1、5-3 利用观测器构成的状态反馈系统利用观测器构成的状态反馈系统 若原系统(对象)方程为,ABC xxuyx(5-48)且(A,B,C)可控、可观。若状态x不可测量，很自然想到：是否可用 来代替 x 形成状态反馈，即x?uvx Kn 维状态观测器的方程为：()AG CB+Gxxuy(5-49)一、包括观测器的状态反馈系统的构成一、包括观测器的状态反馈系统的构成 由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方块图,如下图所示。观测器 KxuvyCxyBuAxxKuxv此时，闭环系统为=组合系统：()()ABABKBAGCGBAGCBKGBCxxuxvxxyuxyvyxx组合系统：,()ABKBC
2、AGCBKGBxxxvyxxxyv(S-1)(S-2)图5-5所示的闭环系统是一个 2n 维的系统。根据(S-1)式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为0 ABKBGCAGCBKBCxxvxxxyx(5-50)二、包括观测器的状态反馈系统的特性二、包括观测器的状态反馈系统的特性1.1.组合系统的维数组合系统的维数 将(5-50)式的动态方程进行如下的坐标变换0 IIIxxxx100IIPPIIII变换后，所得到的动态方程为000 ABKBKBA GCCxxvxxxyx(5-51)可控性分解可控性分解2.2.组合系统的可控性组合系统的可控性其中，。xxx 注意到上式是可控性分解的形式，不可控部
3、分 AGC（这说明观测器的所有模态均是不可控的模态这说明观测器的所有模态均是不可控的模态）在传递函数的计算过程中将被消去，闭环系统的传递函数由可控部分决定，所以可得1()()GCIABKBfss这说明用这说明用 代替代替 x 作反馈未影响系统的输入输出作反馈未影响系统的输入输出关系，也即：关系，也即：观测器的引入不改变原系统的转递函数阵。观测器的引入不改变原系统的转递函数阵。x2det()det()t0deIAABKBKGCIAIGBACKnnnsss上式表明：状态反馈系统的动态特性和观测器的动态状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的特性是相互独立的。这一特性的意义在于：从(5-
4、51)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下3.3.分离性原理分离性原理观测器的引入不影响由状态反馈阵观测器的引入不影响由状态反馈阵K所配置的极点所配置的极点(),1,2,ABKiinl也不影响设计好的观测器的特征值也不影响设计好的观测器的特征值(),1,2,AGCiinl分离性原理分离性原理：若系统(A,B,C)可控、可观，对于包含观测器的状态反馈系统，状态反馈律的设计和观测器的设计可独立地分开进行分离分离性原理性原理。因此，若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵K，然后按观测器的动态要求选择G，G的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。同样，可以证明，用降维观
5、测器来实现状态反馈用降维观测器来实现状态反馈时分离特性仍成立时分离特性仍成立。通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器，这一控制器的输入是对象(A,B,C)的输入信号和输出信号，控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈信号构成闭环控制，如图所示。x观测器KxuvyCxyBuAxxk控制器这种结构称为输入、输出反馈结构输入、输出反馈结构，是动态补偿器的一种形式。由对象的输入经过观测器形成一个反馈信号，另一反馈信号由对象的输出经过观测器所形成,4.4.含观测器的状态反馈系统的缺点含观测器的状态反馈系统的缺点 一般说来，包含观测器的状态反馈系统在鲁棒性上较直接状态反馈系统来得差（可参见 J.C.
6、Doyle and G.Stein,Robustness with observers,IEEE AC,1979,No.4)。通常，应使观测器的特征值的负实部是A+BK的2到3倍，即Re()(23)Re()AGCABKiill事实上，若观测器的极点的实部与系统所要配置的实部相差不大，则观测器状态 接近于对象状态x的速度就慢，用 代替x的效果自然就不好。xx5.5.设设计计举举例例要用状态反馈将系统的特征值配置到1,2,3，并且用降维观测器来实现所需要的反馈。根据分离性原理，设计可分两部分进行。10010100011,01,01100101ABC1).设计状态反馈阵设计状态反馈阵K，使极点配置在
7、使极点配置在 1,2,3显然，A是循环阵，故由推论5-2，取111Im,11bBLBL 则可验证(A,b)可控。考虑单输入系统：,AbCxxvyx利用状态变换 ，将上述方程化为可控标准形：Pxx010012310010,12141111121Pxxv 由1,2,3可得期望的闭环极点多项式为326116sss 5127012 5111KP=KK 解得01250125bKBLKKLK111因此，)xxvxv1ABKBABLKB（)（即若状态可测量（但实际上不可测量），经状态反馈后的系统为：142).2).根据分离性原理，再根据分离性原理，再单独设计单独设计降维观测器降维观测器。由例5-10，注：注
