1、8.7 8.7 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法要点梳理要点梳理1.1.直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量与平面的法向量的确定 （1 1）直线的方向向量：）直线的方向向量：l l是空间是空间一直线，一直线，A A、B B是直是直 线线l l上任意两点，则称上任意两点，则称 为直线为直线l l的方向向量，与的方向向量，与 平等的任意平等的任意 也是直线也是直线l l的方向向量。的方向向量。（2 2）平面的法向量可利用方程组求出：设）平面的法向量可利用方程组求出：设a a,b b是是 平面平面内两不共线向量，内两不共线向量，n n为平面为平面的法向量，的法向量，则求法向量的方
2、程组为则求法向量的方程组为非零向量非零向量 .00bnan基础知识基础知识 自主学习自主学习ABAB2.2.空间向量与空间角的关系空间向量与空间角的关系 (1)(1)设异面直线设异面直线l l1 1,l l2 2的方向向量分别为的方向向量分别为m m1 1,m m2 2，则则l l1 1与与l l2 2的夹角的夹角满足满足cos cos=.(2)(2)设直线设直线l l的方向向量和平面的方向向量和平面的法向量分别的法向量分别 为为m m,n n，则直线，则直线l l与平面与平面的夹角的夹角满足满足sin sin=.(3)(3)求二面角的大小求二面角的大小 （）如图，）如图，ABAB、CDCD是
3、二面角是二面角l l的两个的两个 面内与棱面内与棱l l垂直的直线垂直的直线,则二面角的大小则二面角的大小=.|cos|cosm m1 1,m m2 2|cos|cosm m,n n|CDAB,()()如图，如图，n n1 1，n n2 2分别是二面角分别是二面角l l的两的两个半平面个半平面，的法向量，则二面角的大小的法向量，则二面角的大小满足满足cos cos=.coscosn n1 1,n n2 2或或-cos-cosn n1 1,n n2 2 3.3.点面距的求法点面距的求法 如图如图,设设ABAB为平面为平面的一条斜线段的一条斜线段,n n为平面为平面的的 法向量法向量,则则B B到
4、平面到平面的距离的距离d d=.|nnAB基础自测基础自测1.1.若直线若直线l l1 1,l l2 2的方向向量分别为的方向向量分别为a a=(2,4,-4),=(2,4,-4),b b=(-6,9,6)(-6,9,6)，则，则()()A.A.l l1 1l l2 2 B.B.l l1 1l l2 2 C.C.l l1 1与与l l2 2相交但不垂直相交但不垂直 D.D.以上均不正确以上均不正确 解析解析 a ab b=-12+36-24=0=-12+36-24=0，a ab b，l l1 1l l2 2.B2.2.已知平面已知平面内有一个点内有一个点MM（1 1，-1-1，2 2），平面）
5、，平面 的一个法向量是的一个法向量是n n=（6 6，-3-3，6 6），则下列点），则下列点P P中中 在平面在平面内的是内的是()()A.A.P P（2 2，3 3，3 3）B.B.P P（-2-2，0 0，1 1）C.C.P P（-4-4，4 4，0 0）D.D.P P（3 3，-3-3，4 4）解析解析 n n=（6 6，-3-3，6 6）是平面）是平面的法向量，的法向量，n n ，在选项，在选项A A中，中，=（1 1，4 4，1 1），），n n =0.=0.AMPMPMP.1010,cos),2,1,0(),0,2,2(),2,1,0(),0,2,0(,1DDEACDEACECz
6、yxDDDCDA从而选直角坐标系轴建立空间为分别以解析解析DB 5.5.已知空间三点已知空间三点A A(1(1，-1-1，-1)-1)，B B(0(0，1 1，2),2),C C(0(0，6 6，6)6)，则向量，则向量OCOC在平面在平面OABOAB法向量方向法向量方向 上的投影是上的投影是 .解析解析 设平面设平面OABOAB的法向量为的法向量为n n=（x x，y y，z z），），n nOAOA=x x-y y-z z=0=0 n nOBOB=y y+2+2z z=0=0，得得x x=1,=1,y y=2.=2.取取n n=(1,2,-1),(1,2,-1),计算得：计算得：|OCOC
