1、概率论概率论1.6 c.r.v.的概率密度的概率密度c.r.v.及其概率密度的定义及其概率密度的定义概率密度的性质概率密度的性质三种重要的三种重要的c.r.v.小结小结概率论概率论 c.r.v.X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间,对对这种类型的随机变量这种类型的随机变量,不能象不能象d.r.v.那样那样,以以指定它取每个值概率的方式指定它取每个值概率的方式,去给出其概去给出其概率分布率分布,而是通过给出而是通过给出“概率密度函数概率密度函数”(probability density function,p.d.f.)的方式的方式.下面我们就来介绍对下面我们就来介绍对c.r.v.的
2、描述方法的描述方法.概率论概率论 则称则称 X为为c.r.v,称称 f(x)为为 X 的的p.d.f，简称为，简称为概率密度概率密度.一、一、c.r.v.及其及其p.d.f.的定义的定义 xF xf t dt 有有,使得对任意使得对任意实数实数 ,x 对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f(x),x P Xxc.r.v的分布函数在的分布函数在R上连续上连续概率论概率论概率密度的性质概率密度的性质:1 o0)(xf2 o1)(dxxf f(x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v X 的的概率密度的
3、充要条件概率密度的充要条件概率论概率论利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1,x2,(x1 0)都是常数都是常数,则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布.2(,)XN 请记住请记住概率论概率论1 xo()f x4.05.0 8.025.0 6.11()(2),p 函数函数f(x)的图形呈钟形，的图形呈钟形，越小，曲线越陡峭，越小，曲线越陡峭，以直线以直线x=为对称轴，为对称轴，在在x=取得最大值取得最大值x处有拐点，处有拐点，y=0 是是f(x)的水平渐近线。的水平渐近线。:
4、具有下述性质具有下述性质xf ;01 xf1概率论概率论不难验证，令不难验证，令22()212xedx ,xy 2212yedy 1)2(12)2(ydey 泊松积分：泊松积分：2xedx ，概率论概率论 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N概率论概率论 正态分布最早是由正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为在测量误差时得到的，也称为Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊的重要地位。的重要地位。概率论概率论
5、设设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2N 2 22()21,2txF xedtx 概率论概率论 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定，当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布概率论概率论1,0的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准正态分布标准正态分布3 221,2txxedtx 221,2x xex 请
6、记住请记住概率论概率论)(x)(x 概率论概率论的性质的性质:;2101 dtet 022210 21212122 dtet 221()2txxedtx 概率论概率论 ;1,2xxRx dtexxt 2221 事实上事实上 ,22112uxedu x 12212uxutedu 概率论概率论X：设设例例3)1,0(N),96.1(),21(,XPXP求求)96.1(),96.1(XPXP136.08413.09773.0)1()2()21(XP解：解：9750.0)96.1()96.1(XP0250.0)96.1(1)96.1()96.1(XP)96.196.1()96.1(XPXP)96.1(
7、)96.1(95.01)96.1(2 X一一般般地地，当当)1,0(N 000)(15.0)()(xxxxxxXP有有()2()1,P Xxx )()()(abbXaP 0)(51)(5 xxxx时，时，当，当时，时，而当而当概率论概率论 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理：定理：.1,0,2NXZNX 则则若若概率论概率论 .1,0,2NXZNX 则则若若证：证：Z 的分布函数为的分布函数为 222()12ZtxXFzP ZxPxP Xxedt ,tu令
8、令则有则有 221()2uxZFzP Zxedu x .1,0 NXZ 故故定理：定理：概率论概率论 根据此定理根据此定理,只要将标准正态分布的分布函数只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.2,XXNFxP Xx 于是于是标准正态标准正态XxPx 概率论概率论 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时,(x)的值的值.4概率论概率论
9、),(2NX若若若若 XN(0,1),)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1)则则()P aXb()aXbP概率论概率论 设设 X N(10,4),求求 P(10X13),P(|X 10|2).解解:P(10X13)=0.9332 0.5P(|X10|2)=2(1)1=0.6826例例6：1012XP=(1.5)(0)1310101022 1010101310222XP概率论概率论X：设随机变量：设随机变量例例5),(2 N036.0)6.1(,XP已知已知)0(,758.0)9.5(XPXP 求求1.6(1.6)()XP XP 1.61.6()1()0.964 5.9(5.9)(
10、)0.758,XP XP解解：38.37.09.58.16.1 因此有因此有(0)1(0)P XP X8980.0)27.1()27.1(1 5.9()0.758 即即1.6()0.036 3.803.81()33XP03.81()3 概率论概率论),10,70(62NX近近似似服服从从正正态态分分布布：某某科科统统考考成成绩绩例例在参加统考的人中，及格者在参加统考的人中，及格者100人（及格分数为人（及格分数为60），计算），计算（1）不及格人数；）不及格人数；（2）成绩前）成绩前10名的人数在考生中所占的比例；名的人数在考生中所占的比例；（3）估计第）估计第10名考生的成绩。名考生的成绩。
11、n人数人数解：首先求参加统考的解：首先求参加统考的(60)1(60)P XP X这表明及格人数占统考人数的比例为这表明及格人数占统考人数的比例为84.13%，即，即1198413.0100 nn7060701()1010XP60701()10 1(1(1)0.8413概率论概率论名考生所占的比例为名考生所占的比例为）前）前（102%4.808413.01191010 n分，则分，则名考生成绩为名考生成绩为）设第）设第（0103x0()0.08413P Xx由由可可得得847.8337.1107000 xx得得查标准正态分布函数表查标准正态分布函数表人人）不不及及格格的的人人数数（1910070
12、70()()1010 xXP XxP 070()0.9158710 x 概率论概率论解解P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h.再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:例：例：公共汽车车门的高度是按男子与车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在头碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.假设男子身高假设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求概率论概率论因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.9
13、96170h因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.)1,0(6170NX 所以所以 .17017066XhP 1706h 概率论概率论由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (
14、1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974 3 3 准则准则5概率论概率论将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”.XYN(0,1)时，时，2(,)XN X：设随机变量：设随机变量例例7)9,60(N 使使求求分分点点4321,xxxx中中的的概概率率落落在在),(),(),(),(
15、),(44332211 xxxxxxxxX7:24:38:24:7之比为之比为之之比比落落在在五五个个区区间间中中的的概概率率解解：由由题题意意 X7:24:38:24:7为为93.010071)(1)(44 xXPxXP因此因此69.01007241)(1)(33 xXPxXP10072438247 而而X因为因为 因此有因此有)9,60(N5.645.136093.0)360(444 xxx5.615.036069.0)360(433 xxx对对称称，因因此此由由对对称称性性得得而而密密度度函函数数关关于于直直线线60 x5.58)605.61(605.55)605.64(6021 xx 0,00,)()(.:1xxexrxfXvrcxrr 若若定定义义),(rX 称称,0，r 其中其中 01)(dxexrxr，不难验证不难验证 ,1)(dxxf4.分布分布:几个特例几个特例,1)()1(rxf中取中取在在 0,00,)(xxexfx 。的指数分布的指数分布此即参数为此即参数为,)2(Nr 取取 0,00,)!1()(1xxexrxfxrr .)(分布分布阶的厄兰阶的厄兰称为称为erlangn,2,21)3(Nnnr 取取 0,00,)2(21)(2122xxexnxfxnn，nX分布分布的的服从自由度为服从自由度为称称2)(2nX
