1、第八章第八章 相量法相量法 8-1 复复 数数 8-2 正弦量正弦量 8-4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式 8-3 相量法基础相量法基础2.2.正弦量的相量表示正弦量的相量表示3.3.电路定理、元件的相量形式；电路定理、元件的相量形式；l 重重 点：点：1.1.正弦量的三要素、相位差；正弦量的三要素、相位差；8-1 复复 数数一、复数的代数式一、复数的代数式 二、复数的三角形式二、复数的三角形式 Fb+1+ja0Fb+1+ja0|F|)1(j为为虚虚数数单单位位ab baFarctan|22或或sin|cos|F bFabajFFj)sin(cos|baFj三、复数的指数和极坐标形式三
2、、复数的指数和极坐标形式 sincosjej四、四、复数的加、减运算复数的加、减运算 F1=a1+jb1F2=a2+jb2加法加法：F=（a1 a2）+j（b1b2）减法：减法：F=（a1 a2）+j（b1b2）|)sin(cosFeFjFjbaFjFb+1+ja0|F|FeFFj欧拉公式欧拉公式极坐标形式极坐标形式指数形式指数形式 采用代数式采用代数式图解法图解法F1F2ReImoF1+F2-F2ReImoF1-F2F1F2五、五、复数的复数的乘、除乘、除运算运算 )21(21221121|jjjeFFeFeFFFF1=|F1|e j1F2=|F2|e j2乘法：乘法：除法：除法：F1 F2
3、=|F1 F2|e j（1 2）六、共轭复数六、共轭复数 F=a+jbF*=a-jb 互为共轭复数互为共轭复数F F*=2a F F*=2bj F F*=a 2+b2a=(F F*)/2b=(F-F*)/2j 采用极坐标式采用极坐标式模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相减角相减七、旋转因子七、旋转因子 1jejej 2 一个复数乘以一个复数乘以 j j，就相当于把该复数逆时针旋转，就相当于把该复数逆时针旋转 /2/2 jej 2 一个复数乘以一个复数乘以 -j-j，就相当于把该复数，就相当于把该复数顺顺时针旋转时针旋转 /2/2 1je一个一个复数乘以复数乘以 -1-1，就相当于把该复数逆
4、时针旋转，就相当于把该复数逆时针旋转 +j+j、-j-j、-1-1都可以看成是旋转因子都可以看成是旋转因子 F逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度，模不变，模不变FejReImFFj 0Fj F 例例1?2510475 )226.4j063.9()657.3j41.3(原原式式569.0j47.12 61.248.12 解解例例2?5j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解2.126j2.180 原原式式04.1462.203.56211.79.2724.19 16.70728.62.126j2.180 329.6j238.22.126j2.180 365.2255.132j5.18
5、2 交流电交流电 如果电流或电压每经过一定时间如果电流或电压每经过一定时间（T）就重复）就重复变化一次，则此种电流变化一次，则此种电流、电压称为周期性交流电流、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。等。正弦交流电正弦交流电 如果交流电的大小与方向均随时间按正弦规律变如果交流电的大小与方向均随时间按正弦规律变化，称为正弦交流电。化，称为正弦交流电。8-2 8-2 正弦量正弦量 正弦交流电路正弦交流电路传输经济；传输经济；变压方便；变压方便；交流电机运行稳定，价格便宜；交流电机运行稳定，价格便宜；波形不畸变。波形不畸变。正弦交流电的
6、优点正弦交流电的优点 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。一、正弦量的三要素：一、正弦量的三要素：i+_u(1)(1)幅值幅值 (振幅、最大值振幅、最大值)Im(2)(2)角频率角频率(3)(3)初相位初相位yTf22单位：单位：rad/s ，弧度弧度/秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(t+
