1、 三湘名校教育联盟 2019 届高三第三次大联考 理科数学 注意事项： （1）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时长 120 分钟. （2）作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. （3）考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. （4）考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上，并将考号二维码粘贴在答题卡上的指定位置. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知全集为实数集R，集合 2 |30Ax xx，|21 x Bx，则 R C
2、AB （ ） A. ,03, B. 0,1 C. 3, D. 1, 2. 已知i为虚数单位，若复数 2 2 ai zaR i 的实部与虚部相等，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 2 C. 2 3 D. -2 3. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一 斗， 店友经四处， 没了壶中酒， 借问此壶中， 当原多少酒？” 用程序框图表达如图所示， 即最终输出的0x， 则一开始输入的x值为（ ） A. 15 16 B. 3 4 C. 7 8 D. 31 32 4. 已知向量0,2OA，1,OBt，且OA OBOA，则OA与AB的夹角为（ ） A.
3、 6 B. 4 C. 3 D. 5 12 5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A. 3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 6. 已知 1 2017 2017a ， 2018 log2019b， 2019 log2018c ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. bac D. cba 7. 函数 cos x f x x 的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 直线l：1ykx与圆O： 22 4xy交于A，B两点，当AOB的面积最大时，弦AB所对的劣弧 长为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 5 6 9.
4、 已 知 函 数 sin0,0, 2 f xAxA 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 cosg xAx图象的一个对称轴方程可能为（ ） A. 0x B. 2x C. 10x D. 14x 10. 小姜同学有两个盒子A和B，最初盒子A有 6 枚硬币，盒子B是空的.在每一回合中，她可以将一枚硬 币从A盒移到B盒，或者从A盒移走K枚硬币，其中K是B盒中当前的硬币数.当A盒空时她获胜.则小姜 可以获胜的最少回合是（ ） A. 三回合 B. 四合回 C. 五回合 D. 六回合 11. 定义“穿杨二元函数”如下：( , )248 n C a naaaa 个 . 例如：3,43 6 122
5、445C .若1,2,3,4,5i ， i aZ ，满足, i C a nn，则最小的正整 数n的值为（ ） A. 2019 B. 3255 C. 9765 D. 10765 12. 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，动点M在线段 1 CC上，动点P在平面 11 11 ABC D上，且AP 平 面 1 MBD.线段AP长度的取值范围为（ ） A. 1,2 B. 1, 3 C. 3 ,2 2 D. 6 , 2 2 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作
6、答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上. 13. 设关于x，y的不等式组4 2 yx x ykx 表示的平面区域为，若1, 2A，3,0B，2, 3C中有且 仅有两个点在平面区域内，则实数k的取值范围为_. 14. 数学老师准备命制一道解三角形的练习题，完成了题目部分信息如下：在ABC中，a、b、c分别 是角A、B、C的对边，已知45A，2 2b，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使 得c只有一解，那么a的可能取值是_.（只需填写一个合适的答案） 15. 过抛物线C： 2 2xy焦点F的直线与抛物线交于M，N两点， 点P在抛物线C的准
7、线上， 若PMN 是等边三角形，则PMN的面积为_. 16. 已知集合,|140,140,As tstsN tN .若BA， 且对任意的, a bB，, x yB， 均有0axby，则集合B中元素个数的最大值为_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.本大题共 6 小题，共 70 分. （一）必考题，共 60 分.每个试题考生都必须作答. 17. 设数列 n a满足 1 123 242n n aaaan . （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 2 log nn aa的前n项和. 18. 如图 1，在矩形ABCD中，2AB ，4BC ，
