1、第第3章章 静电场及其边值问题解法静电场及其边值问题解法The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary Value Problems 主要内容主要内容静电场边值问题、惟一性定理静电场边值问题、惟一性定理镜像法镜像法分离变量法分离变量法静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程静电场中的介质、导体与电容静电场中的介质、导体与电容23.1 3.1 静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric poten
2、tial equations 3.1.1 3.1.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：这两个重要特性用简洁的数学形式为：0E（1）vD（2）vE（2.a）0dlElQdsDs（3）（4）（4.a）QdsEs33.1 3.1 静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程3.1.2 3.1.2 电位定义电位定义 E 在静电场中可通过求解电位函数在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地再利用上式可方便地求得电场强度求得电场强度E。式
3、中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。1)1)电位的引出电位的引出,0E 根据矢量恒等式根据矢量恒等式0)与与 的微分关系的微分关系E 在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度的方向总是沿着电位减少的最快的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。方向，其大小等于电位的最大变化率。EE43.1 3.1 静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程llddE00l)()(0ppppdEppdddzzdyydxx设设P0为参考点为参考点参考点pdEpl)()与与 的积分关系的积分关系E53.1 3.1 静
4、电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程)电位参考点的选择原则电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。同一个物理问题，只能选取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：例如：点电荷产生的电场：CRq0400RC0RRq040C 表达式无意义表达式无意义01RR10044RqRqR4qC0 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为
5、参考点；电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；rrR63.1 3.1 静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程3.1.2 3.1.2 电位方程电位方程1)1)泊松方程泊松方程2)2)拉普拉斯方程拉普拉斯方程v202vdRrvv41rrR解为解为:73.2 3.2 静电场中的介质静电场中的介质3.2.1 3.2.1 介质的极化介质的极化 电介质在外电场电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。无极性
6、分子无极性分子有极性分子有极性分子电介质的极化过程电介质的极化过程83.2 3.2 静电场中的介质静电场中的介质式中式中 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向的方向从负极化电荷指向正极化电荷。正极化电荷。pV用极化强度用极化强度P P表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/mC/m2 2电偶极矩体密度电偶极矩体密度 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0e 电介质的极化率电介质的极化率,无量纲量。无量纲量。均匀：媒质参数不随空间坐标均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z
7、）而变化。而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；e93.2 3.2 静电场中的介质静电场中的介质3.2.2 3.2.2 介质中的高斯定理介质中的高斯定理,相对介电常数相对介电常数0vE 0vvE（真空中）（真空中）（电介质中）（电介质中）定义电位移矢量（定义电位移矢量（DisplacementDisplacement）P0ED则有则有 D电介质中高斯定律的微分形式电介质中高斯定律的微分形式代入代入 ,得得Pv)P(10vEvE)P(0其
8、中其中相对介电常数；相对介电常数；介电常数，单位（介电常数，单位（F/mF/m）er1EEEEEEDree00000)1(P 在各向同性介质中在各向同性介质中 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。a a）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式103.2 3.2 静电场中的介质静电场中的介质图示平行板电容器中放入一块介质后，其图示平行板电容器中放入一块介质后，其D D 线、线、E E 线和线和P P 线的分布。线的分布。D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；P P 线由负的极化电荷发出，终止于正的
9、极化电荷。线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；ED线E线P线D、E与与 P 三者之间的关系三者之间的关系113.3 3.3 静电场中的导体静电场中的导体静电场中的导体具有以下特征：静电场中的导体具有以下特征：导体内部各处电场强度为零导体内部各处电场强度为零导体内部不存在任何净电荷导体内部不存在任何净电荷,电荷都一面电荷的形式分布于电荷都一面电荷的形式分布于导体表面导体表面;导体为一等位体导体为一等位体,其表面为等位面其表面为等位面;导体表面切向电场为零导体表面切向电场为零,而只
