1、高等数学高等数学下页结束返回第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 第十章 下页高等数学高等数学下页结束返回1.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法(元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法:下页高等数学高等数学下页结束返回一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd
2、),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd下页高等数学高等数学下页结束返回1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.例例1.求曲面分析分析:1:221yxzS222:yxzS1M第一步:求切平面 方程;第二步:求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D;第三步:求体积V.zO(示意图)下页高等数学高等数学下页结束返回1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.解解:曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xOy 面上的投影为1)()(2020yy
3、xxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxx sin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D),(000zyx在点Drrrdd2例例1.求曲面 rr dd10320下页1MzO高等数学高等数学下页结束返回Oxyza2例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M下页高等数学高等数学下页结束返回nMAddk二、曲面的面积二、曲面
4、的面积xyzSO设光滑曲面DyxyxfzS),(,),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd下页高等数学高等数学下页结束返回故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即下页高等数学高等数学下页结束返回xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为(,),(,)zx
5、yh z xz xD若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd下页高等数学高等数学下页结束返回例例3.计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解:曲面在 xOy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220)1)1(32232R出的面积 A.zxyO下页高等数学高等数学下页结束返回例例4.计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA 0202dsindaA24 asinada方法方法2 利用直角坐
6、标方程.(略)方法方法1 利用球坐标方程.Oaxyzddsina下页高等数学高等数学下页结束返回三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,(,)kkkxyz其质量分别(1,2,)kmkn由力学知,该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 下页高等数学高等数学下页结束返回将 分成 n 小块,),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直
7、径0,zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点下页高等数学高等数学下页结束返回同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd下页高等数学高等数学下页结束返回若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDA
8、yxyyDdd(A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩下页高等数学高等数学下页结束返回4例例5.求位于两圆sin2rsin4r和的质心.2D解解:利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212OyxC下页高等数学高等数学下页结束返回Vzyxzzddd例例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为,30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解:利用对称性可知质心在 z 轴
9、上，,0 yx采用柱坐标,则炉壁方程为229(3),rzzzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重,求它的质心.Oxzh若炉不计炉体的其坐标为下页高等数学高等数学下页结束返回hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0d ddz x y z)51233(923hhh225409043060hhhhhz)41229(923hhhVOxzh下页高等数学高等数学下页结束返回四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数.),(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxy
10、xIzddd),()(22zIdOxyz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.下页高等数学高等数学下页结束返回类似可得:zyxzyxIxddd),(zyxzyxIyddd),(zyxzyxIOddd),()(22zy)(22zx)(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量下页高等数学高等数学下页结束返回如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),(DOyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y2x)(22yx DyyxyxIdd),(下页高等数学高等数学下
11、页结束返回rraddsin0302例例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212的转动惯量.OxyDaa下页高等数学高等数学下页结束返回l)sinsincossin(222222rr解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr 132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例8.8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标)Ozxy转动惯量.下
12、页高等数学高等数学下页结束返回202020)()()(zzyyxxr,G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,，连续),(zyx物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为vrxxzyxGFxd)(),(d30vryyzyxGFyd)(),(d30vrzzzyxGFzd)(),(d30其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为(,)xyzFF F F其中rzxvdyFd0PO下页高等数学高等数学下页结束返回vrxxzyxGFxd)(),(30vryyzyxGFyd)(),(30vrzzzyxGFzd)(),(30若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质
13、量质点的引力分量,),(yxDzrzyxGFd)0(),(30因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分,密度函数改为 即可.例如,其中:202020)()()(zzyyxxr下页高等数学高等数学下页结束返回aaR1122xyzRO例例9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(),0,0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力.2ddGdaR020da0M。,0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr下页高等数学高等数学下页结束返回RxyzO例例10.求半径为R的均匀球2222Rz
14、yx对位于)(),0,0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点zDazyxyx23222)(dd0MazD下页高等数学高等数学下页结束返回RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量下页高等数学高等数学下页结束返回作业作业P155 7;10;17 P175 1;3;6;11;13;14结束高等数学高等数学下页结束返回)(
15、th(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程222()()(,)xyzh th t设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)备用题备用题yxzO下页高等数学高等数学下页结束返回)()(222)(thyxthz侧面方程:yxzO提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx)(2thrrrthd16)(2202)(th)(43thyxdd(用极坐标)(12132th下页高等数学高等数学下页结束返回)(12132thS,)(43thV 由题意知StV9.0dd1013ddth130)0(h1301013)(tth令,0)(th得(h)100t 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为 100小时.结束