8、E为AD的中点，O为BE中点，将ABE沿BE折 起到A BE，使得平面A BE 平面BCDE（如图 2）. （1）求证：A OCD； （2）求直线A C与平面A DE所成角的正弦值； （3）在线段A C上是否存在点P，使得/ /OP平面A DE？若存在，求出 A P A C 的值；若不存在，请说明 理由. 19. 为迎接 2022 年冬奥会，某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记X表示学生的考核成绩，并规定85X 为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生 中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图： （1）从参加培训的学生中随机选
9、取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足70,79X 的学生中任取 3 人，设Y表示这 3 人中成绩满足8510X 的人 数，求Y的分布列和数学期望； （3）根据以往培训数据，规定当 85 10.5 10 X P 时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训 活动是否有效，并说明理由. 20. 已知椭圆N： 22 22 10 xy ab ab 经过点0,1C，且离心率为 2 2 . （1）求椭圆N的标准方程与焦距； （2）若点A，B在椭圆N上，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB面积S的最大值. 21. 已知函数 2 lnf xaxxax . （
10、1）若 f x在其定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）证明： f x在区间0,1恰有一个零点. （二）选考题，共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，按 所做的第一题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xoy中，直线l的方程是2 2x ，曲线C的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） ，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）射线OM：（其中 5 0 12 ）与曲线C交于O、P两点，与直
11、线l交于点M，求 OP OM 的 取值范围. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知0a，0b，0c .若函数 f xxaxbc的最小值为 2. （1）求a b c 的值； （2）证明： 1119 4abbcca . 理科数学（全国卷）参考答案理科数学（全国卷）参考答案 第卷 选择题 1-5：CCABA 6-10：ADCDB 11-12：BD 第卷 非选择题 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分. 13. 1 ,0 2 14. 2a或2 2a 15. 9 3 16. 79 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 解析： （1）数列 n a满足 1 123 24
12、2n n aaaan ， 当2n时， 2 1231 2421 n n aaaan ， 当2n时， 1 21 n n a ， 即 1 1 2 n n a ， 当1n 时， 1 n a 满足上式 1 1 2 n n a ，数列 n a的通项公式 1 1 2 n n a . （2）由（1）知： 2 1 1 log1 2 nn n aan ， 1212223232 loglogloglog nn aaaaaaaa 21 111 (1 0)121 222n n 21 111 1123(1) 222n n 2 1 1 2 222 n nn . 18. 证明： （1）由已知2ABAE， 因为O为BE中点，所
13、以A OBE. 因为平面A BE 平面BCDE，且平面A BE平面BCDEBE， A O平面A BE，所以A O平面BCDE. 又因为CD平面BCDE，所以A OCD. （2）设F为线段BC上靠近B点的四等分点，G为CD中点， 由已知易得OFOG. 由（1）可知，A O平面BCDE， 所以A OOF，A OOG. 以O为原点，OF，OG，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）. 因为2A B ，4BC ， 所以 0,0, 2A，1, 1,0B，1,3,0C，1,3,0D ，1,1,0E . 设平面A DE的一个法向量为 111 ,mx y z， 因为 1,3,2A D ，0,
14、 2,0DE ， 所以 0 0 m A D m DE ，即 111 1 320 20 xyz y . 取 1 1z ，得 2,0, 1m . 而 1,3,2A C . 所以直线A C与平面A DE所成角的正弦值 2 22 sin 32 33 . （3）在线段A C上存在点P，使得/ /OP平面A DE. 所以 000 ,P x y z，且 (01) A P A C ，则A PA C，0,1. 因为 0,0, 2A，1,3,0C，所以 000 ,2,3 ,2xy z， 所以 0 x， 0 3y， 0 22z， 所以 ,3 , 22P， ,3 , 22OP. 若/ /OP平面A DE，则OPm，即