7、y)振幅振幅（最大值）最大值）:电量名称必须大写电量名称必须大写,下标加下标加 m。如如：Um、Im、EmutwUm)cos(y y tUum有效值有效值:与交流热效应相等的直流定义与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值为交流电的有效值1 1、振幅、振幅 与与 有效值有效值定义定义:有效值也称有效值也称方方均根值均根值(root-meen-square，简记为简记为 rms。)W2=I 2RTRi(t)RI TtRtiW021d)(TtRtiRTI022d)(TttiTI02d)(1物理含义物理含义:电压有效值电压有效值（1 1）有效值的定义）有效值的定义 W1=W2(2)(2)正弦电流、
8、电压的有效值正弦电流、电压的有效值 设设 i(t)=Imcos(t y y)根据：根据：I2I I 707.02I2TIT1I mmm2m ttITITd )(cos1022m y y t d )t(cos T02 y y 有效值用大有效值用大写字母表示写字母表示 yTtt0d2)(2cos1T21t21T0 T1f Tf222、频率、频率 f、周期、周期 T、角频率、角频率 周期周期 T：波形变化一周所需的时间波形变化一周所需的时间 单位：单位：S S，mSmS角频率角频率：每秒函数相位角变化的弧度数：每秒函数相位角变化的弧度数 单位：单位：rad/s频率频率 f：每秒波形变化的次数每秒波形
9、变化的次数 单位：单位：HzHz，KHz.KHz.Tit 电网频率：电网频率：中国中国 50 Hz 美国美国、日本、日本 60 Hz 有线通讯频率：有线通讯频率：300-5000 Hz 无线通讯频率：无线通讯频率：30 kHz-3 104 MHz例：在工频（例：在工频（50Hz50Hz）情况下）情况下周期为：周期为：T=0.02 s T=0.02 s 角频率：角频率：=314rad/s=314rad/s 3 3、初相位、初相位 相位：相位：yt初相位初相位:初相位初相位等于离计时起点最近的一个正弦正最等于离计时起点最近的一个正弦正最大值点和计时起点之间的角度。大值点和计时起点之间的角度。i(t
10、)=Im cos(t+)it 一般规定一般规定：|y|。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。注意正弦正最大值点在计时起点正弦正最大值点在计时起点（t=0t=0）之前，则之前，则 00正弦正最大值点在计时起点正弦正最大值点在计时起点（t=0t=0）之后，则之后，则 0 0 0，u 领先领先(超前超前)i，或，或i 落后落后(滞后滞后)u0，u 落后落后(滞后滞后)i，或，或i 领先领先(超前超前)u =0 u 与与i 同相同相，即两个正弦量同时达到最大值即两个正弦量同时达到最大值 =(180o)，反相反相：相位关系的几种情况相位关系的几种情况：=/2
11、(90o)，正交正交：tu,i0u i u i =u-i =0，同相同相：=(180o)，反相反相：规定：规定：|(180)判断相位关系：判断相位关系：tu,i u i0 tu,iu i0 tu,iu i0 =90 u 领先领先 i 90 或或 i 落后落后 u 90 不说不说 u 落后落后 i 270 或或i 领先领先 u 270?例例2计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15t 100sin(10)t(i )30t 100cos(10)t(i )2(0201 )2t 100cos(10)t(i )43t 100cos(10)t(i )1(21 解解045)2(43 432
12、45 000135)105(30 )105100cos(10)(02 tti例例2计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)45t 200cos(10)t(u )30t 100cos(10)t(u )3(0201 )30t 100cos(3)t(i )30t 100cos(5)t(i )4(0201 解解不能比较相位差不能比较相位差21 000120)150(30 )150100cos(3)(02 tti两个正弦量两个正弦量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足同频率、同同频率、同函数、同符函数、同符号，且在主号，且在主值范围比较。值范围比较。瞬时值：瞬时值：小写字母小写字母表示
13、正弦量每一瞬间的数值。表示正弦量每一瞬间的数值。最大值：最大值：大写字母加下标大写字母加下标m表示瞬时值中最大的数值。表示瞬时值中最大的数值。有效值：有效值：大写字母大写字母表示正弦量的大小。表示正弦量的大小。交流电压、电流表测量数据为有效值交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值u，i瞬时值瞬时值 U，I有效值有效值 Um，Im最大值最大值 注意HOMEWORK:8-88.3 8.3 相量法的基础相量法的基础一一.问题的提出问题的提出两个同频正弦量的相加：两个同频正弦量的相加：KCL、KVL方程运算：方程运算：)cos(2
