1、第二章第二章油气渗流的数学模型油气渗流的数学模型油气层渗流力学 2.1 概述2.2 渗流基本微分方程的建立2.3 定解条件主要内容主要内容2.1 2.1 概概 述述 油气渗流数学模型油气渗流数学模型：用数学语言综合表达油气渗流过用数学语言综合表达油气渗流过程中全部力学现象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方程中全部力学现象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方程式（或方程组）。程式（或方程组）。渗流综合微分方程（渗流基本微分方程）渗流综合微分方程（渗流基本微分方程）定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件完整的数学模型完整的数学模型一、建立数学模型的基础一、建立数学模型的基础1 1、
2、地质基础、地质基础 油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、参数分布油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、参数分布2 2、实验基础、实验基础 科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础，是建科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础，是建立数学模型的关键立数学模型的关键3 3、科学的数学方法、科学的数学方法 无穷小单元体分析法，通常根据单元体中空间上和时间上无穷小单元体分析法，通常根据单元体中空间上和时间上的物质守恒定律或微小单元体上的特征来建立微分方程的物质守恒定律或微小单元体上的特征来建立微分方程二、油气渗流数学模型的一般结构二、油气渗流数学模型的一般结构 油气渗流油气渗流基本微分方
3、程体现了在渗流过程中需要研究的基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象流体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几的内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方面的因素：方面的因素：渗流过程是流体运动的过程，必然受渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程运动方程支配；支配；渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以需要建立流体和岩石的以需要建立流体和岩石的状态方程状态方程；质量守恒定律是自然界的一般规律，因此基本渗流
4、微质量守恒定律是自然界的一般规律，因此基本渗流微分方程的建立必须以表示物质守恒的分方程的建立必须以表示物质守恒的连续性方程连续性方程为基础；为基础；在渗流过程中，有时伴随发生一些物理化学现象，如能在渗流过程中，有时伴随发生一些物理化学现象，如能量传递、弥散、双重孔隙介质中的窜流等，此时还应建立量传递、弥散、双重孔隙介质中的窜流等，此时还应建立描述描述这种特殊现象的特征方程这种特殊现象的特征方程。二、油气渗流数学模型的一般结构二、油气渗流数学模型的一般结构基本渗流基本渗流微分方程微分方程运动方程运动方程流体和岩石的状态方程流体和岩石的状态方程连续性方程连续性方程特征方程特征方程边界条件和初始条件
5、边界条件和初始条件三、建立数学模型的步骤三、建立数学模型的步骤 渗流力学研究主要解决渗流力学研究主要解决两类基本问题两类基本问题：单相渗流问题中，弄清流域内单相渗流问题中，弄清流域内压力和流速压力和流速的分布及变化；的分布及变化；在多相渗流过程中和非等温渗流过程中，弄清流域内饱和在多相渗流过程中和非等温渗流过程中，弄清流域内饱和度和温度的分布及变化。度和温度的分布及变化。因变量：因变量：自变量：自变量：、P、v、sT),(tzyx1、确定建立模型的目的和要求、确定建立模型的目的和要求三、建立数学模型的步骤三、建立数学模型的步骤2、研究各物理量的条件和情况、研究各物理量的条件和情况过程状况：过程
6、状况：是等温过程还是非等温过程是等温过程还是非等温过程系统状况：系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系统是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系统相态状况：相态状况：是单相还是多相甚至是混相是单相还是多相甚至是混相流态状况：流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律，是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流三、建立数学模型的步骤三、建立数学模型的步骤3、确定未知量和其它物理量之间的关系、确定未知量和其它物理量之间的关系运动方程：速度和压力梯度的关系运动方程：速度和压力梯度的关系),(dxdpBAfvi 状态方