15、0OP m. 由（2）可知，平面A DE的一个法向量 2,0, 1m ， 即2220，解得 1 0,1 2 ， 所以当 1 2 A P A C 时，/ /OP平面A DE. 19.（1）设该名学生考核成绩优秀为事件A. 由茎叶图中的数据可以知道，30 名同学中，有 7 名同学考核优秀. 所以所求概率 P A约为 7 30 . （2）Y的所有可能取值为 0，1，2，3. 因为成绩70,80X 的学生共有 8 人，其中满足7510X 的学生有 5 人. 所以 3 3 3 8 1 (0) 56 C P Y C ， 21 35 3 8 15 (1) 56 C C P Y C . 12 35 3 8 3
16、0 (2) 56 C C P Y C ， 3 5 3 8 10 (3) 56 C P Y C . 随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 1 56 15 56 30 56 10 56 115301015 ( )0123 565656568 E Y . （3）根据表格中的数据，满足 85 1 10 X 的成绩有 16 个. 所以 85168 10.5 103015 X P . 所以可以认为此次冰雪培训活动有效. 20.（1）因为椭圆N： 22 22 10 xy ab ab 经过点0,1C，且离心率为 2 2 ， 所以1b， 2 2 c a ，又因为 222 acb， 可解得1c，2a ，焦
17、距为22c . 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （2）由题意知直线AB不垂直于x轴时，可设直线AB：ykxm， 由 2 2 1 2 ykxm x y 得 222 124220kxkmxm，0 ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 21 1 2 m x x k . 又因为 11 ,1CAx y， 22 ,1CBxy， 所以 1212 11CA CBx xyy 1 212 11x xkxmkxm 22 1212 1(1)(1)kx xk mxxm 2 22 22 21 4 1(1)(1)0 1 21 2 m km k
18、k mm kk ， 化简可得 1 3 m ， 所以 2 2 121212 2 494 4 3 21 k xxxxx x k ， 设 2 94kt，2t ，则 2 2 4 9 t k ， 所以 2 12 22 49412 3 2121 kt xx kt ， 令 2 12 ( )(2) 21 t f tt t ，因为 2 2 2 1224 ( )0 21 t ft t ， 所以 2 12 ( ) 21 t f t t 在2,上单调递增，所以 12max 8 (2) 3 xxf， 设直线AB： 1 3 ykx与y轴交于点E， 因为矩形CADB面积 1212 4 2 3 ABC SSCExxxx ，
19、所以矩形CADB面积S的最大值为 32 9 ，此时直线AB： 1 3 y . 21. （1） 由于 f x的定义域为0,， 且 2 21 f a x x x ， 所以如果 f x单调递减， 则当0x时， 2 210axx 恒成立，解得0a，即a的取值范围为,0. （2） （1）当0a时，由于 f x在区间0,单调递减，且 110f ， 2 1111 11110 a faa eeeee ，所以 f x区间0,1恰有一个零点； （2）当0a时，由于 2 21 f a x x x ，且方程 2 210axx 在区间0,有唯一的实根 0 x，从 而 f x在区间 0 0,x单调递减，在区间 0, x
20、单调递增，注意到 110f ，所以 f x区间0,1 的零点个数不超过 1 个. 当01a时，由于 2422 111 220 a faa eeee ，所以 f x区间0,1恰有一个零点； 当1a 时，由于 2422 111 20 aaaa a faaa eeee ，所以 f x区间0,1恰有一个零点. 综上， f x在区间0,1恰有一个零点. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 详解： （1） cos sin x y ，直线l的极坐标方程是cos2 2， 由 2cos 22sin x y 消参数得 2 2 24xy， 曲线C的极坐标方程是4sin. （2）将分别代入4sin，cos2 2，
21、得4sinOP， 2 2 cos OM ， 2 sin2 2 OP OM ， 5 0 12 ， 5 02 6 ， 22 0sin2 22 ， OP OM 的取值范围是 2 0, 2 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 （1） f xxaxbcxaxbcabcabc ， 当且仅当axb 时，等号成立. f x的最小值为a b c ，2a b c . （2）由（1）可知2a b c ，且a，b，c都是正数， 1111111 ()()() 4 abbcca abbccaabbcca 1 3 4 bcabbccaabac abbccabccaab 19 (3222) 44 ， 当且仅当1abc时取等号， 所以 1119 4abbcca 得证.