14、111ytIi)cos(2222ytIiRLC+-uCiLu+-结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数变换的思想变换的思想i1i1+i2 i3i2角频率角频率 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数I1I2I3有效值有效值 1 2 3初相位初相位变换的思想变换的思想 tu,ii1 i2oi3结论造一个复函数：造一个复函数：)t
15、j(e2)(y y ItF)sin(2j)cos(2y y y y tItI 若对若对F(t)取实部：取实部：)t(cosI2)tReF(y y )tj(eI2)t(F )t(cosI2iy y y y 对于任意一个正弦时间函数都对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数有唯一与其对应的复数函数无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义结论二二.正弦量的相量表示正弦量的相量表示 )cos(2)(IItItiF(t)包含了三要素包含了三要素：I，复常数复常数包含了包含了I I ,。F F(t t)还可以写成还可以写成tItF jjee2)(teI j2 复常数复常
16、数正弦量对正弦量对应的相量应的相量复数的复数的幅角幅角表示正弦量的表示正弦量的初相位初相位有效值相量有效值相量复数的复数的模模表示正弦量的表示正弦量的有效值有效值注意复数的复数的幅角幅角表示正弦量的表示正弦量的初相位初相位幅值相量幅值相量复数的复数的模模表示正弦量的表示正弦量的幅值幅值相量的书写方式相量的书写方式 用符号用符号:表示。表示。IUUm包含幅度与相位信息。包含幅度与相位信息。注意解解：已知瞬时值表达式，求相量。已知瞬时值表达式，求相量。已知已知:V3314cos1.311A6314cos4.141tuti求求：i 、u 的相量的相量 A506.86301003024.141jI V
17、5.190110602206021.311jU 例例1)V60(314tsin10A)60314cos(5oouti试用有效值相量表示试用有效值相量表示 i,u 。求出两者的相位差。求出两者的相位差)V03(314tcos10A)120314cos(5oo utiV3007.7A12054.3o UI例例200090)30(120求：求：21ii、已知相量，求瞬时值表达式。已知相量，求瞬时值表达式。已知已知:两个频率都为两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为的正弦电流其相量形式为 A)306280cos(210 A)606280cos(210021 titi解解：62801000
18、22 fsradA10A601003021 jeII 例例3 3010I)30t (osc210)t(i 6020U)60t(cos220)t(u 30300 0 I60600 0U画法：用虚线将实轴固定画法：用虚线将实轴固定若相量与实轴的夹角：若相量与实轴的夹角：正：沿实轴逆时针方向旋转正：沿实轴逆时针方向旋转负：沿实轴顺时针方向旋转负：沿实轴顺时针方向旋转三、相量图三、相量图:在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图四四.用相量表示的正弦量的运算用相量表示的正弦量的运算 1.1.同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减)eU2(Re)tcos(U2)t(u)eU2(Re)tco
19、s(U2)t(utj2222tj1111 )()()(21tututu U21UUU 得：得：)2(Re)2Re(j2j1tteUeU )22(Re j2j1tteUeU )(2(Rej21teUU 故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。V)60314cos(24)(V)30314cos(26)(o21 ttuttuV604 V 306o2o1 UU V)9.41314cos(267.9)()()(o21 ttututu60430621 UUUV 9.4167.9o u1 u2=uUUU 21 例例4同频正弦量的加、减运算可借助相量图同