7、程：物理参数和压力关系状态方程：物理参数和压力关系连续性方程：渗流速度连续性方程：渗流速度V和坐标及时间和坐标及时间 或饱和度与坐标和时间的关系或饱和度与坐标和时间的关系)(),(pfBpfAiiii ),(),(BAtzyxfsBAtzyxfv 三、建立数学模型的步骤三、建立数学模型的步骤4、写出数学模型所需的综合微分方程、写出数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程都带入连续用连续性方程作为综合方程，把其他方程都带入连续性方程中，最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微性方程中，最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程组。分方程或微分方程组。5、根据
8、量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致、根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致6、确定数学模型的适定性：解的存在、唯一性、稳定性、确定数学模型的适定性：解的存在、唯一性、稳定性7、给出问题的边界条件和初始条件、给出问题的边界条件和初始条件2.2 渗流基本微分方程的建立假设条件单相微可压缩液体；液体渗流符合线性渗流规律；地层岩石均质微可压缩；地层中为等温渗流过程。2.2 渗流基本微分方程的建立一、运动方程gradPKvxPKvxyPKvyzPKvz或写为：vzyxxvyvzvoM2.2 渗流基本微分方程的建立二、状态方程 状态方程：描述液体、气体、岩石的状态参数随压力变化规律的数
9、学方程。1.液体的状态方程)(PVVCLLL1dPdVVCLLL1LVM0dVdVdMLLdVdVLL取全微分整理流体质量dPdCL1PPLddPC001)(00PPCLe)(1 00PPCL分离变量积分32!31!211xxxex按麦克劳林级数展开，取前两项变化较小，看成常数)/1(104MPa2.2 渗流基本微分方程的建立 2.岩石的状态方程)(PVVCfff1dPdVVCpff1dPdCf),(),(00PP)(00PPCf开采前开采后PfPPPpV为孔隙体积VVp积分pfVV2.2 渗流基本微分方程的建立三、连续性方程（质量守恒方程）在渗流力学中，质量守恒定律可描述为：在渗流力学中，质
10、量守恒定律可描述为：在地层中任取一在地层中任取一微小单元体，在微元体内若没有源和汇存在，那么包含在微元微小单元体，在微元体内若没有源和汇存在，那么包含在微元体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差，质量与流出质量之差，用质量守恒定律建立起来的方程称为质用质量守恒定律建立起来的方程称为质量守恒方程（或连续性方程）量守恒方程（或连续性方程）。微分法：无穷小微元体分析法。微分法：无穷小微元体分析法。积分法：矢量场方法。积分法：矢量场方法。微分法在地层中取一微小的平行六面体单元如图：在地层中取一微小的平行六面体单元如
11、图：MM MdxdydzxzyoM点质量流速：点质量流速：v分速度分别为：分速度分别为：xvyvzv2)(dxxvvxx2)(dxxvvxx 方向时间内，从左侧面流入微元体的质量流量为：dydzdtdxxvvxx2)(时间内，从右侧面流出微元体的质量流量为：dydzdtdxxvvxx2)(则微元体在 时间内，沿 方向流入流出的质量流量差为：dxdydzdtxvx)(同理：方向方向dxdydzdtyvy)(dxdydzdtzvz)(x同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差dtdtdtxyz时间内，纯流入微元体的流体质量为：dxdydzdtzvyvxvzyx)()()(时间内，微元体中流体质量增
12、加量为：dxdydzdtt)(由质量守恒得：dxdydzdttdxdydzdtzvyvxvzyx)()()()(dtdtdxdydz微元体内流体质量 微元体封闭表面内的液体质量变化 由质量守恒定律建立连续性方程tzvyvxvzyx)()()()(tvdiv)()()(vdiv 的物理含义：质量流速为 的 点，单位体积在单位时间内向包围曲面外流出的流体质量，反映该点源的强度。0)(vdiv0)(vdiv无源场有源场（正、负）为微可压缩液体在微可压缩地层中满足达西线性渗流定律的连续性方程。不可压缩液体在刚性介质中渗流的连续性方程为：0)(vdiv简化:或：vMtzvyvxvzyx)()()()(t
13、vdiv)()(gradPKvxPKvxyPKvyzPKvz )(00PPCLe)(1 00PPCL )(00PPCf单相渗流的基本微分方程：单相渗流的基本微分方程：考考 虑虑岩岩 石石和和 流流体体 的的压压 缩缩性性0)()()(zvyvxvzyx 0)(vdiv gradPKvxPKvxyPKvyzPKvz 不考不考 虑岩虑岩 石和石和 流体流体 的压的压 缩性缩性单相渗流的基本微分方程：单相渗流的基本微分方程：两相渗流的基本微分方程两相渗流的基本微分方程（不考虑岩石和流体的压缩性）（不考虑岩石和流体的压缩性）：tSzvyvxvoozoyxo )()()(gradPKvooo gradP
14、Kvwww tSzvyvxvwwzwyxw )()()(2.2 渗流基本微分方程的建立四、渗流基本微分方程（数学模型）将运动方程、状态方程代入连续性方程。方程左端：220)(0)(0)()(00 xPKxPexKxPKexxvPPCPPCxLLxPCPPCxCexxPeLLLPPCPPCLL)(10)()(00同理：220)(yPKyvy220)(zPKzvz则方程左端为：)()()()()(2222220zPyPxPKzvyvxvvdivzyx 方程右端：)()(ttt)()(000000tPCPPCtPCPPCfLLftPCt0tPCCLf00)()(1 00PPCL)(00PPCffLC
