1、等比数列的前n项和新疆奎屯市一中 王新敞复习数列的有关概念1按一定的次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）用 表示，1a第2项用 表示，2a，第n项用 表示，na，数列的一般形式可以写成：,1a,2a,3a,na，简记作：na复习数列的有关概念2 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。nana叫做数列 的前n项和。nannnaaaaaS1321)2()1(11nSSnSannn复习等差数列的有关概念 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
2、项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。表示。无关的数或式子）是与 ndaann(1dnaan)1(1等差数列等差数列 的通项公式为的通项公式为 na当d0时，这是关于n的一个一次函数。如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与与b的等差中项。的等差中项。2baA等差数列等差数列的前的前n项和项和 na2)1nnaanS（dnnnaS
3、n2)11（dnnnaSnn2)1（当公差d=0时，当d0时，,是关于n的二次函数且常数项为0.1naSnndandSn)2(212复习等比数列的有关概念 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列，无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。表示。）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann等比数列等比数列 的通项公式为的通项公式为 na11nnqaa当q=1时，这是一个常函
4、数。0na 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。abG等比数列的前n项和公式的推导nnnaaaaaS1321,1a,2a,3a,na，由等差数列由等差数列的前的前n项和项和得11212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211)(11212111nnnnqaqaqaqaaqSS)(11131211nnqaqaqaqaqa)1(111nnqaqaa)1()1(1nnqaSq当q1时，qqaSnn1)1(1当q=1时，等比数列的前n项和是什么？1naSn等比
5、数列的前n项和公式的其它形式qaaqqaaqaaqannnn1111111)()1(当q1时，qqaSnn1)1(1qqaaSnn111naSn当q=1时，等比数列的前n项和例题1解：解：例例1 求等比数列求等比数列 的前的前8项的和项的和.,81,41,218,21,211nqa2112112188S.256255qqaSnn1)1(1等比数列的前n项和例题2 例例2 某制糖厂今年制糖某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产量比万吨，如果平均每年的产量比上一年增加上一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到，那么从今年起，几年内可以使总产量达到30万吨（保留到个位）万吨（保留到个位
6、）.解：解：由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列，吨）组成一个等比数列，记为记为 na30,1.1%101,51nSqa.301.11)1.11(5n答：答：5年内可以使总产量达到年内可以使总产量达到30万吨万吨.于是得到于是得到整理后，得整理后，得6.11.1n50414.02041.01.1lg6.1lgn6.1lg1.1lg6.1lg1.1lgnn第一年为5万吨，第二年为5+510%=5（1+10%）qqaSnn1)1(1等比数列的前n项和例题3的(1)解答证明：证明：515110,10)1(nnnnaa51
7、5151101010nnnnaa即它们的比值是常数即它们的比值是常数 .1051因此这个数列是以因此这个数列是以 为公比的等比数列为公比的等比数列.5110无关的数）与nqaann(1 例例3 已知无穷数列，已知无穷数列，求证：求证：这个数列是等比数列；这个数列是等比数列；这个数列中的任意一项是它后面第这个数列中的任意一项是它后面第5项的项的 ；这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中.101,10,10,10,1051525150n等比数列的前n项和例题3的(2)解答证明：证明：,10,10,10,1051525150n 例例3 已知无穷数列，已知无穷
8、数列，求证：求证：(2)这个数列中的任意一项是它后面第这个数列中的任意一项是它后面第5项的项的 ；1015455110,10)2(nnnnaa1011010105554515nnnnaa5101nnaa.101所以这个数列中的任意一项是它后面第所以这个数列中的任意一项是它后面第5项的项的等比数列的前n项和例题3的(3)解答证明：证明：515110,10)3(mmnnaa因为因为n1，m1，所以，所以n+m2，n+m-1N 属于这个数列，并且是数列的第属于这个数列，并且是数列的第n+m-1项项.例例3 已知无穷数列，已知无穷数列，求证：求证：(3)这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中这个数列
9、中的任意两项的积仍然在这个数列中.,10,10,10,1051525150n51)1(5151101010mnmnmnaa51)1(110mnmna即等比数列的前n项和练习11.根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 nanS;6,2,3)1(1nqa;5,5.1,4.2)2(1nqa;5,21,8)3(1nqa.6,31,7.2)4(1nqa.18921)21(366 S.433)5.1(1)5.1(14.255 S.231211211855 S.40913113117.266 S等比数列的前n项和练习2-32.求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和.,2,11qa,21,231qa.1521)21(144S.102321)21(11010S.1008151023410SS从第从第5项到第项到第10项的和项的和:3.求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和.,83,43,23.1283812112112377 S从第从第3项到第项到第7项的和项的和:.1281534912838143237S等比数列的前n项和作业12,11,1059习题十八：P祝同学们学习愉快，人人成绩优异！