20、频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析尤其适用于定性分析。ReIm9.41301U602UUReIm301U9.41U602U 2.2.正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算 IiIjdtdi Ijidt 1 Ii2Re tjeIdtddtdi 证明：证明：2RetjejI 2Re tjeIdtd tteIte Iti j jj2Re d 2Red1 1、正弦量和它的相量不相等。、正弦量和它的相量不相等。2 2、为了强调某一个文字符号代表的是一个正弦、为了强调某一个文字符号代表的是一个正弦 量的相
21、量，必须在这个文字符号上加量的相量，必须在这个文字符号上加“.”.”3 3、正弦量的相量分析法只限于正弦量的、正弦量的相量分析法只限于正弦量的“”“”“”积分、微分运算，对于其他的运算不适积分、微分运算，对于其他的运算不适用。用。4 4、只有同频率的正弦量才能使用相量法。、只有同频率的正弦量才能使用相量法。注意计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：43jU43jU43jU43jU第一象限第一象限 0 90第四象限第四象限-90 0第二象限第二象限 90 180第三象限第三象限-18-180-90V 1.535Uo V 1.535Uo V 9.1265U
22、o V 9.1265Uo 2 2Ut uU1 1、波形图、波形图2 2、函数式、函数式3 3、相量图、相量图4 4、相量、相量jUU eU小结：正弦波的四种表示法小结：正弦波的四种表示法)Ucos(2 tu一一.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式8-4 8-4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式 0)(ti同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和和KVL可用相应的相量形式表示：可用相应的相量形式表示：0 2Re)(j21teIIti 0I 0)(tu 0U二二.电路元
23、件的相量关系电路元件的相量关系 1.1.电阻电阻(1)(1)时域特性：时域特性：u(t)=i(t)Ru(t)i(t)R+-)t t I Ic co os s(2 2i i(t t)i iy y )t Ucos(2 )t RIcos(2Ri(t)u(t)uiy yy y （1）同频率）同频率（2）同相位：）同相位：u=i（3）有效值关系：）有效值关系：U=RIu i tu,i0波形图波形图(2)(2)相量形式：相量形式：uy y U URIRIU Ui i相量模型相量模型R+-UI相量关系：相量关系：IRU相量图相量图iy y I II I)t t I Ic co os s(2 2i i(t t
24、)i iy y UIu=i同同相相位位2 2、电感、电感i(t)u(t)L+-(1)(1)时域特性时域特性 dtdi(t)Lu(t)t Icos(2i(t)iy y dtdi(t)Lu(t)tu,iu i0波形图波形图u(t)和和i(t)满足满足：（1）同频率）同频率（2）电压超前电流）电压超前电流90（3）有效值关系有效值关系:U=LI)t Isin(L2iy y )90t Icos(L2ioy y )Ut Ucos(2y y 感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1)(1)表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2)(2)感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。XLXL=U/I=L=2 f L，
25、单位单位:欧欧感抗感抗:电感在正弦条件下阻抗电流通过的能力电感在正弦条件下阻抗电流通过的能力开开路路;,X X ,(2 2)L LU=L I(3)(3)由于由于感抗的存在使电流落后电压。感抗的存在使电流落后电压。iuL IUL 错误的写法错误的写法感抗的定义：感抗的定义：电流的有效值电流的有效值短短路路;0 0,X X (直直流流),0 0(1 1)L L（2）相量关系相量关系)t Icos(2)iyi(t)90t LIcos(2ioy)(tu2 iLiLIUII相量形式：相量形式：IXILULLjj相量关系：相量关系：j L相量模型相量模型+-UI虚数因子虚数因子 j 为一个为一个90旋转因