8、：以上设计步骤事实上是按照第五章静态输出反馈中所介绍的算法进行的。但由于A阵已是循环阵，故设计中的第一步被省略了。1100100011,011001001TT10010100011,02,01000101ABC15111221221212100001011101000102010AAAABBCC 2121212,:,TTggyy yuu uG G22212221212112221221 122121 21222(1()()()(1)2)(2)()AG ABG BAG AAG AGzg zg ugzuugg g ygyy利用(5-45)可得一阶状态观测器为：令16利用(5-46)可得121201
9、0111zgg ygg 11121222()C CCIC GIGqn qxwzy100011CC1C2221 12211 2122(1)(12)(2)zg zg ug ugg g yg y1212010111xwzgg ygg 120,5gg取，有224925zzuy 010105105xwzy 3).包含状态反馈和降维观测器的闭环系统方程为包含状态反馈和降维观测器的闭环系统方程为：1001010001104,01100105xxuyx22492549 0125 01zzuyzuy 0100101051 05105105zxwzyy 01250125Kuxvxv K K100405100011
10、001100011 xxyu25 019 014z z01110050501250125 xwvKC 该系统的传递矩阵描述如下：对以上各方程进行拉氏变换，有10()()()()()y ss u ssu sGC IAB1()()()Ku su sv sxv记其中1010012 5()1()05()012 5105K xu sz sy s1()9 01()25 01()4z su sy ss将代入上式，有101530731331()()()01530731334su su sy sss22492549 0125 01zzuyzuy 0()Gs*2()Gs*1()Gsvyu1u10210()()21
11、0(1)GCIAB=sssss其中，*12015307313311(),()015307313344GGssssss220()Gs*2()Gs*1()Gsvyu1u0()Gs*2()Gs*1()Gsvyu1uv进而，对以上结构图作等效变换，有：0()Gs*2()Gs1()Gsvy2u1uu这 里，这说明：从输入输出的关系看，观测器加状态反馈的效果相当于加入了一个串联校正和反馈校正。*111()()GIGssK()ABCKABKBxxuyxuxvxxv控制律系统方程闭环系统方程一、状态反馈一、状态反馈K:p n5-35-3 状态反馈状态反馈、静态输出反馈静态输出反馈、动态输出反馈动态输出反馈BC
12、AxKBCAx()xxuyxuyvxxvA AB BC CK KA AC CB B+B BK K控制律系统方程闭环系统方程二、静态输出反馈二、静态输出反馈K:pq若C是可逆方阵，就成为状态反馈的情况。xA xB uyC x系统方程三、动态输出反馈三、动态输出反馈m阶动态输出反馈w:p控制律uwv1xC1B1A1D1wuBCAxvA1 m m补偿器1111111xA xB ywC xD y闭环系统方程 动态输出反馈的设计问题可以化为一个静态输出反馈问题来讨论。为此，构造下列n+m维系统：111111100ABD CBCBB CACxxvxxxyxnm(S-1)000000mmmxxuyxABII
13、CI(S-2)系统方程系统方程控制律控制律11122122111221220(3)0muvyvyvx HCSIh hh hh hh hh hh hh hh h122121112111,ABCDh hh hh hh h试比较(S-1)和(S-4)式,可知(S-1)系统动态输出反馈设计问题相当于(S-2)的静态输出反馈设计问题，只要令1112212211122122111212122000000000000000000mmmmmmxxvxvvx ABCBIIIBCBBACIABCBBCI B BK K C CB Bh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh h1(4)v
14、S 1111110A BDC BCBBCAxxvxx 静态输出反馈在 C=I 时就是状态反馈。动态输出反馈的设计问题可以化为一个扩维的静态输出反馈问题。因此静态输出反馈问题的研究在理论上有重要的意义。在一些书上，输出反馈是指下列形式的结构:BCAxK()KAK CBvyxxu但这种方法在理论上并无新意，它只是状态反馈的对偶情形，在设计观测器时我们曾遇到过这种形式。动态补偿器（控制器）的设计问题简介1.1.动态补偿器的结构：动态补偿器的结构：主要分输入、输出反馈结构(图5-6所示)，单回路结构(串联、并联)以及前馈形式，当然可以几种手段并用于一个系统中。2.目的：改善系统稳定性及品质目的：改善系
15、统稳定性及品质 例如极点配置，特征结构配置，解耦、干扰抑制、跟踪，模型匹配(model matching)，最优设计,鲁棒性等。80年代以后补偿器设计主要是鲁棒稳定的补偿器设计，同时要满足一定的性能指标。3.设计方法设计方法频率域方法频率域方法(现代频率域方法)：INA方法,有理函数矩阵的特征值分解、极分解、奇异值分解等；复数域方法：复数域方法：多项式矩阵方程、插值方法（复变函数逼近论的方法）等等；状态空间方法状态空间方法:如H2/H 鲁棒最优控制。4.特色 多变量系统的多目标、多用途的控制器,往往采用某种优化算法，与多目标优化联系起来。阶次问题：阶次问题：补偿器设计中的低价或最小阶次设计一直是一个活跃的领域，难度较大。一般做不下去就转向找一个充分性的阶次(指比最小阶高但能保证完成规定设计任务)。稳定且具有最小相位的补偿器设计也是另一难点。
