1、曲面的侧曲面的侧 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系12.2 12.2 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的实际背景对坐标的曲面积分的实际背景 内容内容观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧有有上上侧和侧和下下侧侧有有内内侧和侧和外外侧侧 通常光滑曲面都有两侧通常光滑曲面都有两侧.(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)一、预备知识一、预备知识有两侧的曲面有两侧的曲面.(1)双侧曲面双侧曲面1.曲面的分类曲面的分类有有左左侧和侧和右右侧侧(2)单侧曲面单侧曲面默比乌斯默比乌斯(Mo
2、bius)带带.B和和D 粘在一起形成的环粘在一起形成的环不越过其边界，可以不越过其边界，可以这在这在双侧曲面双侧曲面上是不可能的上是不可能的.它是由一张长方形纸条它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下扭转一下,将将A和和C粘在一起，粘在一起，行带行带.小毛虫在小毛虫在莫比乌斯带上莫比乌斯带上,爬到任何一点去爬到任何一点去.Mobius(1790-1868)19世纪德国数学家世纪德国数学家默比乌斯默比乌斯(Mobius)带带.我们我们只考虑只考虑双侧曲面，双侧曲面，不考虑不考虑单侧曲面单侧曲面.2.有向曲面有向曲面有向曲面的有向曲面的方向方向确定了确定了曲面的侧曲面的侧.n设有向曲面设有向曲面
3、 的的单位单位法向量为法向量为cos,cos,cos n 3.有向有向曲面在坐标面上的有向投影曲面在坐标面上的有向投影设有设有有向曲面有向曲面，假定假定 cos的余弦的余弦上各点处的法向量与上各点处的法向量与 z轴的夹角轴的夹角有相同的符号有相同的符号.在曲面在曲面上取一小块有向曲面上取一小块有向曲面(上侧上侧)(下侧下侧)在在xOy坐标面上的坐标面上的有向投影有向投影为为 0000 xyxyxySS ,cos,cos,cos.若若若规定：规定：xyS记记 为为 在在 xOy 面上的投影面上的投影区域的面积区域的面积.(垂直垂直)，(前侧前侧)(后侧后侧)0000yzyzyzSS ,cos,c
4、os,cos.若若若(垂直垂直)同理可定义同理可定义 在在yOz坐标面及坐标面及zOx坐标面的坐标面的有向投影有向投影.xOy 面面：上正下负垂直为零上正下负垂直为零yOz 面面：前正后负垂直为零前正后负垂直为零zOx 面面：右正左负垂直为零右正左负垂直为零(右侧右侧)(左侧左侧)0000zxzxzxSS ,cos,cos,cos.若若若(垂直垂直)yzS 为为 在在yOz 面上的投影面上的投影区区域的面积域的面积.zxS 为为 在在zOx 面上的投影面上的投影区区域的面积域的面积.v nS 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.v流量流量引例引例 为平面为平面A指定侧的指定侧的单位单位法向量
5、法向量)n(斜柱体体积斜柱体体积)(1)流速为流速为常向量常向量,v有向曲面有向曲面为有向为有向平面平面区域区域 A,求单位时间流过求单位时间流过A的流体的流量的流体的流量(假定密度为假定密度为1).A An 二、二、对坐标的曲面积分的背景对坐标的曲面积分的背景 S v cos(S为为有向有向平面平面区域区域 A的面积，的面积，(2)设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(给出给出,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP上上连连续续，都都在在 流体的密度与速度流体的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定
6、密度为假定密度为1)的速度场由的速度场由v不是常向量不是常向量,为有向曲面为有向曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向指定侧的指定侧的流体的流量流体的流量.是速度场中的一片是速度场中的一片有向曲面有向曲面,分割分割近似近似 求和求和取极限取极限分割分割近似近似求和求和取极限取极限设设 为光滑有向曲面，为光滑有向曲面，01lim(,)()(,)()(,)()niiiyziiiizx iiiixyiiPQR 或或对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分，(,)d d(,)d d(,)d dP x y zyzQ x y zzxR x y zx y记作记作被积函数被积函数积分曲面积分曲面第二类曲面积分第二类
7、曲面积分存在且唯一，存在且唯一，向量场向量场(,)(,),(,),(,)F x y zP x y z Q x y zR x y z 若对若对 的的任意任意分割和局部分割和局部任意任意取点，取点，就称此极限为就称此极限为 F 在有向曲面在有向曲面上的上的1.定义定义三、三、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质在在 上有界，上有界，有向投影元素有向投影元素01lim(,)()(,)()(,)()niiiyziiiizxiiiixyiiPQR(,)d d(,)d d(,)d dP x y zyzQ x y zzxR x y zx y注注1：若若 为封闭曲面为封闭曲面,记为记为d
8、dd dddP y zQzxRxy 注注2：特别地特别地d dPy z d dQ zx 称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;d dR xy 称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;3.物理意义物理意义yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),(流向流向指定侧的流量指定侧的流量2.存在条件存在条件),(),(),(zyxRzyxQzyxP当当在在光滑有向曲面光滑有向曲面上上连续，连续，则第二类曲面积分存在则第二类曲面积分存在.4.
