1、聚焦核心概念、思想方法的数聚焦核心概念、思想方法的数学课堂教学设计学课堂教学设计人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、我们面临的现实一、我们面临的现实 课改迅猛推进课改迅猛推进 亟待解决的问题多多：新课程提倡的理亟待解决的问题多多：新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；程改革与考试评价制度的改革不配套；等。等。二、教学层面的问题二、教学层面的问题 课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数
2、学思想主线，在学生没有基致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。学基础仍很脆弱。我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而得到改观，而是越来越严重了。得
3、到改观，而是越来越严重了。例例1 1 与与0 0向量相关的细枝末节向量相关的细枝末节 怎样表示怎样表示0向量？向量？0向量的长度为什么为向量的长度为什么为0，方向任意？，方向任意？ab，bc，那么，那么ac吗？吗？零向量与零向量相等吗？零向量与零向量相等吗？a=b 则则ab，对吗？，对吗？ab，则，则a与与b方向相同或相反，对吗？方向相同或相反，对吗？学生的精力和时间被大量浪费。学生的精力和时间被大量浪费。三、教师层面的问题分析三、教师层面的问题分析 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和方式把握不准，特别是对中
4、学数学核心概念和思想方法的体系结构缺乏必要的了解；思想方法的体系结构缺乏必要的了解；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；问题归咎于教学系
5、统的复杂性；缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法；其根源也找不出解决问题的有效方法；采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。新方法。四、努力的方向四、努
6、力的方向专业化专业化数学学科的专业素养数学学科的专业素养 有较好的数学功底（教好数学的前提是有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和科学方法和理性思维过程的能力和“技技术术”；等。；等。教育学科的专业素养：教育学科的专业素养：一个人的可持续发展，不仅要有扎实的一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且
7、要有积极的生活态度、主动双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。指标。“两个素养两个素养”的结合的结合 善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相敏感，有挖掘这些资源
8、并用与学生身心发展相适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发展均衡。展均衡。五、课堂教学改革五、课堂教学改革 抓手在那里抓手在那里 构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思
9、想方法结构体知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。发展数学能力，提高数学素养。例例2 2
10、向量的核心思想向量的核心思想 引进一个量，必须要有运算引进一个量，必须要有运算向量如向量如果没有运算就只是一个路标；果没有运算就只是一个路标；类比数及其运算，提出和研究向量运算类比数及其运算，提出和研究向量运算以加法和乘法的定义为出发点；以加法和乘法的定义为出发点；特例：向量与数的运算；特例：向量与数的运算；引进一种运算，就要研究运算律引进一种运算，就要研究运算律结结合律、分配律、交换律等；合律、分配律、交换律等；向量及其运算的几何意义：向量及其运算的几何意义：数乘向量数乘向量直线的向量表示，与数轴直线的向量表示，与数轴对应；对应；向量加法向量加法平面的向量表示，平面向平面的向量表示，平面向量
11、基本定理；量基本定理；数量积数量积与几何度量、位置关系相关与几何度量、位置关系相关；向量法向量法中学阶段学习向量的主要目中学阶段学习向量的主要目的是用向量方法解决几何问题的是用向量方法解决几何问题核心核心思想是思想是“三步曲三步曲”。向量法是坐标法的返璞归真。例如，根向量法是坐标法的返璞归真。例如，根据条件建立适当的坐标系据条件建立适当的坐标系恰当选择恰当选择基向量。基向量。例例3 3 三角函数的核心三角函数的核心 三角函数是匀速圆周运动的本质表现三角函数是匀速圆周运动的本质表现。角是角是“转转”出来的出来的：单位圆上的点（单位圆上的点（x，y）在其圆周上旋转所成的）在其圆周上旋转所成的。研究
