1、 第六章第六章 定积分定积分第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、问题的提出一、问题的提出二、定积分的定义二、定积分的定义三、存在定理三、存在定理四、几何意义四、几何意义五、性质五、性质六、小结六、小结 思考题思考题abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近
2、曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann ，内任意插入若干个分点内任意插入若干个分点在区间在区间;,3,2,1,11 iiiiixxxnixxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iixf)(为为高高作作小小矩矩形形，为为底底，以以)(,1iiifxx abxyoi ix1x1 ix1 nx（1）分割）分割个小矩形面积个小矩形面积第第i（2）近似求和）近似求和iA个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积第第ini
3、,2,1 iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为（3）取极限）取极限设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为在在各各小小区区间间上上任任取取并作和并作和iinixfS )(
4、1，二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1）积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i
5、的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在三、存在定理三、存在定理区区间间,ba上上可可积积.abxyo)(xfy ,0)(xf badxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义)(xfy abxyoA AA
6、,0)(xf badxxf)(A曲边梯形的面积的曲边梯形的面积的负值负值,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义ab)(xfy 的几何意义：的几何意义：的的面面积积轴轴下下方方位位于于轴轴上上方方的的面面积积减减去去位位于于即即由由和和之之间间各各部部分分面面积积的的代代数数直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)(badxxf)(ab例例1 1 利用定义计算定积分利用
7、定义计算定积分.102dxx 解解小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)(badxxf；（2）当当ba 时时，abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考
8、虑积分上下限的大小五、性质五、性质证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk性质性质2 2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相
9、对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,例例 若若,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3dxba 1dxba ab .则则0)(dxxfba.)(ba 证证,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 .0)(badxxf性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)(xf，性质性质5 5的推论：的推
10、论：证证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)()(dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是于是 dxxfba)(dxxgba )(.则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，（1）解解令令,)(2xxxf 1,0 x2)(xxxf dxx 10.102dxx ,1,0,2 xxxdxx 10dxx 102)1(xx ,1,0,0 xdxxfba)(dxxfba )(.)(ba 证证,)()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba)(dxxfba )(.性质性质5 5的
11、推论：的推论：（2）设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(baxMxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4
12、x,0,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解
13、释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。)(xfy 解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 六、小结六、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限2定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）3典型问题典型
14、问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小思考题思考题吗？为什么？吗？为什么？逆成立逆成立上也可积。这一性质之上也可积。这一性质之在在则则上都可积，上都可积，在在，定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若,)()(,)()(baxgxfbaxgxf 思考题解答思考题解答 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0,1)(为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1,0)(例例上都可积。上都可积。在在，上可积，不能断言上可积，不能断言在在由由,)()(,)()(baxgxfbaxgxf 上上都都不不可可积积。在在，上上可可积积，但但在在显显然然
15、1,0)()(1,0)()(xgxfxgxf 一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数)(xf 在在 ba,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_.2 2、定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关.3 3、定积分的几何意义是定积分的几何意义是_.4 4、区间区间 ba,长度的定积分表示是长度的定积分表示是_.二、二、利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积.三、三、利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分
16、 baxdx，)(ba .练练 习习 题一题一练习题一答案练习题一答案一一、填填空空题题：1 1、如如果果积积分分区区间间 ba,被被点点c分分成成 bcca,与与，则则定定积积分分的的可可加加性性为为 badxxf)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、如如 果果 baxf,)(在在上上 的的 最最 大大 值值 与与 最最 小小 值值 分分 别别 为为Mm与与，则则 abdxxf)(有有如如下下估估计计式式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、时时当当ba ，我我们们规
17、规定定 badxxf)(与与 abdxxf)(的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、积积分分中中值值公公式式 badxxf)()(,)(baabf 的的几几何何意意义义是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题二题二5 5、下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1）102dxx_ 103dxx（2 2）21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx练习题二答案练习题二答案作业作业:P261 1(1),2(3),(5),3:P261 1(1),2(3),(5),3
