1、1第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 4.3 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的性质与解空间一、齐次线性方程组解的性质与解空间二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法2第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 本节所考虑的齐次线性方程组为本节所考虑的齐次线性方程组为.0 XA简记为简记为一、齐次线性方程组解的性质与解空间一、齐次线性方程组解的性质与解空间 主要讨论主要讨论 有非零解的情况。有非零解的情况。0 XA3第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 1.解的性质解的性质,0)(2121 AAA证明证明0,021 AA(1
2、)由由 有有(2)由由 有有,0)(kAkA0 A表明表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间一、齐次线性方程组解的性质与解空间(1)若若 为为 的解，的解，21,0 XA21 也是也是 的解。的解。则则0 XA21 也是也是 的解。的解。故故 0 XA k 也是也是 的解。的解。即即0 XA(2)若若 为为 的解，的解，k 也是也是 的解。的解。则则 0 XA0 XA P118 定理定理4.3 4第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 1.解的性质解的性质2.解空间解空间称之为齐次线性方程组的称之为齐
3、次线性方程组的解空间解空间，解空间解空间又称为又称为 A 的的零空间零空间或者或者 A 的的核核。启示启示说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次线性方程组的解。线性方程组的解。一、齐次线性方程组解的性质与解空间一、齐次线性方程组解的性质与解空间齐次线性方程组齐次线性方程组 的所有解构成一个向量空间，的所有解构成一个向量空间，定义定义0 XA记为记为.)(AN P118 5第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法(1)线性无关；线性无关；t ,21满足：满足：(2)的任何一个解都可以由的任何
4、一个解都可以由0 XAt ,21设设 为齐次线性方程组为齐次线性方程组 的一组解，的一组解，0 XAt ,21定义定义1.基础解系基础解系线性表出。线性表出。称称 为方程组为方程组 的的(一个一个)基础解系基础解系。t ,210 XA P118 定义定义 4.36第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系说明说明一组基础解系一组基础解系，,2211ttkkkx 其中其中 是任意常数。是任意常数。rnkkk,21(1)齐次线性方程组齐次线性方程组的基础解系就是其的基础解系就是其解空间的基解空间的基，因此基础解系是因此基础解系是
5、不惟一不惟一的。的。(2)一组基础解系中所含的解向量的个数是一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一惟一的，的，其个数即为其个数即为解空间的维数解空间的维数。(3)如果如果 为齐次线性方程组为齐次线性方程组 的的t ,210 XA那么那么 的的通解通解可表示为可表示为0 XA P119 7第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 不妨设不妨设 A 的前的前 r 个列向量线性无关，个列向量线性无关，二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法于是于是 A 可化为可化为设齐次线性方程组的系数矩阵设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为的秩为,)
6、(nrAr A 0000000010011,11,1nrrrnrbbbb初等行变换初等行变换8第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法相应地，齐次线性方程组相应地，齐次线性方程组 等价等价(或或同解同解)变形为变形为0 XA9第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法进一步改写为进一步改写为 nrnrrrrnnrrnnrrxbxbxxbxbxxbxbx11,211,22111,11其中其中n
7、rrxxx,21 是是自由未知量自由未知量，共有，共有(n r)个。个。由此得到方程组由此得到方程组 A X=0 的的所有所有解为：解为：10第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法rnnrrkxkxkx 2211 rnnrrrrrnnrrnnrkbkbxkbkbxkbkbx 11,211,22111,11其中，其中，rnkkk,21任意取值。任意取值。11第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解
8、系的求法,0011,1,11 rrrbb 令令,0102,2,12 rrrbb,1001 nrnrnbb 12第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法rn ,21则则(1)是方程组的一组是方程组的一组线性无关线性无关的的解解，方程组的方程组的所有所有解可由解可由rn ,21(2)线性表示，线性表示，即即,2211rnrnkkkX 因此因此 是方程组的一组基础解系。是方程组的一组基础解系。rn ,21注：注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要
9、明确地指出基础解系，基础解系，只需按前面的求解过程完成即可。只需按前面的求解过程完成即可。13第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法1.基础解系基础解系2.基础解系的求法基础解系的求法3.关于解空间的维数关于解空间的维数定理定理设设 A 为为 阶矩阵，阶矩阵，nm 解空间解空间 的维数为：的维数为：)(AN.)()(dimArnAN 推论推论设设 A 为为 阶矩阵，则阶矩阵，则nm(1)齐次线性方程组齐次线性方程组 A X=0 的任意的任意 个线性个线性)(Arn 无关的解都是它的无关的解都是它的(一个一个)基础解系。基础解系。(2)A X