12、匀速旋转最重要的是研究（研究匀速旋转最重要的是研究（x，y）的变化，即研究的变化，即研究x和和y作为作为 的函数的函数三角函数是圆的几何性质的代数表示。三角函数是圆的几何性质的代数表示。可以把正弦函数、余弦函数统一为一个可以把正弦函数、余弦函数统一为一个函数。函数。技术上，充分利用单位圆研究三角函数技术上，充分利用单位圆研究三角函数的图像与性质，其中特别是与圆的对称的图像与性质，其中特别是与圆的对称性相关的性质。性相关的性质。和（差）角公式的研究也应该利用圆的和（差）角公式的研究也应该利用圆的对称性对称性旋转对称性。旋转对称性。六、基于概念的核心、思想方法六、基于概念的核心、思想方法的教学设计
13、框架的教学设计框架1 1教学设计的基本线索教学设计的基本线索 概念及其解析（概念的核心）；概念及其解析（概念的核心）；目标和目标解析；目标和目标解析；教学问题诊断（达成目标已有条件和需教学问题诊断（达成目标已有条件和需要的新条件的分析）；要的新条件的分析）；教学过程设计；教学过程设计；目标检测的设计。目标检测的设计。2 2概念和概念解析概念和概念解析 概念：内涵和外延的准确表达；概念：内涵和外延的准确表达；概念解析：重点是在揭示内涵的基础上概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的数学中的地位的分析，
14、对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。重点。例例4 4 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定定义：定义：“任意任意”“所有所有”；充分性和必要性；充分性和必要性；“化归化归”思想。思想。判定定理：判定定理：“任意任意”“两条两条”、“相交相交”；“化归化归”思想（降维）。思想（降维）。例例5 5 二元一次不等式与平面区域二元一次不等式与平面区域 知识点：用平面区域表示二元一次不等知识点：用平面区域表示二元一次不等式；操作步骤。式；操作步骤。核心：坐标法；化归思想：二维化归为核心：坐标法；化归思想：二维化归为一维（直线的一维（直线的“左上方左
15、上方”“”“右下右下方方”“”“左下方左下方”“”“右上方右上方”的解析含的解析含义）。义）。3 3目标和目标解析目标和目标解析 目标：用目标：用“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”及及相应的行为动词相应的行为动词“经历经历”“”“体验体验”“”“探探究究”等表述目标；等表述目标；目标解析：对目标解析：对“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及以及“经历经历”“”“体验体验”“”“探究探究”的含义的含义进行解析，一般的，核心概念的教学目进行解析，一般的，核心概念的教学目标都应进行适当分解。标都应进行适当分解。例例6 6 直线与平面垂直的判定（）直线与平面垂直的判定（）目标：目标
16、：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。判定定理。目标解析：目标解析：1 1观察图片、实例，抽象概括出直线与平面垂直的定观察图片、实例，抽象概括出直线与平面垂直的定义。义。2 2通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平通过直观感知、操作确认，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理。面垂直的判定定理。3 3能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题。平面垂直有关的简单命题。4 4能运用直线与平面垂直的定义证明两条直线垂直。能运用直线与平面垂直的定义证明两条直线垂直
17、。直线与平面垂直的判定（）直线与平面垂直的判定（）1.1.观察实例、图片，提炼直线与平面垂直的定观察实例、图片，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；空间位置关系的简单命题；3.3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发发展合情推理能力和逻辑推理能力展合情推理能力和逻辑推理能力，体验，体验“空间空间问题平面化问题平