9、性质性质P y zQ z xR x y d dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x y P y zQ z xR x y d dd dd diiP y zQ z xR x y 21d dd dd d5.两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系d dd dd dP yzQ zxR xy coscosc)os(dPQRS 其中其中为有向曲面为有向曲面上任意点上任意点cos,cos,cos n （x,y,z）处指定侧的）处指定侧的单位法向量单位法向量.(,)f x y z为连续函数，为连续函数，是平面是平面1xyz在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧,计算计算 (,)d dIf x
10、 y zxy z 2(,)d df x y zyz x (,)d d.f x y zzx y解解例例1 设设1()d3IxyzS 1d3S 1.2 的单位法向量的单位法向量cos,cos,cos111,333n 11322223四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算法思想思想:化为二重积分计算化为二重积分计算.yxzyxRdd),(求求xy型积分型积分:(,),(,)xyzz x yx yD(1)nz当当 上上各各点点的的法法向向量量 与与 轴轴正正向向夹夹角角 0,2取上侧时，即 yxzyxRdd),(,)d dR x yx y (,)z x yxyD(2),2取下侧时，即(
11、,)d dR x y zx y (,)d dR x yx y(,)z x yxyD nz当当 上上各各点点的的法法向向量量 与与 轴轴正正向向夹夹角角 yxzyxRdd),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx zyzyxPdd),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy xzzyxQdd),(第二类曲面积分第二类曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的 xyDyxyxzyxRdd),(,yzDzyzyzyxPdd,),(zxDxzzxzyxQdd),(,注注 侧侧.于是于是，上正上正下负下负前正前正后负后负右正右正左负左负(,),zz x y如如果果 由由给给出出 则则有
12、有 yxzyxRdd),(xOy,平平如如面面果果则则有有垂直垂直为零为零 0yOz,平平如如面面果果则则有有 0zOx,平平如如面面果果则则有有 0 zyzyxPdd),(xzzyxQdd),(上正下负上正下负前正后负前正后负右正左负右正左负垂直为零垂直为零 解解:例例2.当当是是xOy坐标面的一个区域坐标面的一个区域 时，曲面积分时，曲面积分(,)d dR x y zxy 取上侧时取上侧时与二重积分有什么关系？与二重积分有什么关系？0,(,),:xyzx yD 则则R x y zxy (,)d dxyDR x yxy (,)d d0,取下侧时取下侧时R x y zxy (,)d d(,)d
13、 d.0 xyDR x yxy xyDxyzO解解两部分两部分和和分成分成把把21 2 1 投影域投影域)0,0(1:22 yxyxDxy 例例3 计算计算 yxxyzdd其中其中是球面是球面1222 zyx在在0,0 yx部分的部分的外侧外侧.xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 取上侧取上侧取下侧取下侧2211zxy：，2221zxy ：，12d dd dd dxyzxyxyzxyxyzxy xyDyxyxxydd1222222sin cos1d dxyDrr r r 极坐标极坐标1322002dcos sin1drrr .152)0,0(1:22 yxyxDxy
14、 xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 注：注：不可不可用奇偶对称性得用奇偶对称性得d d0 xyzxy yxxyzdd例例4.计算计算()d dIzxxy 边长为边长为 2a 的正立方体的整个表面的的正立方体的整个表面的外侧外侧.解解:61()d d.iiIzxxy 1:,(,):,xyzax yDxa ya取取上侧；上侧；2:,(,):,xyzax yDxa ya 取取下侧下侧.1I ()d dxyDaxxy 2 ()d dxyDaxx y 2d dxyDaxy 38.a xzy,其中其中 是以原点为中心是以原点为中心,1 2 3 4 5 6 由于垂直为零，由于垂
15、直为零，34560 ，又又例例5.计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解法一解法一:oyxz22()d ddd,zxyzzxy 旋转抛物面旋转抛物面221()2zxy介于平面介于平面 z=0 及及 z=2 之间部分的之间部分的下侧下侧.d dzxy 222421()2d dxyxxyy 2220012rdrdr 4 把把 分为前后两部分：分为前后两部分：21:2xzy2()d d,zxyz 22:2xzy 取前侧取前侧取后侧取后侧为计算为计算2 1 21(,2,22)2yzDy zyzy 2()d dzxyz 12()d dzxyz 22()d dzxyz 2()d dyzDzy z 22zy2
16、()d dyzDzy z 22zy222d dyzDzyy z oyxz22 1 22221222d2dyyzyz 322222(4)d3yy 2sin44202 cosd43ytt t 443 1234 2 2 4 ，2()d dddzxyzzxy 故故4(4)8.则有给出由如果,),(yxzz cos,cos,cos n 因此得第二类曲面积分计算的因此得第二类曲面积分计算的三合一投影法三合一投影法.例例5解法二解法二:2()d dd dzxyzzxy oyxz2 z 2()zx.xzx 221()2zxy，x d dxy 22422 22221()()d d42xyxxyxxyx y 220drr r 20d 8.奇偶对称性奇偶对称性轮换对称性轮换对称性22242()d dxyxyyx 22222242211()()d d24xyxyxxyxx y
