1、引例引例2.2014年沈阳市国民经济生产总值为年沈阳市国民经济生产总值为a亿元亿元,如果如果平均每年增长率平均每年增长率为为8.2%,问经过问经过多少多少年后国民生产总值是年后国民生产总值是2009年的年的2倍？倍？解：解：a(1+8.2%)x=2ax=?1.082x=22?xxx已知已知 求求x 2=128 1.082 上述问题，实质就是已知上述问题，实质就是已知 和和 的值，的值，求求 .底数底数幂幂指数指数 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年年1617年）。他发明了供天年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于文计算作参考的对数，并
2、于1614年在爱丁堡年在爱丁堡出版了出版了奇妙的对数定律说明书奇妙的对数定律说明书，公布了，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的世纪数学的三大成就。三大成就。对数的文化意义恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。对数的定义对数的定义：一般地，如果：一般地，如果a(aa(a0,a1)0,a1)的的b次幂等于次幂等于N,就是就是a
3、 ab b=N=N 那么数那么数 b叫做叫做 a为底为底 N的对数，的对数，记作记作 ，a a叫叫做对数的底数，做对数的底数，N N叫做真数。叫做真数。.logbNaaNblogaN.注意底数的限制，注意底数的限制，a0且且 a 1;.注意对数的书写格式注意对数的书写格式说说明明 logaN bNabbNalog底数底数幂幂真数真数指数指数对数对数?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化:将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式：将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式：431(1)216;(2)3;271(3)52
4、0;(4)()0.45;2ab51310(1)log 1253;(2)log32;(3)log1.069.a 求下列各式的值：求下列各式的值：29(1)log 64;(2)log 27;.为什么对数的定义中要求底数为什么对数的定义中要求底数a0且且 a 1 ；.是否是所有的实数都有对数呢？是否是所有的实数都有对数呢？思考：思考：求下列各式的值：求下列各式的值：探索与发现：探索与发现：(1)log31=0(2)lg1=00(3)log0.51=0(4)ln1=你发现了什你发现了什么么?“1”的对数等于的对数等于零零,即即loga1=0求下列各式的值：求下列各式的值：探索与发现：探索与发现：(1)
5、log33=1(2)lg10=11(3)log0.50.5=1(4)lne=你发现了什你发现了什么么?底数的对数等于底数的对数等于“1”,即即logaa=1NaNalogxaNa log证证明明：设设NxNxaa,loglogNaNalog对数恒等式对数恒等式：对数的基本性质对数的基本性质1.1.负数和零没有对数；负数和零没有对数；2 2.“1 1”的对数等于的对数等于零零,即即logloga a1=1=0 03.3.底数的对数等于底数的对数等于“1 1”,即即logloga aa a=1=14 4.logaNaN对数恒等式：对数恒等式：巩固练习巩固练习221012(,)logba bbabB
6、baa 2 2abab、指指数数式式且且相相应应的的对对数数式式是是（）A log A log C log b=2 D log C log b=2 D logD 2、对数式对数式2(21)log1xx中中x的取值范围是的取值范围是_121|xx.常用对数（常用对数（common logarithm）：以）：以10为底的对数为底的对数log10N,.自然对数（自然对数（natural logarithm）：以无理）：以无理数数e=2.71828 为底的对数的对数为底的对数的对数logeN;两个重要对数：两个重要对数：简记为简记为:lgN .简记简记为为:lnN.(在科学技术中在科学技术中,常常使
7、用以常常使用以e为底的为底的对数对数)对数的运算性质对数的运算性质两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差log()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglog()naaMnM nR语言表达语言表达:一个正数的一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数次方的对数等于这个正数的对数n倍倍如果如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：有：证明：设证明：设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,paM qaN MN=qpaa q
8、paqpMNloga即证得即证得)1(NlogMlog(MN)logaaa正因数的积的对数等于同一底数各个因数的正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和对数的和 证明：设证明：设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,paM qaN qpaaqpaqpNMloga即证得即证得 NM)(2NlogMlogNMlogaaa两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数数的对数 证明：设证明：设,logpMa由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,paM npnaM npMlogna即证得即证得)(3R)M(nnlogM
9、logana正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数指数 1 1、如何使用科学计算器计算、如何使用科学计算器计算loglog2 215152 2、计算、计算lg15lg15 lg2=lg2=ln15 ln15 ln2=ln2=3 3、上述、上述1 1、2 2的值相等吗的值相等吗?3.90689063.9068906设设log215=x,则则2x=15,两边取常用两边取常用对数或两边取自然对数知对数或两边取自然对数知相等相等。问题提出问题提出4.4.已知已知lg2=0.3010,2=0.3010,lg3=0.4771,3=0.4771,求求log2 23
10、3解解:设log23=x,则2x=3,两边取常用对数得:xlg2=lg3x=lg3/lg2=0.47710.3010=1.5850即：log23=1.5850为所求.由上述计算你可得出由上述计算你可得出什么结论什么结论？问题提出问题提出对数的换底公式对数的换底公式alogblogblogcca)0b),1()1,0(c,a(证明：设 由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,abx即证得即证得,xbloga,alogblogxcc,alogxblogccalogblogxccalogblogblogcca这个公式叫做换底公式这个公式叫做换底公式其他重要公式其他重要公式1:blogmnbloga
11、nam证明：设证明：设,logpNnam由对数的定义可以得：由对数的定义可以得：,)(pmnaN 即证得即证得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN blogbloganan其他重要公式其他重要公式2:alog1blogba),1()1,0(,ba证明:由换底公式 取以b为底的对数得：还可以变形,得,1logbbalogblogblogccaabbbbalogloglogabbalog1logzlogzlogylogxyxzlogylogzlogylogzlogylogxxxxyx解方程解方程：（1）2 2x 1=8 x解：原方程化为解：原方程化为 2 2x 1
12、=2 3x2x 1=3xx =1 方程的解为方程的解为 x =1（2）lg x lg(x 3)=1解：原方程化为解：原方程化为 lg x=lg 10+lg(x 3)lg x=lg 10(x 3)x=10(x 3)310 x310 x经检验，方程的解为经检验，方程的解为 （2）log(2x 1)(5x 2+3x 17)=2解：原方程化为解：原方程化为 5x 2+3x 17=(2x 1)2 x 2+7x 18=0 x=9 或或 x=2当当 x=9 时，时，2x 1 0与对数定义矛盾，故舍去与对数定义矛盾，故舍去经检验，方程的解为经检验，方程的解为 x=2解法解法类型类型等价式等价式a、b 0 且且 a、b 1，a b，c 为常量为常量a f(x)=a g(x)f(x)=g(x)log a f(x)=log a g(x)a f(x)=b g(x)f(x)lg a=g(x)lg blog f(x)g(x)=cg(x)=f(x)cpa 2x+qa x+r=0plg 2x+qlgx+r=0pt 2+qt+r=0化同底法化同底法指对互表指对互表 法法换元法换元法
