1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.2.1 直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定北师大版数学八年级下册学习目标学习目标1 1理解并掌握直角三角形的判定定理和斜理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。边上的中线性质定理。2 2能应用直角三角形的判定与性质，解决能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。有关问题。三角形的分类三角形的分类按边分类按边分类按角分类按角分类导入新知导入新知锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形有一个角是钝角有一个角是钝角三角形按角的分类三角形按角的分类三个角都是锐角三个角都是锐角有一个角是直角有一个角是直角 生活中用到
2、直角生活中用到直角三角形的例子很多三角形的例子很多三角形三角形1知识点知识点直角三角形中角的关系直角三角形中角的关系想一想想一想(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形是直角三角形吗？为吗？为 什么？什么？合作探究合作探究定理定理直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.定理定理有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.如图，在如图，在ABC中，中，C70，B30，ADBC于点于点D，AE为为BAC的平分线，求的平分线
3、，求DAE的度数的度数例例1 应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求(4)原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0，题中葛藤的最短长度是_在RtBCD中，CD2BC2BD2122(15x)2.C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题(2)原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么a生活中用到直角三角形的例子很多ACBCABCD.三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题(3)互逆命题、互逆定理：三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？求证：ABAC.由题意可知，由题意可知，BAC180BC180307080.A
4、E为为BAC的平分线，的平分线，CAEBAE BAC40.ADBC，ADC90.CAD90C907020.DAECAECAD402020.解：解：12 三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半新知小结新知小结1【中考中考 郴州郴州】小明把一副含小明把一副含45，30的直角三的直角三角尺如图摆放，其中角尺如图摆放，其中CF90，A45，D30，则，则等于等于()A180 B210 C360 D270B巩固新知巩固新知2知识点知识点直角三角形中边角关系直角三角形中边角关系勾股定理
5、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.ACB222ABACBC合作探究合作探究反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三这个三角形是直角三角形角形”的结论的结论.下面我们证明这个结论下面我们证明这个结论.已知：如图已知：如图(1)，在，在ABC中，中，AB2AC2BC2.求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：如图如图(2)，作，作Rt ABC，使，使A90 ABAB,ACAC,则则A
6、B 2AC 2 BC 2（勾股定理）（勾股定理）.AB2AC2BC2，BC2 BC 2.BC BC.ABC ABC(SSS).AA90(全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）.因此，因此，ABC是直角三角形是直角三角形.例例2 A如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC9，BC12，则点，则点C到到AB的距离是的距离是()361293 3ABCD52544.导引：导引：方法一：方法一：C90，AB2AC2BC292122225.AB15.过点过点C作作CDAB于点于点D，设，设ADx，则，则BD15x.在在RtACD中，中，CD2AC2AD292x2.在在RtBCD中，中，CD
7、2BC2BD2122(15x)2.92x2122(15x)2，解得，解得x5.4.CD2925.4251.84.CD7.2 ，即点，即点C到到AB的距离为的距离为 .365365方法二：方法二：过点过点C作作CDAB于点于点D，则则SABC ACBC ABCD，ACBCABCD.又由方法一知又由方法一知AB15，CD ，即点，即点C到到AB的距离为的距离为.121291236155 365应用应用方程思想方程思想求线段的长很常见，而用求线段的长很常见，而用面积法面积法求求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明简明易懂易懂新知小结新知小结1在在A
8、BC中，已知中，已知AB45，BC3，求，求AB的长的长.因为因为AB45，所以所以ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形所以所以ACBC3.所以所以223 2ABACBC.解：解：巩固新知巩固新知如图，在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是()(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；后其末端恰好到达点B处则问(1)四边形是多边形；因为AD是BC边上的中线，（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求(2)两直线平行，同旁内角互补；CD ，即点C到AB的距离为.三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点则AB 2AC 2 BC
9、2（勾股定理）.(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；CAD90C907020.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；加以证明即可判断原定理有逆定理AE为BAC的平分线，（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；13，则小正方形的面积为()C90，AB2AC2BC292122225.生活中用到直角三角形的例子很多2已知：在已知：在ABC中，中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线边上的中线AD12cm.求证：求证：ABAC.如图，如图，因为因为AD是是BC边上的中线，边上的中线，所以所以BD BC 10 5(cm)12解：解：12在在ABD中，中，因为因为AB13 cm，AD12
10、 cm，BD5 cm，所以所以AB2AD2BD2.所以所以ABD为直角三角形所以为直角三角形所以ADBC.在在RtADC中，中，AC 13(cm)，所以所以ABAC.2222125ADCD3【中考中考陕西陕西】如图，将两个大小、形状完全相同如图，将两个大小、形状完全相同的的ABC和和ABC拼在一起，其中点拼在一起，其中点A与点与点A重重合，点合，点C落在边落在边AB上，连接上，连接BC.若若ACBACB90，ACBC3，则，则BC的长为的长为()A3 B6 C3 D.3221A4【中考中考襄阳襄阳】“赵爽弦图赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如
11、图所明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的示的“赵爽弦图赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为较长直角边长为a，较短直角边长为，较短直角边长为b，若，若(ab)221，大正方形的面积为，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为，则小正方形的面积为()A3 B4 C5 D6C5如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形方形A，B，C，D的边长
12、分别是的边长分别是3，5，2，3，则正，则正方形方形E的面积是的面积是()A13 B26 C47 D94C6【中考中考东营东营】我国古代有这样一道数学问题：我国古代有这样一道数学问题：“枯木枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的尺，则该圆柱的高为高为20尺，底面周长为尺，底面周长为3尺，尺，有葛藤自点有葛藤自点A处缠绕而上，绕处缠绕而上，绕5周周后其末端恰好到达点
13、后其末端恰好到达点B处则问处则问题中葛藤的最短长度是题中葛藤的最短长度是_25尺尺3知识点知识点逆命题和逆定理逆命题和逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明