15、C 相对较小，可忽略不计。tCLfCC0称为综合压缩系数，表示单位体积岩称为综合压缩系数，表示单位体积岩石在降低单位压力时，由于孔隙收缩石在降低单位压力时，由于孔隙收缩和液体膨胀所排挤出来的液体体积。和液体膨胀所排挤出来的液体体积。代入tPzPyPxP1222222tPP12 方程左端等于方程右端：tPCzPyPxPKt02222220)(整理得：或：tCK称为导压系数，物理意义为单位时间内压力传播的地层面积，表明地层压力波传导的速度。单位为 或 。sm/2scm/2 单相微可压缩流体在微可压缩地层单相微可压缩流体在微可压缩地层中按达西定律渗流的中按达西定律渗流的渗流基本微分方程。渗流基本微分
16、方程。不考虑流体及岩石弹性，则：0222222zPyPxP式中 为拉普拉斯算子（算符）。2 2222222zyx 为哈密尔顿算子（算符）。kzjyixtv)(0)(vPKv02 P或：拉普拉斯方程 单相不可压缩流体按达西定律稳定渗流的渗流基本微分方程。进一步说明的两个问题进一步说明的两个问题 不同渗流方式下单相液体渗流基本微分方程的具体形式不同渗流方式下单相液体渗流基本微分方程的具体形式稳定渗流弹性不稳定渗流单向流平面径向流球面径向流022dxPdtPxP1220122drdPrdrPdtPrPrrP11220222drdPrdrPdtPrPrrP1222坐标变换yx),(),(ryxmr22
17、2yxr22yxrdrdPrxxrdrdPxPxrdrxPdxP)/(22rxdrdPdrrxddrPdrx)/(22drdPrydrPdrx322222同理：drdPrxdrPdryyP32222222drdPrdrPdyPxP1222222)(12222drdPrdrdryPxP或drryrddrrxd)/()/(22drryd)/1(22xry22 综合压缩系数与导压系数的对应关系综合压缩系数定义式综合压缩系数与岩石和流体的压缩系数导压系数型型tCKCKLftCCCPVVCfff1PVVCLLL1LpCCCPVVCppp1注：fpCC PVVVCLfft)(1PVVVCLfp)(1/tC
18、C 2.3 2.3 定解条件定解条件 初始条件：初始条件：运动要素随时间变化规律的数学表达式，运动要素随时间变化规律的数学表达式，一般知道起始时刻的分布。一般知道起始时刻的分布。边界条件：边界条件：运动要素随空间位置变化规律的数学表达运动要素随空间位置变化规律的数学表达式，一般知道在边界上的情况。式，一般知道在边界上的情况。itPP0定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件、P、v、s T一、初始条件一、初始条件 稳定渗流没有初始条件，只有不稳定渗流问题才需要稳定渗流没有初始条件，只有不稳定渗流问题才需要不稳定渗流的初始条件可表达为：不稳定渗流的初始条件可表达为：Dzyxtzyxtzy
19、x ),(00),(),(势函数：势函数：Pk 二、边界条件二、边界条件在渗流力学中使用的边界条件一般有以下三种形式：在渗流力学中使用的边界条件一般有以下三种形式：1、给出势（压力）的边界条件；、给出势（压力）的边界条件；第一类边界条件第一类边界条件2、给出流动速度的边界条件；、给出流动速度的边界条件；第二类边界条件第二类边界条件3、给出混合边界条件。、给出混合边界条件。第三类边界条件第三类边界条件2、给出流量（压力梯度）的边界条件给出流量（压力梯度）的边界条件第二类边界条件第二类边界条件1、给出压力（势函数）的边界条件给出压力（势函数）的边界条件第一类边界条件第一类边界条件 wrrPPwco
20、nstPPerreKhqrPrconstqwwrrrr200eerrrrrPq由达西公式：由达西公式：constrPrhKrPAKqwwwrrrrrr2外边界定压：外边界定压：内边界（井底）定压：内边界（井底）定压：边界封闭：边界封闭：井点定产：井点定产：例2-1 圆形均质等厚地层中为单相流体，中心一口井定产量生产，写出下面两种情况下渗流的数学模型：.边界定压，地层中为平面径向稳定渗流；.边界封闭，地层中为平面径向弹性不稳定渗流。qwr2her 解：对于稳定渗流，产量、压力均为定值，所以，其数学模型为：0122drdPrdrPdwrrPPwerrPPe内边界条件外边界条件 .对于封闭弹性不稳定
21、渗流，其数学模型为：tPdrdPrdrPd1122itPP0KhqrPrwrr20errrP)(ewrrr)0(t)0(t内边界条件外边界条件初始条件LBiPeP 1.写出如图所示，单相液体作单向稳定渗流的数学模型。2.写出如图所示，封闭矩形地层中心一口井定产量生产的弹性不稳定渗流的数学模型。xyo2a2a2d2d 2.解：对于矩形封闭地层，其数学模型为：tPyPxPP122222)2,2()0,(dyaxPyxPiKhqrPrwrr202axxP)0(t02dyyP思考题1.解决渗流问题的一般思路（方法）是什么？2.渗流力学中的自变量和因变量（运动要素）主要有哪些？3.渗流基本微分方程由哪几个方程组成？4.方程 的物理含义？5.什么是综合压缩系数？其物理意义是什么？6.什么是导压系数？其物理意义是什么？7.方程 的适用条件是什么？8.油气层渗流中常见的边界条件有哪些？tvdiv)()(0222222zPyPxP
