1、_ 2020 年呼伦贝尔市普通高中第一次统考 理科数学 注意事项：注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.1. 若0,1,2 ,|2 , a ABx xaA，则AB A0,1,2 B. 0,1,2 3， C. 0,1,2 4， D.
2、 1,2 4， 2 2复数 i i 2 21 A. i B. i1 C.i D. i1 3.3.在 ABC 中ACABBPPDAPDCBD,2,， 则= A 3 1 B 3 1 C 2 1 D 2 1 4 4.在精准扶贫工作中，有 6 名男干部、5 名女干部，从中选出 2 名男干部、1 名女干部组成 一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有 A60 种 B70 种 C75 种 D150 种 5.5. 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点若|AF|3， 则直线 AB 的斜率为 A.2 B. 2 C. 2 2 D22 6.6.等比数列 n a的前 n
3、项和为 n S，若0 n a ，公比1q ， 3526 20,64,aaa a则 5 S A.31 B.36 C. 42 D.48 7.7.函数 1 )( 3 x e x xf的图象大致是 8.8.在天文学中，天体明暗的程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 _ ,lg 2 5 2 1 12 E E mm 其中星等为 k m的星的亮度为)2 , 1( kEk.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45， 则太阳与天狼星的亮度比值为 A. 1 .10 10 B.1 .10 C.1 .10lg D. 1 .10 10 9 9把函数) 6 sin(y x图象上各点的横坐标伸长为
4、原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将图象 向右平移 3 个单位，那么所得图象的一个对称中心为 A （ 3 ，0） B （ 4 ，0） C （ 12 ，0） D （0，0） 10.10.在棱长均相等的正三棱柱 ABC- A1B1C1中， D 为 BB1的中点，F 在 AC1上， 且 DFAC1， 则下述结论： AC1BC； AFFC1； 平面 DAC1平面 ACC1A1; 异面直线 AC1与 CD 所成角为 60 . 其中正确命题的个数为 A1 B2 C3 D4 1111已知双曲线 C：,)0, 0(1 2 2 2 2 ba b y a x 以点), 0(bP为圆心 a 为半径作圆，圆P与 双曲
5、线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若MPN90,则双曲线 C 的离心率为 A. 2 7 B. 2 5 C. 2 D. 3 12.12.已知 10, 2 01, 1 ) 1( 1 )( x x x xf xf ，若方程( )21f xaxa有唯一解，则实数a的 取值范围是 A ), 1 (8 B ), 2( 1 , 2 1 (16 C ), 2( 1 , 2 1 8 D), 4(2 , 1 32 二、填空题二、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 1313 5 )2)(yxyx的展开式中 33y x的系数为_. _ 14.14.
6、设实数x、y满足约束条件 4 2 10 x yx yx ，则yxz32 的最小值为_. 1515.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标 A)5, 0 , 0(,B)0 , 0 , 3(,C)0 , 1 , 0(D)5, 1 , 3(，则该四面体的外接球的体积为_. 16. 16. 数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b的前n项和为 n T， 满足2 1 a， ),()(3RmNnamnS nn ，且1 nba nn . 若任意 nn TTNn 2 *, 成立， 则实数的取值范围为_ 三、解答题三、解答题：共共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解
7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.17.（12 分） . 2 1 cos32c2CacbaCBAABC，已知、的对应边分别为、中，角在 （1）求 A； （2）设 M 为 BC 中点，求 AM 的长. 18.18.（12 分） 万众瞩目的第 14 届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于 2020 年 2 月 16 日在呼伦 贝尔市盛大开幕，期间正
8、值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校 100 名教职 工在 “十四冬” 期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查， 得到如图频数分布直方图： 收看时间（小时） 0 3 1 2 4 5 6 0.18 0.30 0.11 0.12 0.20 0.09 频率/组距 _ （1）若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义 为 “冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分 布直方图补全22列联表;并判断能否有 90%的把握认为该校 教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关； （2） 在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取 6 名， 再从这 6 名“冰雪迷”中选取 2 名作冰雪运动知识讲座记其
9、中女职工 的人数为，求的分布列与数学期望 附表及公式： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd ， dcban 1919(12 分) 在如图所示的四棱锥 F- ABCD 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，ABC60 ， FC平面 ABCD，ACBF，CBCD1， (1)求证：AC平面 BCF； (2)已知二面角 FBDC 的余弦值为 5 5 ， 求直线 AF 与平面 DFB 所成角的正弦值.
