1、高等数学高等数学下页结束返回高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 下页高等数学高等数学下页结束返回一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例例1.质量为 m 的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxO解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(
2、t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有(虎克定律)xcf成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.下页高等数学高等数学下页结束返回据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mHh 则得强迫振动方程t phxktxntxsindd2dd222下页高等数学高等数学下页结束返回求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE例例2.联组成的电路,其中R,L,C 为常数,sintEEm所满足的微分方程.cu解解:设电路中电流为 i
3、(t),的电量为 q(t),自感电动势为,LE由电学知,ddtqi,CquCtiLELdd根据回路电压定律:设有一个电阻 R,自感L,电容 C 和电源 E 串极板上 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0q LERQCqi下页高等数学高等数学下页结束返回,ddtqi,CquC,ddtiLEL0ddiRCqtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得0dd2dd2022CCCututuq LERQCqi下页高等数学
4、高等数学下页结束返回n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性(二阶线性微分方程)例例1例例2()()()yP x yQ x yf x 可归结为同一形式)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程.0)(xf时,称为齐次方程;复习复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解()de()P xxQ x()dedP xxxxxPCyd)(e非齐次方程特解Y*齐次方程通解Y0)(xf下页高等数学高等数学下页结束返回 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)(
5、)(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC(叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.下页高等数学高等数学下页结束返回二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.(叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.下页1 12 2()(),yC y xC yx在中思考思考:20;C
6、若121,1,CC若=那么如何表述这些解?解答解答:对于二阶线性齐次方程:解乘于任意常数仍是原方程的解 两解之差仍是原方程的解高等数学高等数学下页结束返回)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.(叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.下页不一定是该方程的通解.例如,)(1xy是二阶线性齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是该方程的解.)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解.但1 12 2()()yC y xC yx则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.说明说明:1()C y
7、x高等数学高等数学下页结束返回定义定义.)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,12,nkkk使得Ixxykxykxyknn,0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如,sin,cos,122xx在(,)内线性相关.221231cossin0kkxkx 故它们在(,)内线性相关.1231,1,1kkk 若存在不全为不全为 0 的常数下页0sincos122xx因为对于只要取就有123(,0)kkk 不全为高等数学高等数学下页结束返回又如,12xx在任何区间(a,b)内都线性无关.21230kk xk x因为
8、二次多项式至多只有两个零点,321,kkk必全为 0,可见21,x x故在任何区间(a,b)都线性无关.下页对于或者,对21230kk xk x两边求导,得2320kk x两边再求导,得320k 3210kkk故它们在任何区间(a,b)内都线性无关.高等数学高等数学下页结束返回两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21,kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0,12(),()y xyx则必线性相关相
9、关下页10k 不妨设高等数学高等数学下页结束返回定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如例如,方程0 yy有特解,cos1xy,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证)推论推论.nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1)1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关特解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC则下页(P327)高等数学高等数学下页结束返回三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构)
10、(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解.证证:将)(*)(xyxYy代入方程左端,得)*(yY)*()(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy)()(YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ下页高等数学高等数学下页结束返回)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程xyy 有特解xy*xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解.下页思考思考:12(),()
11、y xyx若12()()y xyx那么是非齐次方程的两个无关特解,是不是特解?是谁的特解?高等数学高等数学下页结束返回定理定理 4.12(),()yxyx设分别是方程的特解,是方程1()()(yP x yQfxxy12yyy则12()()()fyP xxx yfyQx的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)说明:定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.下页2()()(yP x yQfxxy高等数学高等数学下页结束返回定理定理 5.(补充)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解,给定 n 阶非齐次线性方
12、程)()()()1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(*xy是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解下页高等数学高等数学下页结束返回常数,则该方程的通解是().321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解,21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)1132233()()()CC yyCyyy33223
13、11)()()(yyyCyyCD下页高等数学高等数学下页结束返回例例4.已知微分方程()()()yP x yQ x yf x个解2123,e,e,xxyxyy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xxyyyyxx21312ee常数因而线性无关,故原方程通解为)(e)(e221xCxCyxxx代入初始条件(0)1,(0)3,yy,2,121CC得22eexxy 故所求特解为有三 下页作业作业高等数学高等数学下页结束返回*四、常数变易法四、常数变易法复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCy xxpxyd)(1
14、e)(设非齐次方程的解为)(1xyy 代入原方程确定().u x对二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy 情形情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv)(),(21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:)(xu下页高等数学高等数学下页结束返回2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程 :2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故,的系数行列式02121y
15、yyyW21,yy是对应齐次方程的解,21线性无关因yy下页高等数学高等数学下页结束返回122111,vy fvy fWW 积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入 即得非齐次方程的通解)()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 说明说明:将的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件,方程的引入是为了简化计算.方程,下页高等数学高等数学下页结束返回情形情形2.).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解,)()(1xyxuy 令代入 化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111设
16、其通解为)()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程的通解)()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy0)()()(xfyxQyxPy 下页高等数学高等数学下页结束返回例例5.0)1(yyxyx的通解为,e21xCxCY 的通解.解解:将所给方程化为1111 xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx12()e(),xyxv xvx令利用,建立方程组 0e21vvxx1e21xvvx,e,121xxvv解得1122,(1)exvCxvCx故所求通解为)1(e221xxCxCyx)1(e221xCxCx02211vyvy)(2211xfvyvy积分得 下页高等数学高等数学下页结束返回解上述可降阶微分方程,可得通解例例6.42)()2(xyyxxyx 求方程的通解.解解:对应齐次方程为0)()2(2 yyxxyx由观察可知它有特解1,yx令),(yxu x代入非齐次方程后化简得xuu)(e22121xxCCux故原方程通解为)(e232121xxxCxCuxyx下页高等数学高等数学下页结束返回结束作业作业(习题7-6,P331)3;4(1),(5)
