 ，就有一个典范形式，就有一个典范形式 prC,221221rppxxxx 63谢谢观赏2019-8-17与它相当与它相当.把与同一个典范形式等价的二次型放在把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是一类，于是 R 上的一切上的一切 n 元二次型恰可以分成元二次型恰
41、可以分成 类，属于同一类的二次彼此等价，类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价属于不同类的二次互不等价.)2)(1(21 nn7、例、例：a 满足什么条件时，二次型满足什么条件时，二次型 3132212322213212223,xxxaxxxaxxxxxxf 的惯性指标是的惯性指标是0，符号差是，符号差是2？写出其典范形。？写出其典范形。64谢谢观赏2019-8-17解解 实二次型实二次型 的矩阵为的矩阵为 321,xxxf a a-aA1 3-1-1-1-1经过合同变换可化为标准形经过合同变换可化为标准形 3100 0 2-0 0 0 1aa 所以当所以当 或或 时，二次型的
42、惯性指标是时，二次型的惯性指标是0，符号差是，符号差是2，其典范形为，其典范形为 1 a3 a 2221321,zzxxxf 65谢谢观赏2019-8-17三、小结三、小结基本概念：基本概念：这里，这里，秩秩(f).r2、n元实二次型元实二次型 的规范形的规范形12(,)nf x xx这里，这里，秩秩(f)，p 称为称为 f 的正惯性指数；的正惯性指数；rrp称为称为 f 的负惯性指数；称为的负惯性指数；称为 符号差符号差.2pr22212rzzz222211ppryyyy 1、n元复二次型的规范形元复二次型的规范形12(,)nf xxx66谢谢观赏2019-8-17基本结论基本结论定理定理、
43、任意一个复系数二次型，经过一适当的、任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵合同于一个对角矩阵推论推论、两个复对称矩阵、两个复对称矩阵A A、B B合同合同()().AB秩秩0,().00rErA 其其中中秩秩67谢谢观赏2019-8-17定理定理、任意一个实二次型，经过一适当的非退化、任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一实对称矩阵即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵合
44、同于一个对角矩阵11111100 其中其中 的个数等于矩阵的个数等于矩阵的秩的秩.1 168谢谢观赏2019-8-17推论推论、两个实对称矩阵、两个实对称矩阵A A、B B合同的充要条件是合同的充要条件是正惯性指数相等正惯性指数相等.()(),AB秩秩且二次型与的且二次型与的X AXX BX69谢谢观赏2019-8-17 1掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。二次型的概念。2掌握实二次型掌握实二次型 AXXxxxfn),(21正定的判正定的判 定定理。定
45、定理。9.3 9.3 正定二次型正定二次型70谢谢观赏2019-8-17一、正定二次型与正定矩阵1基本概念基本概念 i）正定二次型）正定二次型实二次型实二次型),(21nxxxf称为称为正定的正定的，如果对于，如果对于任意一组不全为零的实数任意一组不全为零的实数 nccc,21都有都有 12(,)0.nf c ccii）正定矩阵）正定矩阵 实对称矩阵实对称矩阵 称为称为正定的正定的，如果二次型，如果二次型 AX AX正定71谢谢观赏2019-8-172、例：、例：下列实二次型是否为正定的二次型：下列实二次型是否为正定的二次型：1）222132132,xxxxxf2）222132132,xxxx
46、xf3）2322213212132,xxxxxxf72谢谢观赏2019-8-17从而从而 0),(),(),(212121nnnccchcccgcccf例：例：若若 ，都是都是 阶正定矩阵，阶正定矩阵，证明：证明：是正定矩阵。是正定矩阵。ABnBA证明：证明：只需证明只需证明 正定。正定。XBAXxxxfn,21由由 ，都是正定矩阵，知都是正定矩阵，知 ，正定，正定，A BAXXxxxgn,21BXXxxxhn,21所以对于任意一组不全为所以对于任意一组不全为零的实数零的实数 nccc,21，有有 0),(21ncccg，0),(21nccch73谢谢观赏2019-8-173、实二次型实二次型
47、 是正定的当且仅当是正定的当且仅当 .222221121),(nnnxdxdxdxxxfnidi,2,1,0证明：证明：若若 正定，正定，则对任意一组不全为零的实数则对任意一组不全为零的实数 ，都有，都有 .分别选取分别选取 为为 ，则有，则有 .222221121),(nnnxdxdxdxxxfnccc,210),(222221121nnncdcdcdcccf),(21nccc)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(nidi,2,1,0nidi,2,1,0若若 .则对任意一组不全为零的实则对任意一组不全为零的实数数 ，都有，都有 nidi,2,1,0nccc,210),(2222211
48、21nnncdcdcdcccf所以所以 222221121),(nnnxdxdxdxxxf是正定的。是正定的。74谢谢观赏2019-8-174、非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变.设实二次型设实二次型jiijninjjiijnaaxxaxxxf ,),(1121(1)经过非退化实线性替换经过非退化实线性替换 CYX(2)变成二次型变成二次型jiijninjjiijnbbyybyyyg ,),(1121(3)则则 是正定的是正定的 是是正定的。正定的。),(21nxxxf),(21nyyyg75谢谢观赏2019-8-17证明：证明：若若 是正定的。对
49、于任意一是正定的。对于任意一 组不全为零的实数组不全为零的实数 ，令，令),(21nxxxfnkkk,21nnkkkCuuu2121由于由于 是可逆实矩阵，故是可逆实矩阵，故 也是一组不全也是一组不全为零的实数，从而为零的实数，从而 Cnuuu,210),(),(21111121nninjjiijninjjiijnuuufuuakkbkkkg因为二次型（因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换）也可以经非退化实线性替换XCY1变到二次型（变到二次型（1 1），所以按同样理由，当（），所以按同样理由，当（3 3）正定）正定时，（时，（1 1）也正定）也正定.76谢谢观赏2019-8-17二、正定
50、二次型的判别 1判别定理判别定理1：1实二次型实二次型 是正定的是正定的 它的正惯它的正惯性指数等于性指数等于 .),(21nxxxfn2实二次型实二次型 是正定的是正定的 它的规范它的规范形为形为 。),(21nxxxf22221nyyy3一个实对称矩阵是正定的一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合它与单位矩阵合同同.例：例：正定矩阵的行列式大于零正定矩阵的行列式大于零.逆命题不成立。逆命题不成立。1 0 0 1A反例反例：的行列式大于零，但它对应的二次型的行列式大于零，但它对应的二次型 不是正定的。不是正定的。A222121),(xxxxf77谢谢观赏2019-8-17提示：提示：IAAA
