1、5.2 平面间的夹角 D DC CB BA AE EF FA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1z zy yE11、平面间的夹角、平面间的夹角平面平面1与与2相交于直线相交于直线l，点，点R为直线为直线l上任意上任意一点，过点一点，过点R，在平面，在平面1上作直线上作直线l 1l，在，在平面平面2上作直线上作直线l 2 l，则，则l 1 l 2=R。我们把。我们把直线直线l 1和和l 2的夹角叫做平面的夹角叫做平面1与与2的夹角的夹角l1l12Rl 212MNR1n2n12MNR1n2n1212,;2n nn n 当0时1212,.2n nn n 当时2、两平面夹角的表示、两平面夹角
2、的表示例1、如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1与平面ABCD的夹角.)1,0,0(,:22111nnnABCDABCD则和分别是的法向量平面与设平面解xzA1D1C1B1ABCDOy00),(1111BCnBAnzyxn则设00 xzy即)0,0,1(),1,1,0(1BCBA因为A1(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),所以xzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角4,21nn此时得取),1,1,0(1n.22|,cos212121nnnnnnxzA1D1C1B1ABCDOy4,21nn
3、因此，平面BCD1A1与平面ABCD的夹角则的法向量若取平面),1,1,0(111nABCD.22|,cos212121nnnnnn43,21nnxzA1D1C1B1ABCDOy.).2,0,1(),3,2,1(12211值求两个平面夹角的余弦的法向量为平面的法向量为平面练习nn、.1470|,coscos212121nnnnnn.1,2,3,4,2111111的余弦值求二面角上的点是已知中在长方体练习CEDCEBABEAAADABDCBAABCD、xzA1D1C1B1ABCDOyE)2,3,4(,)0,0,3(,)0,3,0(,:11CEDzyxAAADABA则有空间直角坐标系轴的正向建立轴
4、轴为分别为原点以解AB面面面面棱棱 a从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形定义定义构成构成表示法表示法3 3、二面角、二面角二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在两两个面内个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这两条于棱的两条射线，这两条射线所成的射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角。.1,2,3,4,2111111的余弦值求二面角上的点是已知中在长方体练习CEDCEBABE
5、AAADABDCBAABCD、xzA1D1C1B1ABCDOyE)2,3,4(,)0,0,3(,)0,3,0(,:11CEDzyxAAADABA则有空间直角坐标系轴的正向建立轴轴为分别为原点以解则有垂直与平面设向量,),(1DECzyxn 0),2,1,1(2),2,2(zzzzzn其中xzA1D1C1B1ABCDOyEzyxzyxyxECnDEn210230331)2,3,1()0,3,3(1ECDE于是36400411220101|cos,)2,0,0(,),2,1,1(10101101100AAnAAnCDECAAnCDEAADECnn的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取xzA1D1C1B1ABCDOyE12MNR1n2n12MNR1n2n1212,;2n nn n 当0时1212,.2n nn n 当时=MRN为两个平面二面角的平面角