10、20.20.（12 分） 已知点),( 00 yxM为椭圆1 2 : 2 2 y x C上任意一点，直线22: 00 yyxxl与圆 6) 1( 22 yx 交于BA, 两点，点F为椭圆C的左焦点 （1）求证：直线l与椭圆C相切； （2）判断AFB是否为定值，并说明理由 21.21.（12 分） 已知函数) 1)(2( 4 ln)( xa x x xf （1）当1a时 男 女 合计 冰雪迷 20 非冰雪迷 20 合计 D A C B F _ 求函数)(xf在)2(, 2(f处的切线方程； 定义) 14 () 2 () 1 ( n n f n f n fSn 其中 * nN ，求2020 S ；
11、 （2） 当2a时,设,4ln)()( 2 xxxfxt 1 ( ) x g xxe (e为自然对数的底数), 若对任 意给定的 0 0,0,(1,2) i xeex i在上总存在两个不同的， 使得)()( 0 xgxt i 成立，求a的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做第一如果多做，则按所做第一 题计分题计分. . 22.22.选修选修 4 44 4：极坐标系与参数方程：极坐标系与参数方程 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程 1 cos
12、( sin x y 为参数，0） 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是2 sin()3 3 3 ，射线 OM： 3 与曲线 C 的交点为 P，与直线l的交点为 Q，求线段 PQ 的长 23.23.选修 4- 5：不等式选讲（10 分） 已知函数 f(x)|x1| （1）解不等式8)4()(xfxf （2）若|a|1，|b|1，且 a0，求证：f(ab)|a|f( b a ) _ 2020 年呼伦贝尔市普通高中第一次统考 理科数学（答案） 二、二、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分
13、，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B C D A D A D B C B 三、三、填空题填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.13.4040 14.14.1414 15.15. 2 9 16.16. 2 1 三、解答题三、解答题：共共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题
14、为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.17. 7 7 ) 2 1 (12241 cos2 2 30 120,302 30 120 2 1 sin, 120sin 3 sin 2 sin a sin c ,1200, 2 1 cos1 222 AM CCMACCMACAMAMC ab B CA AA C A A AA CCC 中，由余弦定理得在 ）（ 锐角， ， 由正弦定理，且）（ 18.解（1）由题意得下表： 男 女
15、 合计 冰雪迷 40 20 60 非冰雪迷 20 20 40 合计 60 40 100 3 分 _ 2 k的观测值为 706. 2 9 25 40604060 )400800(100 2 6 分 所以有90%的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关 （2）由题意知抽取的 6 名“冰雪迷”中有 4 名男职工，2 名女职工，7 分 所以的可能取值为 0，1，2 且 2 4 2 6 C C 62 0 155 P ， 11 42 2 6 C C C 8 1 15 P ， 2 2 2 6 C C 1 2 15 P ， 10 分 所以的分布列为 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 28110
16、2 012 51515153 E 12 分 19.19.解：(1)证明：因为四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，ABC60 ，所以ADC BCD120 .又 ADCD，所以ACD30 ， 因此ACB90 ，ACBC， 3 分 又 ACBF， 且 BCBFB，BC，BF平面 BCF，(没有 BCBFB 扣 1 分) 所以 AC平面 BCF. 5 分 (2)取 BD 的中点 G，连接 CG，FG， 由于 CBCD，因此 CGBD， 又 FC平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 FCBD. 由于 FCCGC，FC，CG平面 FCG， 所以 BD平面 FCG，故 BDFG， 所以FGC 为二面
17、角 FBDC 的平面角在等腰三角形 BCD 中，由于BCD120 ， 因此 CG1 2，又 CBCF=1， 因为 cos FGC 5 5 ，所以2tanFGC，所以 FC=1 8 分 以 CA 为 x 轴、 CB 为 y 轴、 CF 为 z 轴建立空间直角坐标系， 则 D)0 , 2 1 , 2 3 (， F （0,0,1） ， B（0,1,0） 则平面 DBF 的法向量) 1 , 1 , 3(n，) 1 , 0 , 3(AF， _ 设直线 AF 与平面 BDF 所成角为，则 | | sin AFn nAF = 5 5 12 分 20.20.（12 分） 解：（1）当 0 0y 时直线l方程为
18、 2x 或 2x ，直线l与椭圆C相切 当 0 0y 时，由 2 2 00 1, 2 22 x y x xy y 得 2222 0000 (2)4440yxxx xy ， 由题知， 2 20 0 1 2 x y ，即 22 00 22xy ， 所以 2222 0000 (4)4(2)(44)xyxy 22 00 162(1)xy = 22 00 16(22)0xy 故直线l与椭圆C相切6 分 （2）设 11 (,)A x y ， 22 (,)B xy ， 当 0 0y 时， 12 xx ， 12 yy ， 1 2x ， 22 11 (1)FA FBxy 22 11 (1)6(1)xx 2 1
19、240x ， 所以FA FB ，即 90AFB 当 0 0y 时，由 22 00 (1)6, 22 xy x xy y 得 2222 0000 (1)2(2)2 100yxyx xy ， 则 2 00 12 2 0 2(2) 1 yx xx y ， 2 0 1 2 2 0 210 1 y x x y ， 2 00 121 212 222 000 1 () 42 xx y yx xxx yyy 2 00 2 0 544 22 xx y 因为 1122 (1,) (1,)FA FBxyxy 1 21212 1x xxxy y 2222 000000 22 00 4208422544 2222 yy
20、xyxx yy 22 00 2 0 5(2)10 0 22 xy y _ 所以FA FB ，即 90AFB 故 AFB 为定值90 12 分 21.21.（1）1a)40( , 1ln)4ln()(xxxxxf 1 1 4 1 )( xx xf , 1)2( f1)2(f 所以切线方程为1 xy . 3 分 )40( , 2)4()(xxfxf. 令 i x n ,则2)4()( n i f n i f,) 14 , 2 , 1(ni. 因为) 1 4() 2 4() 2 () 1 ( n f n f n f n fSn, 所以) 1 () 2 () 2 4() 1 4( n f n f n
21、f n fSn, 由+得) 14(22nSn,所以)( , 14 * NnnSn. 所以8079 2020 S. 7 分 （2） 111 ( )(1), xxx g xexex e 当(0,1)x时，( )0,g x函数( )g x单调递增； 当1,xe时，( )0g x，函数( )g x 单调递减0)(, 1) 1 (, 0)0( 2 e eeggg 所以，函数( )0,0,1 .g xe在上的值域为 因为 2a，, 0(, ) 2 2 )(2( 2 2)(ex x a xa x axt 故 22 0,2 2 e a ae 此时，当x 变化时)(x t 、)(xt的变化情况如下： x 2 (
22、0,) 2a 2 2a 2 , 2 e a )(x t 0 + )(xt 单调减 最小值 单调增 _ 2) 1)(2()(, 2 2 ln2) 2 2 ( ,)(, 0 eaet a a a t xhx ,对任意给定的 0 0,ex，在区间0,e上总存在两个不同的(1,2), i x i 使得)()( 0 xgxt i 成立，当且仅当a满足下列条件 , 1)( 0) 2 2 ( et a t 12) 1)(2( 0 2 2 ln2 ea a a 即 令 22 ( )2ln,(,2), 2 h aaa ae 2 ( )1 2ln2ln(2)1, 22 a h aa aa 当(,0)a 时，( )
23、0,h a函数( )h a单调递增，当 2 (0,2)a e 时，( )0,h a函数 ( )h a单调递减 所以，对任意 2 (,2),a e 有( )(0)0,h ah即对任意 2 (,2)a e 恒成立。 由式解得： 3 2. 1 a e 综合可知，当 0 3 ,2,0, 1 axe e 时 对任意给定的 在0,(1,2), i ex i 上总存在两个不同的 使)()( 0 xgxt i 成立。 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做第一如果多做，则按所做第一 题计
24、分题计分. . 22.22.(10 分） )1 2 0.(4. 2 0cos2 ,sin,cos .2).1010, 1y1x1 22 分扣没有分，）（ 的极坐标方程是所以曲线又 分，（）的普通方程是（）曲线（ Cyx yxC 分的长为所以线段，所以由于 分解得），则有，的极坐标为（设 分解得），则有，的极坐标为（）设（ 10.2, 2| 8 3 3 3 33)cos3(sin 6 3 1 3 cos2 2 2121 2 2 2 222 22 1 1 1 11 11 PQPQ Q P _ 解法二：直线 l 的直角坐标方程为0333 yx, 射线直角坐标方程为)0(0333xyx6 分 所以两线
25、交点) 2 33 , 2 3 (Q 射线与圆交点) 2 3 , 2 1 (P ， 所以2|PQ 10 分 2323.解： （1）f(x)f(x4)|x1|x3| 1, 22 13, 4 3, 22 xx x xx 当 x3 时，由2x28，解得 x5； 当3x1 时，f(x)8 不成立； 当 x1 时，由 2x28，解得 x3 所以不等式 f(x)4 的解集为x|x5，或 x3 5 分 （2）f(ab)|a|f( b a )即|ab1|ab| 因为|a|1，|b|1， 所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0， 所以|ab1|ab|故所证不等式成立 10 分