18、面化”、“线面垂直转化为线线垂直线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限无限转化为有限”等思想方法等思想方法.例例7 7 二元一次不等式与平面区域二元一次不等式与平面区域1.1.知识目标知识目标（1 1）了解二元一次不等式的实际背景和几何意义。）了解二元一次不等式的实际背景和几何意义。（2 2）能正确的画出给定的二元一次不等式表示的平面区）能正确的画出给定的二元一次不等式表示的平面区域。域。2.2.能力目标能力目标（1 1）培养学生观察、联想以及作图的能力。）培养学生观察、联想以及作图的能力。（2 2）渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生）渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生
19、“建模建模”和解决实际问题的能力。和解决实际问题的能力。3.3.情感目标情感目标 体会数学来源于实际问题，培养学生用数学的意识，体会数学来源于实际问题，培养学生用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。激发学生学习数学的兴趣。教学目标的三层级模型教学目标的三层级模型第一层级第一层级 主成分：以记忆为主要标志主成分：以记忆为主要标志,培养的是以记忆为主的基本能力。培养的是以记忆为主的基本能力。测试：基本事实、方法的记忆水平。测试：基本事实、方法的记忆水平。标准：获得的知识量以及掌握的准确性。标准：获得的知识量以及掌握的准确性。第二层级第二层级 主成分：以理解为主要标志，培养的是主成分：以理解为主要标
20、志，培养的是以理解为主的基本能力；以理解为主的基本能力；测试：能否顺利地解决常规性、通用性测试：能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题；问题，包括能否满意地解决综合性问题；标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等。灵活、深刻等。第三层级第三层级 主成分：以探究为主要标志，培养以评主成分：以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力；判为主的基本能力；测试：能否对解决问题的过程进行反思，测试：能否对解决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣；即检验过程的正确性、合理性及其优劣；标准：思维的深刻性、批判性、全面性、标
21、准：思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。独创性等。4 4教学问题诊断分析教学问题诊断分析 教师根据自己以往的教学经验，数学内教师根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。上述分析的基础上指出教学难点。例例8 8 直线与平面垂直的判定的难点直线与平面垂直的判定的难点 学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有一定的困难，因为定义中一定的
22、困难，因为定义中“任一条直线任一条直线”指的指的是是“所有直线所有直线”，这种用，这种用“有限有限”代替代替“无限无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。由于的过程导致学生形成理解上的思维障碍。由于学生的空间想象、推理等能力有待进一步加强，学生的空间想象、推理等能力有待进一步加强，在判定定理的运用中，对如何找出两条相交直在判定定理的运用中，对如何找出两条相交直线存在困难。线存在困难。教学难点：教学难点：“定义定义判定判定”的一般思想；的一般思想；“任意任意”“两条相交直线两条相交直线”的操作确认，的操作确认，合情推理与逻辑推理的结合。合情推理与逻辑推理的结合。例例9 9 二元一次不等式与平面
23、区域的难点二元一次不等式与平面区域的难点 现实问题数学化；现实问题数学化；思想方法层面思想方法层面二元一次不等式的平二元一次不等式的平面区域表示方法的探究。面区域表示方法的探究。4 4教学支持条件分析教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，根据问题诊断为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念术的使用
24、，以构建有利于学生建立概念的的“多元联系表示多元联系表示”的教学情境。的教学情境。5 5教学过程设计教学过程设计 强调教学过程的内在逻辑线索；强调教学过程的内在逻辑线索；给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；的领悟过程分析；以以“问题串问题串”方式呈现为主，应当认真思考每方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训
