1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义如何求作两个非零向量的和向量？如何求作两个非零向量的和向量？首尾相接首尾连首尾相接首尾连OBABOAabO OA AB Babab提示提示:如何求作两个非零向量的差向量？如何求作两个非零向量的差向量？首同尾连指被减首同尾连指被减BAOBOAO OA AB Bababab提示提示:问题：问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ，那么它在同一方向上按照相同的速度行走那么它在同一方向上按照相同的速度行走3 3秒钟的位秒钟的位移对应的向量怎样表示？是移对应的向量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向吗？兔子在相反方向上按照相同的速度
2、行走上按照相同的速度行走3 3秒钟的位移对应的向量又怎秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是样表示？是 吗吗?请同学们自己思考请同学们自己思考.a3a3a作匀速直线运动的飞机位移与速度作匀速直线运动的飞机位移与速度的关系是的关系是 吗？吗？s=tv带着上面的问题，我们进入本节课的学习！带着上面的问题，我们进入本节课的学习！1.1.掌握向量的数乘运算及几何意义掌握向量的数乘运算及几何意义.2.2.熟练运用向量的数乘运算律进行计算熟练运用向量的数乘运算律进行计算.（重点）（重点）3.3.理解两个向量共线的条件，能用向量共线的条件理解两个向量共线的条件，能用向量共线的条件证明点共线和直线平行证明点共线和
3、直线平行.（重点、难点）（重点、难点）思考思考1 1：已知非零向量已知非零向量 ，如何求作向量，如何求作向量 和和（）（）（）？）？O OA AB BC CO OM MN NP PO C=uuu r探究点探究点1 1 向量数乘的定义向量数乘的定义aaaaaaaaaaaaaaaaa （）（）（）（）（）O Paaa提示提示:思考思考2 2：向量向量 和和(-)+(-)+(-)(-)+(-)+(-)分分别如何简化其表示形式？别如何简化其表示形式？aaaaaa思考思考3 3：向量向量3 3 和和3 3 与向量与向量 的大小和方向有的大小和方向有什么关系？什么关系？O OA AB BC CO OM M
4、N NP Paaaaaaaaaa 记为记为3 3 ，（）（）（）（）（）记为）记为3 3 .aaaaaaaa提示提示:思考思考4 4：设设 为非零向量，那么为非零向量，那么 还是向还是向量吗？它们分别与向量量吗？它们分别与向量 有什么关系？有什么关系？a2a2a3和-a2a3a2a-提示提示:（1 1）|=|=|；（2 2）00时时,与与 方向相同；方向相同；00时时,与与 方向相反；方向相反；=0=0时时,=.=.aa思考思考5 5：一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作记作 ，该向，该向量的长
5、度及方向与向量量的长度及方向与向量 有什么关系？有什么关系？aaaaaaaa0提示提示:如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那的中点，那么向量么向量 与与 ，与与 分别有什么关系？分别有什么关系？BDuuu rB Cuuu rADD Muuuu rA AB BC CD DM M1B DB C2A D3D M解答解答:【即时训练即时训练】探究点探究点2 2 向量数乘的运算律及共线向量基本定理向量数乘的运算律及共线向量基本定理思考思考1 1：你认为你认为2 2（5 5 ），），2 2 2 2 ，可分别转化为什么运算？可分别转化为什么运算？a（3+2）
6、aab-2-2(5(5 )=-10)=-10 ；2 2 2 2 =2(2(+)；(3(3 )=3=3 2a.2aaaaaabb提示提示:思考思考2 2：一般地，设一般地，设，为实数，则为实数，则()，()，()分别等于什么？分别等于什么？abaaaa2a6)2(3a)2(3a6a?=1(a)()a （）提示提示:(23)aa2a32()aaa（）(23)23?aaaa提示提示:2()22?abab3()abab（）abba22abA Aa2b2B BC CD DE E提示提示:提升总结：提升总结：向量数乘的运算律向量数乘的运算律1()()aa（）2()aaa（）3()abab（）思考思考3 3
7、：对于向量对于向量 （）和）和 ，若存在实数，若存在实数，使，使 =，则向量，则向量 与与 的方向有什么关系？的方向有什么关系？baa0baab思考思考4 4：若向量若向量 （）与）与 共线，则一定存在实数共线，则一定存在实数，使，使 =成立吗？成立吗？abba思考思考5 5：综上可得向量共线定理：向量综上可得向量共线定理：向量 （）与）与共线，当且仅当有唯一一个实数共线，当且仅当有唯一一个实数，使，使 =.若若 ，上述定理成立吗？，上述定理成立吗？abbaa0提示：共线提示：共线提示：一定存在提示：一定存在提示：不成立提示：不成立a0a0思考思考6 6：若存在实数若存在实数，使，使 ，则，则