14、发烧，那么他一定患了肺炎如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.合作探究合作探究（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流与同伴交流.1在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为为互逆命题互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题命
15、题2如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为的逆定理，这两个定理称为互逆定理互逆定理5(cm)下列说法正确的是()(2)如果ab，那么a2b2；1 直角三角形的性质与判定DAECAECAD402020.定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相 等”ADBC，ADC90.因此，ABC是直角三角形.AC 13(cm)，如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
16、若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是()AA90(全等三角形的对应角相等）.CD ，即点C到AB的距离为.根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题零，那么它们互为相反数逆命题是真命题它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理(2)如果ab，那么a2b2；BC BC.第一章 三角形的证明题中葛藤的最短长度是_例例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果如果ab，那么，那么a2b2；(3)如果两个数互
17、为相反数，那么它们的和为零；如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果如果ab0，那么，那么a0，b0.导引：导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假后判断逆命题的真假解：解：(1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交逆命题是真命题一个交点，那么它们相交逆命题是真命题(2)原命题是假命题逆命题为：如果原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么，那么a b.逆命题
18、是假命题逆命题是假命题(3)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数逆命题是真命题零，那么它们互为相反数逆命题是真命题(4)原命题是假命题逆命题为：如果原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0，那么那么ab0.逆命题是真命题逆命题是真命题写出逆命题的关键是写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结分清楚原命题的题设和结论论，然后将它的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置交换位置就得到这就得到这个命个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑逻辑推理，判断一个命题是假命题推理，判断一个命题是假
19、命题只需要举出反例只需要举出反例就可就可以了以了新知小结新知小结例例4 定理定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有是否有逆定理？请说明理由逆定理？请说明理由导引：导引：先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可解：解：定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在定理的逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可以证明其为真命题，所以它是原这个角的平分线上可以证明其为真命题，所以它是原定理的逆定理定理的逆定理理由如下：理由如下：已知：如图，已知：如图，PEOA，PFOB，垂足分别为，
20、垂足分别为E，F，且且PEPF.求证：求证：OP是是AOB的平分线的平分线合作探究合作探究证明：证明：PEOA，PFOB，OEPOFP90.在在RtPOE和和RtPOF中，由勾股定理易得中，由勾股定理易得OEOF，POE POF.AOPBOP，即，即OP是是AOB的平分线的平分线 即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的 平分线上平分线上 故定理故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相角平分线上的点到角的两边的距离相 等等”有逆定理有逆定理判断一个定理是否有逆定理的方法：判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作先把定理作为命题，写出它的逆命题，
21、然后判断其逆命题是为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正否正确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题，题，加以证明即可判断原定理有逆定理加以证明即可判断原定理有逆定理新知小结新知小结1说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)四边形是多边形；四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；(3)如果如果ab0，那么，那么a0，b0.(1)逆命题：多边形是四边形原命题真，逆命题假逆命题：多边形是四边形原命题真，逆命题假(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行原命题真，
22、逆命题：同旁内角互补，两直线平行原命题真，逆命题真逆命题真(3)逆命题：如果逆命题：如果 a0，b0，那么，那么ab0.原命题假，原命题假，逆命题真逆命题真解：解：巩固新知巩固新知2下列说法正确的是下列说法正确的是()A每个定理都有逆定理每个定理都有逆定理B每个命题都有逆命题每个命题都有逆命题C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题D真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题B直角三角形角的关系：直角三角形角的关系：定理定理直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.定理定理有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.1知识小
23、结知识小结归纳新知归纳新知(2)勾股定理及其逆定理：勾股定理及其逆定理：勾股定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的平方.勾股定理逆定理勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形边的平方，那么这个三角形是直角三角形.(3)互逆命题、互逆定理：互逆命题、互逆定理：已知：如图，PEOA，后其末端恰好到达点B处则问北师大版数学八年级下册BAC180BC定理有两个角互余的三角形是直角三角形.CAEBAE BAC40.题中葛藤的最短长度是_故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相 等
24、”(4)如果ab0，那么a0，b0.(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；则AB 2AC 2 BC 2（勾股定理）.在RtACD中，CD2AC2AD292x2.C90，AB2AC2BC292122225.BAC180BC三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点那么ab0.(3)互逆命题、互逆定理：CAD90C907020.因此，ABC是直角三角形.(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；【中考中考黔西南州黔西南州】一直角三角形的两边长分别为一直角三角形的两边长分别为3和和4，则第三边的长为，则第三边的长为()A5 B.C.D5或或易错点：易错点：考虑问题不全面而漏解考虑问题不全面而
25、漏解2易错小结易错小结D577因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论当所以需对两条边分类讨论当3和和4为直角边长为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为为5；当；当3为直角边长，为直角边长，4为斜边长时，第三边为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为为直角边，由勾股定理得第三边长为 .故选故选D.本题易因没有分类讨论，直接将本题易因没有分类讨论，直接将3和和4作为直作为直角边长去求斜边的长而出错角边长去求斜边的长而出错7互余互余直角三角形直角三角形课后练习课后练习C【答案】【答案】C斜边的平方斜边的平方第三边第三边CA【答案】【答案】C【答案】【答案】B互逆命题互逆命题逆命题逆命题逆定理逆定理AB再见再见
