1、建筑力学第八章 弯曲变形 重庆大学出版社 建筑力学轴线轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）(2)载荷作用在对称平面内所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。重庆大学出版社 建筑力学墙梁楼板ql2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。重庆大学出版社 建筑力学3、静定梁的种类：（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁中间铰中间铰 重庆大学出版社 建筑力学8.28.2梁的内力计算梁的内力计算x解：解：(1)(1)、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力,LFbFAyLFaFBy(2)(2)、截取、截取m-mm-m截面左段。截面左段。AxAyFmmQF
2、MQF剪力剪力 使截面不产生移动使截面不产生移动,0yF由弯矩弯矩M 使截面不产生转动使截面不产生转动得到：得到：LFbFFAyQoALBFabmmAyFByF1、梁的内力剪力与弯矩,0oM由得到：得到：xLFbxFMAy 重庆大学出版社 建筑力学2、剪力、弯矩的正、负号规定：Q（）（）QMM（）重庆大学出版社 建筑力学解：1、根据平衡条件求支座反力qaFBy30AMqaFAy0BMqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF3、求指定截面上的剪力和弯矩 重庆大学出版社 建筑力学2、求C截面（跨中截面）上的内力qA212qaM aCAyFQcF,0yF由得到：得到：02QcAyFa
3、qFcMaqFFAyQc2qaQF（剪力（剪力 的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相反，为负剪力）向相反，为负剪力）,0CM由得到：得到：0221MaqaaFMAyC122MaqaaFMAyC22qa（弯矩（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）重庆大学出版社 建筑力学222qaM 如以右侧梁作为研究对象，则：cMByQcFaqF2qa222MaqaaFMByC22qaqBaCQcFByF 重庆大学出版社 建筑力学qAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByFaqFFAyQc2qa取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右
4、段梁为研究对象:ByQcFaqF2qa)(一侧yQFF截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。向截面形心简化所得到的主矢。重庆大学出版社 建筑力学)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。力偶）向截面形心简化所得到的主矩。122MaqaaFMAyC22qa222MaqaaFMByC22qaqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:重庆大学出版社 建筑力学)(一侧yQFF截面
5、左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。向截面形心简化所得到的主矢。)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。到的主矩。重庆大学出版社 建筑力学4 计算剪力和弯矩的基本规律 （1）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。（2）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所
6、有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。重庆大学出版社 建筑力学计算实例 重庆大学出版社 建筑力学8.38.3内力方程和内力内力方程和内力图图1 剪力方程与弯矩方程在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即)(),(xMMxFFQQ称为剪力方程和弯矩方程称为剪力
7、方程和弯矩方程qxqlxFQ2)(22)(2qxqlxxM 重庆大学出版社 建筑力学2 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。重庆大学出版社 建筑力学1、列出梁的剪力方程和弯矩方程qxqlxFQ2)(22)(2qxqlxxM 当 时，0 x202qlqqlFQA 当 时，lx 22qllqqlFQB 2、剪力图3、弯矩图 当 时，0 x 当 时，lx 020202qqlMA0222lqlqlMB0dxdM2lx 82)2(2222qllqlqlM顶对于抛物线顶点，令 重庆大学出版社 建筑力学 重庆大学出版社 建筑力学8.48.4微分关系法作内力图微分关系