10、=0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是.)(nAr 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 A X=0 的的 P119 定理定理 4.4 P120 推论推论1 推论推论2 14第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 例例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 00003/42103/5201(1)对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形解解 341122121221A 463046301221 00003/42101221122rr 13rr 23rr )3(2 r212rr 15第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 (2)由标准
11、阶梯形得到方程组为由标准阶梯形得到方程组为 .0)3/4(2,0)3/5(2432431xxxxxx(3)由此得到方程组的解：由此得到方程组的解：4433432431)3/4(2)3/5(2xxxxxxxxxx(4)写成向量形式为写成向量形式为:103/43/50122214321kkxxxx其中其中21,kk任意取值。任意取值。其中其中43,xx任意取值。任意取值。16第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 .07653,023,05532,03454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例 求解线性齐次方程组求解线性齐次方程组 76513
12、123115531234111A解解 00000000001311021201初等行变换初等行变换故方程组有无穷多解，故方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量。其基础解系中有三个线性无关的解向量。,325)(Arn由于由于17第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 令自由未知量令自由未知量 543xxx,010 ，100得到方程组的一个基础解系为得到方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为，332211 kkkx ,001121 ,010312 .100123 其中其中 为任意常数。为任意常数。321,kkk,001 分别分别18第四章 线性方程组
13、4.3 齐次线性方程组解的结构 例例 求解线性齐次方程组求解线性齐次方程组 74242436240121113011A解解 000006/210006/501106/70101初等初等行变换行变换两个线性无关的解向量。两个线性无关的解向量。,2)(Arn故方程组有无穷多解，故方程组有无穷多解，由于由于3x5x其中其中 为为自由未知量自由未知量。53,xx其基础解系中有其基础解系中有19第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 令自由未知量令自由未知量 53xx得到方程组的一个基础解系为得到方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为，2211 kkx 其中其中 为任意常
14、数。为任意常数。321,kkk分别分别,01 ,60 ,0111 .2572 016020第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 (1)取取11(1,1,1,0,0),T 2122111(,)(,)222|111|求该方程组解空间的标准正交基求该方程组解空间的标准正交基附：附：1(19,17,2,6,18).3T(2)单位化单位化1(1,1,1,0,0),3T1(19,17,2,6,18).1014T 21第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 从而从而 B 的三个列线性相关，的三个列线性相关，故故.0|B,1)(3)(dim ArAN例例设设 B 是三阶非零矩阵，它的
15、每一列都是线性齐次方程组是三阶非零矩阵，它的每一列都是线性齐次方程组011312221321 xxxXA 的解，求的解，求 的值和的值和.|B解解由于线性齐次方程组由于线性齐次方程组 有非零解，有非零解，0 XA,011312221|A.1 当当 时，时，1 ,2)(Ar即即 的基础解系中只含一个解向量，的基础解系中只含一个解向量，0 XA因此因此 P122 例例8 22第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 ,1)1(nn例例设设 A 为为 n 阶方阵，且阶方阵，且 r(A)=n 1，证明，证明.1)(*Ar证证由由 r(A)=n 1，有，有,0|A,0|*IAAA又由又由 A
16、中至少有一个中至少有一个 n 1 阶子式不等于零，阶子式不等于零，故故.1)(*Ar即即 的每一列都是线性齐次方程组的每一列都是线性齐次方程组 的解，的解，*A0 XA(本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过)根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得)()(dimArnAN 即即 的基础解系中只含一个解向量，的基础解系中只含一个解向量，0 XA,不妨设为不妨设为有有.0*A则则 的每一列都是的每一列都是 的倍数，的倍数，*A 23第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 例例设设 A 为为 阶实矩阵，证明阶实矩阵，证明()().Tr Ar A A mn 证证(1)先证方程组先证方程组 和和 等价。等价。0AX 0TA AX 0;TA AX0,AX 由由0,TTX A AX0,TA AX 由由(,)0,AX AX0.AX(2)由方程组由方程组 和和 等价，有等价，有0AX 0TA AX ()(),TN AN A A(解空间相等解空间相等)dim()dim(),TN AN A A()(),Tnr Anr A A()().Tr Ar A A P122 例例9 24第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 轻松一下吧