8、A A，B B，C C三三点的位置关系如何？点的位置关系如何？ABBC ABBC A A，B B，C C三点共线三点共线提示提示:思考思考7 7：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量性运算，对于任意向量 ，以及任意实数以及任意实数，x x，y y，(x(x y y ）可转化为什么运算？）可转化为什么运算？aa (x(x y y ）=xx yy .ababbb提示提示:A AB BP PO O1()2O PO AO B如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 ，的关系如的关系如何？何？OB OAOP解答解答:【即时训练即
9、时训练】例例1.1.计算计算（1 1）（）（3 3）4 4 ；（2 2）3 3（）2 2（）；（3 3）（）（2 2 3 3 ）（）（3 3 2 2 ）.aaaaaac【解析】（1）1）原原式式=(-3=(-34)a=-12a;4)a=-12a;（2）2）原原式式=3a+3b-2a+2b-a=5b;=3a+3b-2a+2b-a=5b;（3）3）原原式式=2a+3b-c-3a+2b-c=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.=-a+5b-2c.bbbbc向量与实数之间可以像多项式一样进行运算向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.【变式练习变式练习】A23O O例例2.2.如图，已知
10、任意两个非零向量如图，已知任意两个非零向量 试作试作 你能判断你能判断A A，B B，C C三点之间的三点之间的位置关系吗？为什么？位置关系吗？为什么？A AB BC C A AC C=2 2A AB B分分析析：A A，B B，C C三点共线三点共线.a,b，OAa b ，OBab OCab 2，3.baabbb【解析解析】分别作向量分别作向量 ，过点，过点A A，C C作直线作直线AC.AC.观察发现，不论向量观察发现，不论向量 怎样变化，点怎样变化，点B B始终在直线始终在直线ACAC上，猜想上，猜想A A，B B，C C三点共线三点共线.事实上，因为事实上，因为OA OB OC ,AB
11、 OB OAa2b(ab)b,=-而而 AC=OC-OA AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=a+3b-(a+b)=2b,=2b,于于是是 AC=2AB.AC=2AB.所 所以以，A,B,C三A,B,C三共共.点线a b,根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形ABCDABCD的形状，并给出证明的形状，并给出证明.1(1)ADBC;(2)ADBC3(3)ABDC,ABAD 且简析简析:（1 1）平行四边形，一组对边平行且相等）平行四边形，一组对边平行且相等.（2 2）梯形，一组对边平行且不相等）梯形，一组对边平行且不相等.（3 3）菱形，一组对
12、边平行且相等，一组邻边相等）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等.【变式练习变式练习】例例3.3.如图，如图，ABCDABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M M，且，且 =，=，你能用，你能用 ,表示表示 ，和和 吗？吗？A BADMA MBMCMD 在在平平行行四四形形ABCD中ABCD中，因 因AC=AB+AD=a+b,AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b.DB=AB-AD=a-b.又 又因因平平行行四四形形的的角角互互相相平平，解解:分分边为为边两条对线 1 1所所以以MA=-ACMA=-AC2 2111111 =-(a+b)=-a-b;=-(a+b)=-a-
13、b;222222brabraM MA B A B D CD Cabr 11111111MB=DB=(a-b)=a-b;MB=DB=(a-b)=a-b;22222222 111111MC=AC=a+b;MC=AC=a+b;222222 111111MD=-MB=-DB=-a+b.MD=-MB=-DB=-a+b.222222 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点M M是是ABAB的中点，点的中点，点N N在线段在线段BDBD上，且有上，且有BN=BDBN=BD，求证：，求证：M M，N N，C C三点共线三点共线.31ABCDMN提示：提示：设设 ，AB=a BCb,则则 11ab,631ab2M C113ab63（）.MN【变式练习变式练习】1.,R,()(1)0,a0,aa;(5)0,a0,aa.A.2B.3 C.4 D.5 已知则在以下各命题中正确的说法共有与 方向一定相反与 方向一定相同与 是共线向量与方向一定相同与方向一定相反个个个个D DBC212定义定义运算律运算律数乘向量数乘向量应用应用寻求真理的只能是独自探索的人，和那些并不真心热爱真理的人毫不相干。帕斯捷尔纳克