7、|cos|cosn n,OCOC=6 6.6nOCn则由则由 令令z z=-1,=-1,题型一题型一 利用空间向量证明平行与垂直利用空间向量证明平行与垂直 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P PABCDABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，ABABADAD，ACACCDCD,ABCABC=60=60,PAPA=ABAB=BCBC,E E是是PCPC的中点的中点.证明：证明：(1)(1)AEAECDCD;(2)(2)PDPD平面平面ABEABE.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪（1 1）建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系确定确定 的坐标的坐标CD、AE计算计算
8、CDAEAEAECDCD （2 2）求面求面ABEABE的法向量的法向量n n判断满足判断满足 =k kn n(k kR R）PD 平面平面ABEABEPD或或确定确定 坐标坐标AE、AB、PD计算计算AEPDABPD,PDPDAEAEPDPDABABPDPD平面平面ABEABE 证明证明 ABAB、ADAD、APAP两两垂直，建立如图两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设所示的空间直角坐标系，设PAPA=ABAB=BCBC=1=1，则则P P（0 0，0 0，1 1）.(1)(1)ABCABC=60=60，ABCABC为正三角形为正三角形.),0,332,0(,332,0,),0,0()
9、.21,43,41(),0,23,21(DyCDACCDACyDEC则即得由设),21,43,41().0,63,21(AECD又.,043634121CDAECDAECDAE即(2)(2)方法一方法一).1,332,0(),1,0,0(PDP.,0),0,0,1(.,0)1(2133243AEBPDAAEABABPDABPDABAEPDAEPDPDAE平面又即又方法二方法二),21,43,41(),0,0,1(AEAB.,/.33),1,332,0().3,2,0(,3,2,02143410),(ABEPDABEPDPDPDPDzyzyxxzyxABE平面即平面显然则令则的一个法向量为设平面
10、nnnn 证明线面平行和垂直问题，可以用几证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法何法，也可以用向量法.用向量法的关键在于构造用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系，其若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便证法较为灵活方便.探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 如图所示如图所示,平面平面PADPAD平面平面 ABCDABCD，ABCDABCD为正方形，为正方形，PADPAD是直是直 角三角形，且角三角形，且PAPA=ADAD=2=2，E E、F F、G
11、G分分 别是线段别是线段PAPA、PDPD、CDCD的中点的中点.求证：求证：PBPB平面平面EFGEFG.证明证明 平面平面PADPAD平面平面ABCDABCD且且ABCDABCD为正方形为正方形,ABAB、APAP、ADAD两两垂直，以两两垂直，以A A为坐标原点，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系A Axyzxyz，则则A A(0,0,0)(0,0,0)、B B(2,0,0)(2,0,0)、C C(2,2,0)(2,2,0)、D D(0,2,0)(0,2,0)、P P(0,0,2)(0,0,2)、E E(0,0,1)(0,0,1)、F F(0,1,1)(
12、0,1,1)、G G(1,2,0).(1,2,0).),1,1,1(),0,1,0(),2,0,2(FGFEPB即即(2,0,-2)=(2,0,-2)=s s(0,-1,0)+(0,-1,0)+t t(1,1,-1)(1,1,-1)，./,.,22.2,2,0,2EFGPBEFGPBFGFE、PBFGFEFGFEPBtststt平面平面共面与不共线与又解得,FGtFEsPB设题型二题型二 利用向量求空间角利用向量求空间角 （20082008海南）海南）如图所如图所 示，已知点示，已知点P P在正方体在正方体ABCDABCDA AB B C CD D的对角线的对角线BDBD上上,PDAPDA=6
13、0=60.(1)(1)求求DPDP与与CCCC所成角的大小所成角的大小;(2)(2)求求DPDP与平面与平面AAAAD DD D所成角的大小所成角的大小.建立空间直角坐标系，利用空间向建立空间直角坐标系，利用空间向 量方法求解量方法求解.思维启迪思维启迪解解 如图所示，以如图所示，以D D为原点，为原点，DADA为单位长度建立为单位长度建立空间直角坐标系空间直角坐标系D Dxyzxyz.则则 =（1 1，0 0，0 0），），=(0,0,1).=(0,0,1).连接连接BDBD,B BD D.在平面在平面BBBBD DD D中中,延长延长DPDP交交B BD D于于H H.设设 =(=(m m