26、子旋转因子LUIi电压超前电压超前电流电流90900 0(1)(1)时域特性时域特性 3.3.电容电容i(t)u(t)C+-ttuCtid)(d)()t Ucos(2u(t)uy y )cos(2)90 cos(2)sin(2d)(d)(oiuutItCUtCUttuCtiy y y y y y tu,iu i0波形图波形图（1）同频率）同频率（2）电压滞后电流）电压滞后电流90（3）有效值关系有效值关系I=CUu(t)和和i(t)满足满足：容抗的物理意义：容抗的物理意义：(1)(1)表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2)(2)容抗的绝对值和频率成反比。容抗的绝对值和频率成反比。容抗：
27、电容在正弦条件下阻抗电流通过的能力容抗：电容在正弦条件下阻抗电流通过的能力;,),(0)1(C隔直作用直流XI=CU(3)(3)由于由于容抗的存在使电流领先电压。容抗的存在使电流领先电压。iuC 1IUC 1错误的写法错误的写法CIU 1CX容抗定义：容抗定义：;,0X ,)2(C旁旁路路作作用用 （2）相量关系相量关系时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)(utUtu)2 cos(2)(utCUti相量关系：相量关系：IXICUCj1j2 uuCUIUU相量模型相量模型IU+-Cj 1UCI jUCIu电流超前电流超前电压电压900已知已知：C 1F)6314cos(27.7
28、0 tu求求：I 、iuiC解解：31801031416 CXC1电流有效值电流有效值mA2.2231807.70 CXUI求电容中的电流。求电容中的电流。例例1mA)3314sin(2.222)26314sin(2.222 tti瞬时值瞬时值i 领先于领先于 u 90电流有效值电流有效值mA2.2231807.70CXUI63IU1.XC、XL与与R一样，有阻碍电流的作用。一样，有阻碍电流的作用。2.适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。CX3.XL与与 f 成正比，成正比，XC 与与 f 成反比，成反比，R 与与 f 无关。无关。对直流电对直流电
29、f=0，L可视为短路，可视为短路，C可视为开路。可视为开路。对交流电对交流电 f 愈高，愈高，XL愈大，愈大，XC愈小。愈小。小结小结：1.正弦量三要素：正弦量三要素：Im,y y时域表达式时域表达式u=RitiLudd tuCidd 相量表达式相量表达式IRU ILU j UCI j 有效值关系有效值关系U=RIU=XLIXL=LU=XCIXC=-1/(C)相位图相位图 U I U U I I电阻电阻电容电容电感电感2.同同相相与与IU90IUL超超前前于于90IUC落落后后于于相量关系相量关系 )5(CjIUCC 例例2 2试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误：Liju )1
30、(005 cos5 )2(ti mCUjI )3(m LLIUX L )4(LILjU )6(L dtdiCu )7(UImUmmIUIU Cj 1L例例3.I2.4H4+-+-+-.ULU.CU.+-RU0.025F(A)t 2cos52i(t)已知：已知：求求u?02IjL=j52.4H=12j 8025.051j1jjC(V)08024 IRUR(V)90240212j jILUL 解：解：9016ICj1Uc 例例4.Ij L.ULI.CI.Cj1R+-RI.A1A2A3A电流表电流表A1的读数为的读数为5A，电流表电流表A2的读数为的读数为20A，电流表电流表A3的读数为的读数为25
31、A，求电流表求电流表A的读数？的读数？解：选择参考相量：解：选择参考相量：设设：0UU(A)05 RI(A)9020 LI 9025CI 4507.755jIIIICLR电流表的读数为：电流表的读数为：7.07A例例5?U ,V78U ,V50U BCACAB ：问问已已知知解解IIIU50)40()30(22ABV40 ,V30 ,A1RLUUI2BC2AC)40()30(78UUV3240)30()78(22BCUIj40jXL30CBA 0II设设例例6图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流总电压与总电流同相位，求同相位，求I、R、XC、XL。0CC0 UU设设解解5 j ,05201II045255 j5I)j1(2505j)5 j5(45500RXUL252505LL XX2102502552505C XRR令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部UjXC1I2I+_RIjXLUC+-