8、法作内力图1 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系)()(xqdxxdFQ)()(xFdxxdMQ22)(dxxMd 重庆大学出版社 建筑力学2 剪力图、弯矩图的规律1）当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当FQ0时，弯矩图为上升斜直线；FQ0时，弯矩图为下降斜直线。2）当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。若q0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线（凹孤）；若q0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线（凸孤）。重庆大学出版社 建筑力学3）在集中力作用
9、处（包括支承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上突变（沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。4）在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿x正向），反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。AB2m2m2mCDP=20KNq=4KN/m 重庆大学出版社 建筑力学3 利用荷载和内力关系作内力图 重庆大学出版社 建筑力学 重庆大学出版社 建筑力学8.5叠加法作内力图叠加法作内力图1 叠加原理的基本思想 叠加原理成立的应用条件为：是 的一次函数关系。在梁的内力问题
10、上，无论是剪力还是弯矩、都是外力的一次函数关系。梁受均布荷载时，弯矩图是抛物线，但这只是表明了弯矩是截面位置的二次函数关系，而弯矩与外力的关系仍然是一次函数关系。yx 应用叠加法作梁的内力图时，还应特别注意考虑一个实际因素，那就是：基本内力图应该是已知的。重庆大学出版社 建筑力学 2 叠加法作内力图 重庆大学出版社 建筑力学8.68.6常用截面的惯性矩常用截面的惯性矩 为什么要研究平面图形的惯性矩 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。重庆大学出版社 建筑力学1 截面图形的惯性矩AyAzId2AzAyI
11、d2AIizzAIiyy 重庆大学出版社 建筑力学2 简单截面的惯性矩矩形截面惯性矩hozybydydAyIAz2同理：同理：12332232222hbzhdzhzdAzIbbAybbdybyhh2222233hhyb123bh 重庆大学出版社 建筑力学圆圆截面截面惯性矩惯性矩d2dA64d2214202dd202Pd212dzyAIIId 重庆大学出版社 建筑力学3 组合截面的惯性矩 移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩，求图形对另一对坐标的惯性矩。CzcycyzObadAczcyayycbzzc是截面图形的形心轴,czcy 重庆大学出版社 建
12、筑力学AzdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2zIAaaSzc22cy轴过截面图形的形心，所以0zcSAaIIzcz2同理AbIIycy2 重庆大学出版社 建筑力学求组合截面图形的惯性矩图示 T 形截面由上翼板1与腹板组2合而成。mmyc1391703030200851703018530200形心坐标：重庆大学出版社 建筑力学1z上翼板1对其本部分形心轴 轴的惯性矩：4531105.430200121)(1mmIz腹板2对其本部分形心轴 轴的惯性矩：2z4632103.1217030121)(2mmIz上翼板1对整体形心轴 轴的惯性矩：z12111)()(1AaIIzz
13、46251015.133020046105.4mm腹板2对整体形心轴 轴的惯性矩：z22222)()(2AaIIzz66261017.271703054103.12mm 重庆大学出版社 建筑力学T形截面对整体形心轴 轴的惯性矩：21)()(zzzIII)(1032.401017.271015.134666mm 重庆大学出版社 建筑力学8.78.7梁的正应力计算梁的正应力计算1 纯弯曲与横力弯曲纯弯曲：横截面上弯矩为常量，而剪力为零。横力弯曲：横截面上既有弯矩，又有剪力。重庆大学出版社 建筑力学 梁弯曲变形后，其横截面仍保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线垂直，只是转了一个角度。平面假设 单向受拉
14、、压假设 设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。2 平面假设与单向受拉、压假设FF 重庆大学出版社 建筑力学FF中性层中性轴m1onn2om 中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。3 中性层、中性轴中性层、中性轴 由连续性假设，存在着一层既不伸长，也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。重庆大学出版社 建筑力学dxmmnnMM中性轴dAzyozy4 纯弯曲时梁的正应力mmnnFFddxyo 重庆大学出版社 建筑力学zzIyMMZ:横截面上的弯矩y:y:到中性轴的距离到中性轴的距离I IZ Z:截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩dxmmnn
15、ozyMM中性轴yzdAM中性轴M 重庆大学出版社 建筑力学计算梁中间C截面上 、点的正应力。1C2C3C梁中间 截面上的弯矩为：82qlMC横截面的惯性矩：123bhIz22321143125.08bhqlbhhqlIyMZCCc02c223383bhqlIyMZCCc各点的正应力：重庆大学出版社 建筑力学5 梁内的最大正应力zIyMmaxmaxmaxmaxyIWZZ令：zWMmaxmax抗弯截面模量 重庆大学出版社 建筑力学 反映截面形状和尺寸对弯曲正应力强度的影响。ZW对矩形截面621223maxbhhbhyIWZZ对圆形截面3226434maxdddyIWZZ对各类型钢截面，可通过查型
16、钢表得到。ZW 重庆大学出版社 建筑力学8.88.8梁的切应力梁的切应力假设：假设：1）横截面上的方向与FQ平行 2）沿截面宽度是均匀分布的1 切应力的计算公式切应力的计算公式切应力的计算公式bISFzzQ*F FQ Q横截面上的剪力；横截面上的剪力；I IZ Z截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；bb截面的宽度；截面的宽度；S SZ Z宽度线一侧的面积对中性轴的静矩宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.重庆大学出版社 建筑力学maxbzyAy0y)(223423yhbhFQymaxAFbhFQQ23232/h2/h对于矩形截面的对于矩形截面的 *zS12),41(8)2(21)2(3222
17、*bhIhybhyhyyhbSzz2 矩形截面梁的切应力最大切应力在中性轴上 重庆大学出版社 建筑力学例：矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求max ,max。F2l2lhb4maxFLM62bhWZZWMmaxmax2614bhFL223bhFL2maxFFQAFQ23maxbhF223bhF43maxmaxbhFbhFL43232hL2 重庆大学出版社 建筑力学zydAFQ34max42dADdAFQ2maxA为圆环形截面面积3 圆形和圆环形截面梁的最大切应力 重庆大学出版社 建筑力学)4(2)44(2)22)(2()2222)(22(22121211111*yhdhhbyhyyhd
18、hhhhhbSzdIFdISFZQZzQ*22121242442yhdhhb88821212maxdhbhbhdIFZQ88212minbhbhdIFZQ4 工字形截面梁的切应力maxminzdbt1hhyOy对于图中阴影部分面积对中性轴的静矩dhFQ1max近似计算公式:重庆大学出版社 建筑力学8.98.9梁的变形梁的变形挠曲挠曲线线1 弯曲弯曲变形的基本概念变形的基本概念挠曲线挠曲线 重庆大学出版社 建筑力学挠度挠度和转角和转角规定：规定：向下的向下的挠度为正挠度为正 顺时针的角顺时针的角为正为正挠曲线方程：挠曲线方程：)(xfy转角方程：转角方程：xyxfdd)(tan 重庆大学出版社
19、建筑力学2 梁梁的挠曲线近似微分方程式的挠曲线近似微分方程式Kyy()/123 2yf x()曲线曲线 的曲率为的曲率为 重庆大学出版社 建筑力学1MEIz12/32)1(yy y ZEIMy 重庆大学出版社 建筑力学0 y0MZEIMy 重庆大学出版社 建筑力学4 利用积分法求梁变形（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段的原则:凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；重庆大学出版社 建筑力学(2)分段列出梁的挠曲线近
20、似微分方程，并对其积分 两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线方程：)(1)(cdxxMEIdxdyxDcxdxxMEIxy)(1)(重庆大学出版社 建筑力学(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数 积分常数的数目取决于的分段数 M(x)n 段 积分常数2n个举例：)(xM分2段，则积分常数2x2=4个 重庆大学出版社 建筑力学积分常数的确定边界条件和连续条件：边界条件边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件
21、称为连续条件。边界条件积分常数2n个=2n个 连续条件 重庆大学出版社 建筑力学00AAy右左右左BBBByy边界条件：连续条件：例：图示结构的边界条件和连续条件。重庆大学出版社 建筑力学 重庆大学出版社 建筑力学 重庆大学出版社 建筑力学 重庆大学出版社 建筑力学1 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。)()()(),(221121nBnBBnBFFFFFF )()()(),(221121nBnBBnBFyFyFyFFFy 叠加原
22、理叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。叠加法叠加法的特征：的特征：三、用叠加法求梁的变形三、用叠加法求梁的变形1 叠加法的基本原理 重庆大学出版社 建筑力学2 2实例实例：叠加法叠加法求求A A截面的转角和截面的转角和C C截面的截面的挠度挠度.aaF=+1)载荷分解如图2)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。EIFaEIFLyFC64833EIFaEIFLFA41622EIqaEIqLyqC245384544EIqaEIqLqA32433aaqFA AC CAaaq 重庆大学出版社 建筑力学EIFaEIqayyyqAFAC624534qAFAA)43(122qaFEIa3)叠加