14、,m m,1)(,1)(m m0),0),由已知由已知 =60=60,DACC DHDADH,.122,cos|2mmDADHDHDADHDA可得由.45,45,222111022022,cos)1(所成的角为与即所以因为CCDPCCDHCCDH.30,60,212101122022,cos).0,1,0()2(所成的角为与平面可得所以因为的一个法向量是平面DDAADPDCDHDCDHDCDDAA)1,22,22(,22DHm所以解得 （1 1）异面直线的夹角与向量的夹角有所）异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系不同，应注意思考它们的区别与联系.（2 2）直线与平面的
15、夹角可以转化成直线的方向向）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化,所以要注意它们的区别与联系所以要注意它们的区别与联系.探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 （20092009天津）天津）如图，在五面体如图，在五面体ABCDEFABCDEF中，中，FAFA 平面平面ABCDABCD，ADADBCBCFEFE，ABAB ADAD，MM为为ECEC的中点，的中点，AFAF=ABAB=BCBC=FEFE=.=.(1)(1)求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE所成的角的大小；所成的角的大小；(2)(2)证明平面
16、证明平面AMDAMD平面平面CDECDE;(3)(3)求二面角求二面角A ACDCDE E的余弦值的余弦值.(1)(1)解解 如图所示，建立空间直如图所示，建立空间直 角坐标系，点角坐标系，点A A为坐标原点，设为坐标原点，设 ABAB=1=1，依题意得，依题意得B B(1,0,0),(1,0,0),C C(1,1,0)(1,1,0)，D D(0,2,0),(0,2,0),E E(0,1,1),(0,1,1),F F(0,0,1)(0,0,1)，AD21).21,1,21(M.2122100|,cos),1,1,0(),1,0,1(DEBFDEBFDEBFDEBF于是所以异面直线所以异面直线B
17、FBF与与DEDE所成的角的大小为所成的角的大小为6060.(2)(2)证明证明.,.00),0,2,0(),1,0,1(),21,1,21(ADCEAMCEADCE，AMCEADCEAM因此可得由又又AMAMADAD=A A，故，故CECE平面平面AMDAMD.而而CECE平面平面CDECDE，所以平面，所以平面AMDAMD平面平面CDECDE.(3)(3)解解 设平面设平面CDECDE的法向量为的法向量为u u=（x x,y y,z z)，令令x x=1,=1,可得可得u u=(1,1,1).=(1,1,1).又由题设，平面又由题设，平面ACDACD的一个法向量的一个法向量v v=(0,0
18、,1).=(0,0,1).因为二面角因为二面角A ACDCDE E为锐角，所以其余弦值为为锐角，所以其余弦值为 .0,0.0,0zyzxDECE于是则uu.3313100|,cos,vuvuvu所以.33题型三题型三 利用向量求空间距离利用向量求空间距离 （1212分）在三棱锥分）在三棱锥S SABCABC中，中，ABCABC是边长为是边长为4 4的正三角形，平面的正三角形，平面 SACSAC平面平面ABCABC，SASA=SCSC=，MM、N N分别为分别为ABAB、SBSB的中点，如图所示的中点，如图所示.求点求点B B到平面到平面CMNCMN的距离的距离.由平面由平面SACSAC平面平面
19、ABCABC,SASA=SCSC,BABA=BCBC,可知本题可以取可知本题可以取ACAC中点中点O O为坐标原点，分别为坐标原点，分别 以以OAOA，OBOB，OSOS所在直线为所在直线为x x轴，轴，y y轴轴,z z轴建立空轴建立空 间直角坐标系，用向量法求解间直角坐标系，用向量法求解.32思维启迪思维启迪解解 取取ACAC的中点的中点O O，连接，连接OSOS、OBOB.SASA=SCSC，ABAB=BCBC，ACACSOSO，ACACBOBO.平面平面SACSAC平面平面ABCABC，平面平面SACSAC平面平面ABCABC=ACAC，SOSO平面平面ABCABC，SOSOBOBO.
20、4.4分分如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系O Oxyzxyz，则则B B(0,2 ,0),(0,2 ,0),C C(-2,0,0),(-2,0,0),S S(0,0,2 ),(0,0,2 ),MM（1 1，0 0），），N N（0 0，）.6.6分分32323),2,0,1(),0,3,3(MNCM解题示范解题示范设设n n=(=(x x,y y,z z)为平面为平面CMNCMN的一个法向量，的一个法向量，点到平面的距离，利用向量法求解比较点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法简单，它的理论基础仍出于几何法.如本题如本题,事实上，事实上，作作B
21、HBH平面平面CMNCMN于于H H.),0,3,1(MB.324|).1,6,2(,6,2,1,02033nnnnnMBdCMNByxzzxMNyxCM的距离到平面点则取则8 8分分1010分分1212分分探究提高探究提高及由MHBMBH,BMnnBH,|,|nnnnnBMBHBHBMBH.|nn BMd即知能迁移知能迁移3 3 如图所示，已知两个正四如图所示，已知两个正四 棱锥棱锥P PABCDABCD与与Q QABCDABCD的高分别的高分别 为为1 1，2 2，ABAB=4.=4.（1 1）证明：）证明：PQPQ面面ABCDABCD；（2 2）求异面直线）求异面直线AQAQ与与PBPB
22、夹角的余弦值；夹角的余弦值；（3 3）求点）求点P P到面到面QADQAD的距离的距离.（1 1）证明证明 如图，连结如图，连结ACAC，BDBD，设，设ACACBDBD=O=O，P PABCDABCD与与Q QABCDABCD都是正四棱锥，都是正四棱锥，POPO面面ABCDABCD，QOQO面面ABCDABCD，从而从而P P、O O、Q Q三点在一条直线上三点在一条直线上.PQPQ面面ABCDABCD.（2 2）解解 由题设知，由题设知，ABCDABCD是正方形，是正方形，ACACBDBD.由（由（1 1）知，）知，PQPQ面面ABCDABCD，故可分别以，故可分别以CACA，DBDB,Q
23、PQP为为x x，y y，z z轴建立空间直角坐标系，由条件得轴建立空间直角坐标系，由条件得P P（0 0，0 0，1 1）,A A（2 2 ，0 0，0 0）,Q Q（0 0，0 0，-2-2）,B B（0 0，2 2 ，0 0），），22.93|,cos).1,22.0(),2,0,22(PBAQPBAQPBAQPBAQ于是.93所成角的余弦值为与从而异面直线PBAQ(3)(3)解解 由由(2)(2)得得D D(0,-2 ,0)(0,-2 ,0)，=（0 0，0 0，-3-3），设），设n n=（x x，y y，z z）是面）是面QADQAD的的一个法向量，一个法向量，2).0,22,22
24、(ADPQ.223|).2,1,1(,1.0,02,0,0nnnnnPQdQADPxyxzxADAQ的距离到面点得不妨取得由方法与技巧方法与技巧1.1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进 行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步共分三步:（1 1）建立立体图形与空间向量的联）建立立体图形与空间向量的联 系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及 的点、线、面，把立体几何问题转化为向量
25、问的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问 题；（题；（2 2）通过向量运算，研究点、线、面之间）通过向量运算，研究点、线、面之间 的位置关系；（的位置关系；（3 3）根据运算结果的几何意义来）根据运算结果的几何意义来 解释相关问题解释相关问题.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的 夹角来运算夹角来运算.(1)(1)求两异面直线求两异面直线a a、b b的夹角的夹角，须求出它们的，须求出它们的 方向向量方向向量a a，b b的夹角的夹角,则则cos cos=|cos=|cosa a,b b|.|.(2)(2)
26、求直线求直线l l与平面与平面所成的角所成的角 可先求出平面可先求出平面的法向量的法向量n n与直线与直线l l的方向向量的方向向量a a 的夹角的夹角.则则sin sin=|cos=|cosn n,a a|.|.(3)(3)求二面角求二面角l的大小的大小，可先求出两个，可先求出两个 平面的法向量平面的法向量n n1 1,n n2 2所成的角，则所成的角，则=n n1 1,n n2 2或或 -n n1 1,n n2 2.3.3.求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开 以该点为端点的平面的斜线段以该点为端点的平面的斜线段.失误与防范失误与防范1.1.用向
27、量知识证明立体几何问题，仍然离不开立用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立 体几何中的定理体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证如要证明线面平行，只需要证 明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行，用向量方法证直线即化归为证明线线平行，用向量方法证直线 a ab b，只需证明向量，只需证明向量a a=b b（R R）即可）即可.若用若用 直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面 平行，仍需强调直线在平面外平行，仍需强调直线在平面外.2.2.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为利用
28、向量求角，一定要注意将向量夹角转化为 各空间角各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范因为向量夹角与各空间角的定义、范 围不同围不同.一、选择题一、选择题1.1.已知已知 =（1 1，5 5，-2-2），），=（3 3，1 1，z z），若），若 ，=（x x-1-1，y y，-3-3），且），且BPBP平面平面 ABCABC，则实数，则实数x x，y y，z z分别为分别为 ()()A.B.A.B.C.D.C.D.ABBCBCABBP4,715,7334,715,7404,2,74015,740,4定时检测定时检测解析解析 即即3+5-23+5-2z z=0=0，得得z z=4=4，又又B
29、PBP平面平面ABCABC，BPBPABAB，BPBPBCBC，=（3 3，1 1，4 4），则），则,0,BCABBCABBC.715,740,012)1(3,065)1(yxyxyx解得答案答案 B2.2.长方体长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB=AAAA1 1=2=2，ADAD=1=1，E E为为CCCC1 1的中点，则异面直线的中点，则异面直线BCBC1 1与与AEAE夹角的余夹角的余 弦值为弦值为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 建立坐标系如图建立坐标系如图.则则A A(1,0,0),(1,0,0),E E(0,2
30、,1)(0,2,1)，B B(1,2,0)(1,2,0)，C C1 1(0,2,2(0,2,2）.101010301015210103.1030|,cos),1,2,1(),2,0,1(1111AEBCAEBCAEBCAEBC.10301所成角的余弦值为与所以异面直线AEBCB3.3.在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,MM是是ABAB的中点的中点,则则 的值等于的值等于 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 以以D D为原点为原点,DADA、DCDC、DDDD1 1分分 别为别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标
31、轴建立空间直角坐标 系，设正方体棱长为系，设正方体棱长为1 1，易知，易知CMDB,sin12115210321511),1,1,1(1DB),0,21,1(CM,1515,cos1CMDB故.B,15210,sin1从而选从而CMDBB4.4.设正方体设正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2，则点，则点D D1 1到到 平面平面A A1 1BDBD的距离是的距离是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 如图建立空间直角坐标系，如图建立空间直角坐标系，则则D D1 1（0 0，0 0，2 2），），A A1 1（2 2，0 0，
32、2 2），），D D（0 0，0 0，0 0），），B B（2 2，2 2，0 0），），=（2 2，0 0，0 0），），=（2 2，0 0，2 2），），=（2 2，2 2，0 0），），设平面设平面A A1 1BDBD的法向量的法向量n n=（x x，y y，z z），），232232233211AD1DADB令令x x=1,=1,则则n n=(1,-1,-1),=(1,-1,-1),点点D D1 1到平面到平面A A1 1BDBD的距离的距离.0220221yxDBzxDAnn则.33232|11nnADd答案答案 D5.5.P P是二面角是二面角ABAB棱上的一点，分别在棱上的一点，
33、分别在、平面上引射线平面上引射线PMPM、PNPN，如果，如果BPMBPM=BPNBPN=45=45,MPNMPN=60=60，那么二面角，那么二面角ABAB的大小为的大小为 ()()A.60 A.60 B.70 B.70 C.80 C.80 D.90 D.90 解析解析 不妨设不妨设PMPM=a a，PNPN=b b,如图如图,作作MEMEABAB于于E E，NFNFABAB于于F F，EPMEPM=FPNFPN=45=45，)()(PFPNPEPMFNEM,22,22bPFaPEPFPEPNPEPFPMPNPM.90,02222222245cos2245cos2260cos的大小为二面角A
34、BFNEMababababbaabbaab答案答案 D二、填空题二、填空题6.6.设平面设平面与向量与向量a a=(-1,2,-4)=(-1,2,-4)垂直，平面垂直，平面与向量与向量 b b=(2,3,1)=(2,3,1)垂直，则平面垂直，则平面与与的位置关系的位置关系 是是 .解析解析 由已知由已知a a,b b分别是平面分别是平面，的法向量的法向量.a ab b=-2+6-4=0,=-2+6-4=0,a ab b，.垂直垂直 7.7.正四棱锥正四棱锥S SABCDABCD中中,O O为顶点在底面上的射为顶点在底面上的射 影影,P P为侧棱为侧棱SDSD的中点的中点,且且SOSO=ODOD
35、,则直线则直线BCBC与平与平 面面PACPAC所成的角是所成的角是 .解析解析 如图所示如图所示,以以O O为原点建立空间直角坐标为原点建立空间直角坐标 系系O Oxyzxyz.设设ODOD=SOSO=OAOA=OBOB=OCOC=a a,则则A A(a a,0,0),0,0),B B(0,(0,a a,0),0),C C(-(-a a,0,0),0,0),设平面设平面PACPAC的法向量为的法向量为n n,可求得可求得n n=(0,1,1),=(0,1,1),).2,2,0(aaP).0,(),2,2,(),0,0,2(aaCBaaaAPaCA则直线直线BCBC与平面与平面PACPAC所成
36、的角为所成的角为9090-60-60=30=30.,60,.2122|,cos2nnnnCBaaCBCBCB则答案答案 30308.8.如图所示，如图所示，PDPD垂直于正方形垂直于正方形ABCDABCD 所在平面，所在平面，ABAB=2=2，E E为为PBPB的中点，的中点，若以若以DADA，DCDC，DPDP所在直线分别为所在直线分别为x x,y y,z z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，则点则点E E的坐标为的坐标为 .解析解析 设设PDPD=a a，则，则A A（2 2，0 0，0 0），），B B（2 2，2 2，0 0），），P P（0 0，0 0，a a），），E E
37、的坐标为（的坐标为（1 1，1 1，1 1）.AEDP,cos)2,1,1(aE.2,33422,33,cos)2,1,1(),0,0(22aaaaAEDPaAEaDP由（1,1,11,1,1）,33三、解答题三、解答题9.9.学校的操场上竖立着垂直于地面学校的操场上竖立着垂直于地面的两根长为的两根长为8 8 m m 的的竹竹竿竿ACAC和和BDBD，它们相距为，它们相距为10 10 m m，现将，现将竹竹竿竿BDBD 倾斜使之与地面成倾斜使之与地面成6060角，且仍使角，且仍使BDBDABAB，求此，求此 时两竿顶点时两竿顶点C C、D D间的距离间的距离.解解 如图所示，由如图所示，由AC
38、AC，可知，可知ACAC ABAB，过，过D D作作DEDE，垂足为，垂足为E E，则，则 DBEDBE=60=60,CACA，BDBD =DEDE，BDBD=150=150，CDCD=CACA+ABAB+BDBD，|CDCD|2 2=（CACA+ABAB+BDBD）2 2 =CACA2 2+ABAB2 2+BDBD2 2+2+2CACAABAB+2+2CACABDBD+2+2ABABBDBD =8 =82 2+10+102 2+8+82 2+2+28 88 8cos 150cos 150=228-64 .=228-64 .故故C C、D D间的距离间的距离 m m.316572364228C
39、D2 57 16 3310.10.（20082008江苏）江苏）如图所示，设如图所示，设 动点动点P P在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的对角线的对角线BDBD1 1上，记上，记 .当当APCAPC为钝角时，求为钝角时，求的取值范围的取值范围.解解 由题设可知，以由题设可知，以DADA、DCDC、DDDD1 1为单位正交基为单位正交基 底，建立如图所示的空间直角坐标系底，建立如图所示的空间直角坐标系D Dxyzxyz，则，则 有有A A(1,0,0),(1,0,0),B B(1,1,0),(1,1,0),C C(0,1,0
40、),(0,1,0),D D1 1(0,0,1).(0,0,1).由由D D1 1B B=（1 1，1 1，-1-1），又），又 ，得得D D1 1P P=D D1 1B B=（，-），），所以所以PAPA=PDPD1 1+D D1 1A A =(-=(-,-,-,)+(1,0,-1)=(1-)+(1,0,-1)=(1-,-,-,-1),-1),BDPD11BDPD11PCPC=PDPD1 1+D D1 1C C=（-，-，）+（0 0，1 1，-1-1）=（-，1-1-，-1-1）.显然显然APCAPC不是平角，所以不是平角，所以APCAPC为钝角等价于为钝角等价于).1,31(,.131,0
41、)13)(1()1()1)()(1(,0,0,coscos2的取值范围为因此解得即这等价于PCPAPCPAPCPAPCPAAPC11.11.如图所示，在棱长为如图所示，在棱长为2 2的正方体的正方体 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分别为分别为 A A1 1D D1 1和和CCCC1 1的中点的中点.(1)(1)求证：求证：EFEF平面平面ACDACD1 1；(2)(2)求异面直线求异面直线EFEF与与ABAB所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)(3)在棱在棱BBBB1 1上是否存在一点上是否存在一点P P，使得二面角，使得二面角 P P
42、ACACB B的大小为的大小为3030？若存在？若存在,求出求出BPBP的长的长,若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.解解 如图所示，分别以如图所示，分别以DADA、DCDC、DDDD1 1所在的直线为所在的直线为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系D Dxyzxyz，由，由已知得已知得D D(0,0,0)(0,0,0)，A A(2,0,0),(2,0,0),B B(2,2,0),(2,2,0),C C(0,2,0)(0,2,0)，B B1 1(2,2,2)(2,2,2)，D D1 1(0,0,2)(0,0,2)，E E(1,0,2)(1,0,2)，
43、F F(0,2,1).(0,2,1).(1)(1)证明证明 易知平面易知平面ACDACD1 1的一个法向量是的一个法向量是(2)(2)解解 =（0 0，2 2，0 0），），).2,2,2(1DB./,.,0242),1,2,1(1111ACDEFACDEFDBEFDBEFEF平面平面而由又AB.36624|,cosABEFABEFABEF(3)(3)解解 设点设点P P（2 2，2 2，t t）（00t t22），平面），平面ACPACP的一个法向量为的一个法向量为n n=（x x，y y，z z）,.0,0APACnn则,150,30,),2,0,0().2,1,1(.02,022),0,2,2(),2,0(111nnnBBBBBBABCttzyyxACtAP或依题意知有一个法向量易知平面取.30,36,2,036).(3636),42(434,234224|,cos|12221的大小为二面角时的长为当上存在一点在棱舍去或解得即BACPBPPBBttttttBBn 返回返回