25、练，需要培养的能力，等；训练，需要培养的能力，等；根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。计，合作交流式教学设计，等。例例10 10 二元一次不等式与平面区域二元一次不等式与平面区域 问题问题1 1 一家银行的信贷部计划年初投入一家银行的信贷部计划年初投入2500000025000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来金至少可带来3000030000元的收益，其中从企业贷元的收益，其中从企业贷款中获益款中
26、获益1212，从个人贷款中获益，从个人贷款中获益1010，那么，那么，信贷部分应该如何分配资金呢？信贷部分应该如何分配资金呢？（1 1）在这个问题中，有哪些不等关系？）在这个问题中，有哪些不等关系？（2 2）怎么刻画问题中存在的一些不等关系？）怎么刻画问题中存在的一些不等关系？（3 3）怎样找到这个不等关系的解？）怎样找到这个不等关系的解？问题问题2 二元一次不等式二元一次不等式xy6解集表示解集表示怎样的点集？它们组成怎样的图形？怎样的点集？它们组成怎样的图形？对用平面区域表示的理由的追究。对用平面区域表示的理由的追究。引导语：引导语：不在直线上的点都不满足等式不在直线上的点都不满足等式xy
27、=6，即只要点（即只要点（x，y）不在直线上，那么它）不在直线上，那么它的坐标就一定满足的坐标就一定满足xy6或或xy6。平面上的点被直线平面上的点被直线xy=6分为三部分，分为三部分，直线上的点满足方程直线上的点满足方程xy=6，其余两部，其余两部分的点的坐标与不等式分的点的坐标与不等式xy6或或xy6之间有什么内在联系呢？之间有什么内在联系呢？点点P(x，y)在直线在直线l的的“左上方左上方”、“右下右下方方”、“左下方左下方”、“右上方右上方”的含义的含义是什么？是什么？对平面区域表示二元一对平面区域表示二元一次不等式的本源的追究。次不等式的本源的追究。问题问题3 能将上述具体例子抽象成
28、一般二能将上述具体例子抽象成一般二元一次不等式的解集表示的方法吗？元一次不等式的解集表示的方法吗？问题问题4：怎样判断：怎样判断Ax+By+C=0表示的区域？表示的区域？请你给出用平面区域表示二元一次不等请你给出用平面区域表示二元一次不等式（组）的一般步骤。式（组）的一般步骤。例例11 体现思想性的教学设计体现思想性的教学设计 直线的参数方程中体现的联系与综合：直线的参数方程中体现的联系与综合：平面直角坐标系中，确定直线的几何要平面直角坐标系中，确定直线的几何要素；参数的思想素；参数的思想点点P的坐标由参数的坐标由参数t唯一确定；有向线段；方向向量；三角唯一确定；有向线段；方向向量；三角函数；
29、比例；函数；比例；不同联系方式下的教学设计不同联系方式下的教学设计 参数方程：坐标参数方程：坐标x，y作为参数作为参数t的函数的函数以确定曲线的几何要素为基点，考察坐以确定曲线的几何要素为基点，考察坐标随哪一要素的变化而变化。标随哪一要素的变化而变化。找一座找一座“桥桥”，把任意一点，把任意一点P(x，y)与确与确定直线的几何要素：倾斜角定直线的几何要素：倾斜角、点、点P(x0，y0)联系起来。联系起来。与几何、三角的联系与几何、三角的联系将将P(x，y)、P(x0，y0)y在直角坐标系中表示出来，在直角坐标系中表示出来，P可以看到可以看到P0P的桥梁作用：的桥梁作用：PM=P0P sin，P
30、0M=P0P cos。P0 M O x与向量的联系与向量的联系 向量代数是坐标几何的返璞归真精益求精向量代数是坐标几何的返璞归真精益求精 数轴：原点、方向、长度单位数轴：原点、方向、长度单位 数轴上点的坐标数轴上点的坐标数乘运算数乘运算 坐标系中的直线坐标系中的直线与数轴没有本质区别：与数轴没有本质区别：点点P(x0，y0)原点原点 倾斜角倾斜角方向方向 单位向量单位向量长度单位长度单位 直线上任意一点的坐标直线上任意一点的坐标数乘运算数乘运算纯粹的代数、三角变换纯粹的代数、三角变换 由直线方程由直线方程yy0=tan（xx0）出发的）出发的代数变换：代数变换：这一过程无法这一过程无法反映参数
31、的几反映参数的几何意义何意义sin,coscossin0000tyytxxtxxyy6 6目标检测设计目标检测设计 习题、练习方式的检测。要明确每一个习题、练习方式的检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计目的，加强检（组）习题或练习的设计目的，加强检测的针对性、有效性。测的针对性、有效性。结束语结束语 围绕数学核心概念、思想方法进行教学；围绕数学核心概念、思想方法进行教学；在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫；功夫；使学生打下扎实双基的过程中，形成积使学生打下扎实双基的过程中，形成积极的生活态度，主动发展的需求，终身极的生活态度，主动发展的需求，终身学习的愿望、热情、能力和坚持性，健学习的愿望、热情、能力和坚持性，健康向上的人生观和价值观。康向上的人生观和价值观。敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢
