1、2三重积分的三重积分的概念概念三重积分的计算三重积分的计算小结小结 思考题思考题 作业作业(triple integral)第四节三重积分第四节三重积分第九章第九章 重积分重积分3是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的上的如当各小闭区域直径中的最大值如当各小闭区域直径中的最大值在每个在每个iv),(iii ),2,1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1.三重积分的定义三重积分的定义nvvv ,21将闭区域将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 其中其中iv 并作和并作和作乘积作乘积),(zyxf设设有界函数有界函数.也表示它的体积也表示它的体积.表示第表示第i个小闭区
2、域个小闭区域,上任取一点上任取一点三重积分三重积分一、三重积分的概念一、三重积分的概念(define)4记为记为函数函数),(zyxf趋于零时这和的极限总存在趋于零时这和的极限总存在,iiiniivf ),(lim10 则称此极限为则称此极限为 在闭区域在闭区域上的三重积分上的三重积分.vzyxfd),(即即 vzyxfd),(体积元素体积元素三重积分三重积分53.三重积分的几何意义三重积分的几何意义(2)设被积函数设被积函数,1),(zyxf VvVd1连续函数一定可积连续函数一定可积2.三重积分存在性三重积分存在性则区域则区域 的体积为的体积为在在上是可积的上是可积的.),(zyxf当当的
3、三重积分存在性时的三重积分存在性时,),(zyxf称称三重积分三重积分(existence)(1)占有空间区域占有空间区域,体密度函数为体密度函数为(,)f x y z的立体的质量为的立体的质量为:(,)dMf x y zv6.lkjizyxv 则则zyxvdddd 二、三重积分的计算1.在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分故故直角坐标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分可表为三重积分可表为 vzyxfd),().(是是小小长长方方体体iv 在直角坐标系中在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来划分平面的来划分,z
4、yxzyxfddd),(三重积分三重积分7设平行于设平行于z轴的直线与轴的直线与的边界面至多相交的边界面至多相交于两个点于两个点.(1)设设在在xoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为12:,()()xyDaxb y xyyx以以xyD的边界曲线为准线的边界曲线为准线,作母线平行于作母线平行于z轴轴的柱面的柱面,把把的边界曲面分为上的边界曲面分为上,下两部分下两部分:直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分思想是思想是1.投影法投影法 (先单后重法先单后重法)三重积分三重积分8三重积分三重积分xyzO Dab)(1xyy)(2xyy 1S),(1yxzz 2S),
5、(2yxzz ),(yx1z2z121212(,):(,)(,),(,)(,):,()(),(,)(,)xyx y zz x yzz x yx yDx y z ax b y xyy x z x yzz x y 即即设设xyD12(,),(,)z x y zx y在在上连续上连续,在在上连续上连续,12(),()y xyx在在,a b上连续上连续.1122:(,),:(,),Szz x ySzzx y(,)f x y z9,x y(3)先将看作定值zzyxf只看作只看作将将),(的一元函数的一元函数,是分布在线段是分布在线段(2)对对(,),xyx yD过过(,)x y作平行于作平行于z轴的轴的
6、直线穿过区域直线穿过区域,则由曲面则由曲面11:(,)Szz x y穿入穿入,穿入点穿入点由曲面由曲面22:(,)Szzx y穿出穿出,穿出点穿出点11(,(,)Mx y z x y22(,(,)Mx y zx y12M M上的质量在上的质量在竖坐标竖坐标z处的线密度处的线密度,从而线段从而线段12M M上的质量为上的质量为:21(,)(,)(,)(,)dzx yzx yF x yf x y zz三重积分三重积分10(4)把物体质量看成分布在占有平面闭区域把物体质量看成分布在占有平面闭区域xyD的平面薄片上的平面薄片上,点点(,)x y处的面密度为处的面密度为则物体的质量为则物体的质量为:21
7、(,)(,)(,)(,)xyxyzx yzx yDDMF x y df x y z dz d 由于由于(,)df x y zv先单后重先单后重先对先对z,次对次对y,最后对最后对x的三次积分的三次积分(,).F x y12:,()()xyDaxb y xyyx则则21(,)(,)(,)dzx yzx yf x y zz21()()dbyxayxdxy三重积分三重积分11 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于 z注注S的边界曲面的边界曲面内部的直线与闭区域内部的直线与闭区域 相交不多于两点情形相交不多于两点情形.则考虑化为先对则考虑化为先对z,后对后对xy的累次积分的累次积分.过程如
8、下过程如下:三重积分三重积分(1)将将投影到投影到xy平面平面,得区域得区域.xyD(2)对对(,),xyx yD作平行于作平行于z轴的轴的过过(,)x y直线穿过区域直线穿过区域,看看由哪个曲面穿入看看由哪个曲面穿入,哪个哪个曲面穿出曲面穿出,从而定出从而定出z的上下限的上下限.(3)最后再由二重积分的方法将最后再由二重积分的方法将21(,)(,)(,)(,)xyxyzx yzx yDDF x y df x y z dz d 化为二次积分即可化为二次积分即可.12所以所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积分分(累次积分累次积分).和积分域和积分域选取适
9、当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时,要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数),(zyxf同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投影面投影.三重积分三重积分13 zyxzddd zDyxdd1|),(zyxyxDz zDyxdd截面法截面法(先重后单法先重后单法)解解)1)(1(21zz 10dzz计算三重积分计算三重积分,dddzyxz为为其中其中 例例1 1.xyz三个坐标面及平面所围成的闭区域原式原式=zzzd)1(21210.241三重积分三重积分111xyzO1 zyxzD14 zzyxyzz101010ddd zyzyzz1010d)1
10、(d投影法投影法(先单后重法先单后重法)xzd dyzDzy 10计算三重积分计算三重积分,dddzyxz为为其中其中.1所围成的闭区域所围成的闭区域三个坐标面及平面三个坐标面及平面 zyx三重积分三重积分 zyxzddd 102d)(121zzz.241 zxyO1111 zyx zyxzddd yxDzzxy10dd 15221(),(0)zxyaa例例2 求由旋转抛物面求由旋转抛物面和平面和平面za所围成的立体的质量所围成的立体的质量,假设立体上各点处的密度与该点到假设立体上各点处的密度与该点到z轴的轴的距离成正比距离成正比.三重积分三重积分162 截面法截面法(红色部分红色部分)(先重
11、后单法先重后单法)截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)向某轴向某轴把积分区域把积分区域)(轴轴如如z投影投影,得投影区间得投影区间;,21cc(2),21ccz 对对,的平面去截的平面去截轴且平行轴且平行用过用过xOyz;zD得截面得截面(3)计算二重积分计算二重积分 zDyxzyxfdd),();(zFz的函数的函数其结果为其结果为(4).d)(21 cczzF最后计算单积分最后计算单积分xzoy 1c2czzD三重积分三重积分12(,):,(,)zx y zczcx yD 即即17 即即 zDyxzyxfcczvzyxfdd),(dd),(21 cczzF21d)(当被积函数仅与变量当被
12、积函数仅与变量z有关有关,截面法的公式还有两个截面法的公式还有两个.用上公式简便用上公式简便.希望自己推希望自己推注注且截面且截面Dz易知时易知时,三重积分三重积分18例例4 已知椭球已知椭球V:内点内点(x,y,z)处处质量的体密度为质量的体密度为:求求椭球的椭球的质量质量.提示提示三重积分三重积分计算三重积分计算三重积分为为其中其中 例例3 1.xyz三个坐标面及平面所围成的闭区域d d d,z x y z2222221xyzabc222222,xyzabc222222dVxyzMvabc222222dddVVVxyzvvvabc19解解因为因为先求先求212dVxIva三重积分三重积分即
13、即其中其中222222dVxyzMvabc222222dddVVVxyzvvvabc(,):,(,)xVx y zaxay zD 222222(,):1xyzxDy zbca 20利用对称性利用对称性(区域关于区域关于x=0对称对称,被积函数关于被积函数关于x是偶函是偶函数数),由对等性知由对等性知因此因此所以所以22daaxxa22dVxvad dxDy z22d d(1)xDxy zbca22222(1)daabcxxxaa415abc2222ddVVyzvvbc415abc4.5Mabc三重积分三重积分21(1)如果如果被积函数是单变量被积函数是单变量z(或或x,y)的函数的函数,并且并
14、且总结总结:用用z=常数常数(或或x=常数常数,y=常数常数)截空间区域截空间区域,得到的截面得到的截面(,)zxyD D D的的面积易求面积易求,则考虑把三重积分则考虑把三重积分化为先重化为先重(对对xy)后单后单(对对z)的累次积分来计算的累次积分来计算;(2)将三重积分化为三次积分时将三重积分化为三次积分时,一定要先单后重一定要先单后重或先重后单或先重后单,不要直接化为三次积分不要直接化为三次积分;(3)充分利用对称性充分利用对称性.三重积分三重积分22计算三重积分计算三重积分()d d d,xyzx y z为为其中其中 例例5 1.xyz三个坐标面及平面所围成的闭区域xyO1111 z
15、yxz解解 利用轮换对称性利用轮换对称性:区域的边界面方程中区域的边界面方程中x换成换成y,y换成换成z,z换成换成x,区域的边界面方程不变区域的边界面方程不变.则该区域上的三重积分的被积函数中的则该区域上的三重积分的被积函数中的 x换成换成y的积分与的积分与y换成换成z的积分的积分,z换成换成x的积分相等的积分相等.三重积分三重积分23从而从而d d dd d dd d dx x y zy x y zz x y z()d d d3d d dxyzx y zx x y z于是于是103xyx yDdxdyxdz 111000331248xx yxdxdydz 三重积分三重积分24例例6 改变下
16、列积分次序改变下列积分次序.11000(,),()xx yIdxdyf x y z dzzyx步骤步骤:1.先画图先画图 (先画边界曲面先画边界曲面,再围成再围成);2.退三次积分为先单后重或先重后单退三次积分为先单后重或先重后单.yxz:01,01,0 xyxzxy 三重积分三重积分25解解:(1)0(,)xyx yDIdxdyf x y z dz11000(,),()yx ydydxf x y z dzzxy(2)10(,)yzDIdxf x y z dydz1111000(,),)(,),xxxxz xdxdzf x y z dydzf x ydyzzyxxyzxy1xxxy三重积分三重
17、积分26xyzO.V所所围围立立体体体体积积解解 两曲面的交线为两曲面的交线为 22222ayxaz所以所以,:xyDxOyV面面的的投投影影域域在在2222ayx VvVd 222224ddyxayxDzxy xyDyxyxa d)4(22222 d)4(d202220 aa例例7极坐标极坐标三重积分三重积分222224zaxyzxy求曲面及.)22(383a27,0 ,20 z规定规定xyzo ),(zyxM),(Pz,直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为,cos xzz 就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.三重积分三重积分2.利用柱面坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积
18、分cylindrical coordinates设设M(x,y,z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数sin,y28为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 柱面坐标柱面坐标系中系中,以以z轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为z,三重积分三重积分称点称点M的柱面坐标的柱面坐标),(zyxM),(PxyzO 29 xyzo 柱面坐标系柱面坐标系中的中的体积元素体积元素为为zvdddd V 在在柱面坐标系柱面坐标系中
19、中,如图如图,V 得小柱体得小柱体即即直角坐标系直角坐标系下三重积分与下三重积分与(红色部分红色部分).若以三坐标面分割空间区域若以三坐标面分割空间区域柱柱(面面)坐标系坐标系下三重下三重积分的关系是积分的关系是 z 三重积分三重积分 z 30 如何计算如何计算柱坐标系柱坐标系下三重积分下三重积分 zyxzyxfddd),(f,cos ,sin )zzddd 回想回想直角坐标系直角坐标系下计算三重积分方法下计算三重积分方法.将三重积分化为将三重积分化为,cos x,sin yzz 三次积分三次积分(累次积分累次积分)zvdddd 三重积分三重积分31 zyxzyxfddd),(柱坐标系柱坐标系
20、下三重积分的计算下三重积分的计算,可得可得柱坐标系柱坐标系下三重积分化为下三重积分化为三次积分三次积分 baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),(),(2121d),(ddz,与与x,y,z等同的看为三个变量等同的看为三个变量.如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示:,D).()(21 只要把被积只要把被积函数中的函数中的的计算公式的计算公式.类比公式类比公式先先将将在在xOy面上的投影域用面上的投影域用三重积分三重积分32三重积分三重积分从而从而 zzfddd),sin,cos(故故),(),(21d),sin,cos(zzzzf)()(21d d再再确定确定的下的下,上边界面上边
21、界面),(1 zz ),(2 zz ,),()(21 :12(,)(,)zzz 21(,)(,)(cos,sin,)zzDd dfz dz 33 当化三重积分为先单后重或先重后单当化三重积分为先单后重或先重后单,而算而算,()xyzDD上的重积分需用极坐标计算时上的重积分需用极坐标计算时,则考虑用柱面坐标变换则考虑用柱面坐标变换.注注三重积分三重积分34如积分域如积分域为圆柱域为圆柱域(如图如图).20 ,0R ,0Hz vzyxfd),(则则:HRzzf0020d),sin,cos(dd 三重积分三重积分xyzO35例例8 求三重积分求三重积分dIz xdydz其中其中是由球面是由球面与抛物
22、面与抛物面所围成的位于第一象限的部分所围成的位于第一象限的部分.三重积分三重积分2222xyz22zxy36例例9 求三重积分求三重积分22xdIyxdydz其中其中由平面由平面与圆柱面与圆柱面所围成所围成.三重积分三重积分4,1yzxyz221xy37解解zezddd2 如先对如先对z积分积分其中其中是由锥面是由锥面例例10,ddd222zyxyxez 计计算算与平面与平面22yxz zyxyxezddd222 21 zz、所围成的锥台体所围成的锥台体.柱面坐标柱面坐标三重积分三重积分xyzO22yxz 38xyzO可看出如先对可看出如先对z积分积分,zezd2(积不出来积不出来).zezd
23、dd2 ).(4ee zzezd2212 212ze 将遇到积分将遇到积分最后对最后对z积分积分.zyxyxezddd222 ddd2zez0z 2120三重积分三重积分这里应先对这里应先对 、积分积分,22yxz 39 当被积函数是当被积函数是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf 积分域积分域由圆柱面由圆柱面(或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.三重积分三重积分40 r P zyxA,0 记投影记投影向量与向量与x轴正方向的轴正方向的.20 ),(r规定规定,0 r),(zyxM OM再再将将正方
24、向间的夹角为正方向间的夹角为轴轴与与zOM,r夹角为夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的之之长长为为记记向向量量OM三重积分三重积分3.利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分xyzO设设M(x,y,z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影,41为常数为常数r为常数为常数 球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面；过过z轴的轴的半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为,sinsin ry ,cossin rx cosrz 为常数为常数 原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的轴的圆锥面圆锥面；三重积
25、分三重积分 r zyxA),(zyxM xyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzO2sinJr42球面坐标系球面坐标系中的中的体积元素体积元素为为rxyzo r dddsind2rrv V 若以三坐标面分割空若以三坐标面分割空,V 得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中，中，r sinr r 间区域间区域三重积分三重积分 sinr r sinr43 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先积积r、再再积积.后积后积)cos r (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin
26、 r三重积分三重积分2sind d drr 记记(sincos,sinsin,cos)(,)f rrrF r 44注注:化球面坐标系钟的三重积分为三次积分时化球面坐标系钟的三重积分为三次积分时要根据积分区域的特点来决定积分限要根据积分区域的特点来决定积分限.1.若积分区域若积分区域的边界曲面是一个包含原点的边界曲面是一个包含原点在内的闭曲面在内的闭曲面,其球面坐标方程为其球面坐标方程为:则则三重积分三重积分(,)rr 22(,)2000(,)sinsinrF rrdrd dddFrdr 45特别若积分区域由特别若积分区域由所围成所围成,则则再特别再特别时时,由上式得到求的体积由上式得到求的体积
27、xyzO三重积分三重积分ra222000(,)sinsinaF rrdrd dddFrdr 1F 2230004sin3aVddFrdra462.若原点不在积分区域的内部若原点不在积分区域的内部,则按以下方法确定积分限则按以下方法确定积分限.通常是通常是注注、先先积积r、再再积积.后积后积(1)作两个过作两个过z轴的半平面夹紧积分区域轴的半平面夹紧积分区域,这两个半平面这两个半平面对应着对应着则对则对积分的上下限分别为积分的上下限分别为:,(2)用用的半平面的半平面L截积分区域截积分区域,得到截面得到截面S在在L内过原点作两射线夹紧内过原点作两射线夹紧S,这两射线对应着这两射线对应着则对则对积
28、分的上下限分别为积分的上下限分别为:,则对则对积分的上下限分别为积分的上下限分别为:21(),()三重积分三重积分,(),常数1212(),(),()()47(3)设设(,)固定固定,即用过原点的射线穿过区域即用过原点的射线穿过区域,设穿入穿出曲面为设穿入穿出曲面为:1(,),rr 2(,)rr 则对则对r积分的上下限分别为积分的上下限分别为:21(,),(,).rr 故故结论结论:当积分区域为球面当积分区域为球面,球面与锥面等围成球面与锥面等围成,被积函数中含有被积函数中含有222xyz则考虑用球面坐标变换则考虑用球面坐标变换.时时,三重积分三重积分22112()(,)2()(,)(,)si
29、nsinrrF rrdrd dddFrdr 48例例12 计算计算2,Iz dxdydz其中其中22222222:,()xyzRxyzRR例例 13 求半径为求半径为a的球与半顶角为的球与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积的内接锥面所围成的立体的体积.例例14 求曲面求曲面2222222,(,0)xyzaxa b cabc所围成的立体的体积所围成的立体的体积.三重积分三重积分49当积分区域是球形域当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时,用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便.或
30、是球的一部分或是球的一部分;三重积分三重积分222()f xyz50柱面坐标系下柱面坐标系下计算三重积分计算三重积分柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素 )三重积分三重积分三、小结三、小结三重积分的定义三重积分的定义直角坐标系下直角坐标系下计算三重积分计算三重积分zyxvdddd(思想思想:计算时将三重积分化为三次积分计算时将三重积分化为三次积分)三重积分的计算三重积分的计算(四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限)(直角坐标体积元素直角坐标体积元素 ),cos x,sin yzz (柱面坐标与直角坐标的关系柱面坐标与直角坐标的关系zzyxdddddd 51 dddsind
31、dd2rrzyx,sinsin ry ,cossin rx cosrz 三重积分三重积分球面坐标系下球面坐标系下计算三重积分计算三重积分球面坐标体积元素球面坐标体积元素 )(球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系使用对称性简化运算使用对称性简化运算恰当选择坐标系计算三重积分恰当选择坐标系计算三重积分(注意选择的原则注意选择的原则)52思考题思考题1是非题是非题及圆柱面及圆柱面是由球面是由球面若若4222 zyx 则则所围成的区域所围成的区域,1)1(22 yxvyxzvyxzd4d12222 .1在第一卦限的部分区域在第一卦限的部分区域是是其中其中 非非、关于坐标面关于坐标面因为虽然
32、积分区域因为虽然积分区域xOy,对称对称zOx但被积函数但被积函数22),(yxzzyxf .是奇函数是奇函数关于关于z三重积分三重积分53思考题思考题2 )(30222102222d)(ddyxyyyyzzyxfxyI分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分.将累次积分将累次积分思考题解答思考题解答积分域积分域V是由是由，曲面曲面)(322yxz yyx 22柱面柱面.0围围成成及及平平面面 z三重积分三重积分1.化为化为柱面坐标柱面坐标平面投影得圆：平面投影得圆：向向区域区域xOyVyyx 22zzrfId)(dd22 xyDyyx 220 30 s
33、in 0 xyo542.化为化为球面坐标球面坐标),6(33tan sinsin r2 得三角形区域（如图）得三角形区域（如图）rddd sinsin02 6 0 sinsin rzo6 6 积分域积分域V是由是由，曲面曲面)(322yxz yyx 22柱面柱面.0围围成成及及平平面面 z cot),(2222 ayxaz其中其中 sin2r)(rf三重积分三重积分积分域积分域V的边界曲面在球坐标系下分别表示为的边界曲面在球坐标系下分别表示为:)(30222102222d)(ddyxyyyyzzyxfxyI55思考题思考题3则则为为,2222Rzyx 422234ddRvRvzyx 是非题是非题非非因为被积函数因为被积函数222zyx 的积分范围是的积分范围是整个球体整个球体而非球表面而非球表面.三重积分三重积分