10、有法向电场分量而只有法向电场分量,简单媒质中导简单媒质中导体表面处的电场强度为体表面处的电场强度为:snEnE 3.3.1 3.3.1 静电场中的导体静电场中的导体123.3 3.3 静电场中的导体静电场中的导体3.3.2 3.3.2 电容电容定义定义电容电容:UQC 一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容RQU04 孤立孤立导体球的电势导体球的电势:当当R确定时确定时,const.40 RUQ例例:用孤立导体球要得到用孤立导体球要得到1F 的电容，球半径为大？的电容，球半径为大？eRR39010)m(1099.841 单位单位:1F（法拉（法拉）=1C/V=pFFmF1263101010 RQ
11、133.3 3.3 静电场中的导体静电场中的导体二、两个导体的电容二、两个导体的电容lBAl dEl dEUsdEdsEndsQsssslsl dEsdEUQC求电容的两条途径求电容的两条途径1)先假定两导体带等量异号的电量先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体通过计算电场得出两导体间的电压间的电压U,然后计算出电容然后计算出电容2)先假定两导体间的电压先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量通过计算电场得出电量Q,然后计算然后计算出电容出电容电容与电场强度的大小无关,但与电场强度的分布有关.电容值取决与导体的形状,尺寸以及介电常数143.3 3.3 静电场中的导体静电场中
12、的导体三、三、几种典型的电容器几种典型的电容器及电容及电容dS1)平行板电容器平行板电容器板间场强：板间场强：SQE0SQdEdUU021 电势差：电势差：dSUUQC0210 电容：电容：rE02 2)圆柱形电容器圆柱形电容器2R1R153.3 3.3 静电场中的导体静电场中的导体1200ln22d21RRrrURR 120210ln2RRlUUQC 204rQE 21020114d421RRQrrQURR 122102104RRRRUUQC3)球形电容器球形电容器1R2R163.4 3.4 静电场中的边界条件静电场中的边界条件3.4.1 3.4.1 和和 的边界条件的边界条件ED21EEn
13、sDDn211 1、两种介质之间的边界条件、两种介质之间的边界条件在交界面上不存在在交界面上不存在 时，时，E E、D D满满足折射定律。足折射定律。s222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律173.4 3.4 静电场中的边界条件静电场中的边界条件2 2、介质与导体之间的边界条件、介质与导体之间的边界条件 表明：（表明：（1 1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（有法向分量；（2 2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的 D 就等于该点的自由电荷密就
14、等于该点的自由电荷密度度 。s 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：022tsnEDttsnnEEDD2112183.4 3.4 静电场中的边界条件静电场中的边界条件3.4.2 3.4.2 电位的边界条件电位的边界条件1 1、两种介质之间的电位边界条件、两种介质之间的电位边界条件0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此 设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的两侧，分别位于分界面的两侧，其间距为其间距为d d，,则则0d 表明表明:在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，电位是
15、连续的。nEDnEDnnnn2222211111,snn1122在介质分界面上，在介质分界面上，0snn2211所以所以193.4 3.4 静电场中的边界条件静电场中的边界条件3.4.2 3.4.2 电位的边界条件电位的边界条件2 2、介质与导体之间的电位边界条件、介质与导体之间的电位边界条件constsn11两种介质之间两种介质之间 介质与导体之间介质与导体之间 ttEE2101tEnnEE2211snE11constsn1121nn2211203.4 3.4 静电场中的边界条件静电场中的边界条件例题例题:3.4-1:3.4-1 例题例题:3.4-2:3.4-2 21一、静电场边值问题一、静
16、电场边值问题已知场域边界上已知场域边界上各点电位值各点电位值 sfs1分布型问题分布型问题给定场源分布，求任给定场源分布，求任意点场强或位函数意点场强或位函数边值型问题边值型问题给定边界条件，求任给定边界条件，求任意点位函数或场强意点位函数或场强静态场问题静态场问题第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件一、二类边界条件一、二类边界条件的线性组合，即的线性组合，即 sfnsfSs4321,已知场域边界上各已知场域边界上各点电位的法向导数点电位的法向导数 sfns23.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理Electrosta
17、tic-Field Boundary-Value Problems,Electrostatic-Field Boundary-Value Problems,Uniqueness TheoremUniqueness Theorem直接求解直接求解高斯方法求解高斯方法求解间接求解间接求解22分布型分布型问题解问题解法法3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理直接求解直接求解(2.1-8)(2.1-8)高斯方法求解高斯方法求解(2.1-16)(2.1-16)间接求解间接求解(3.1-9)-(3.1-12)(3.1-9)-(3.1-12)23计算法计算法实验法实验法图解法图
18、解法边值型边值型问题解问题解法法解析法解析法数值法数值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法镜像法镜像法分离变量法分离变量法复变函数法复变函数法格林函数法格林函数法3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理24 惟一性定理为静电场问题的多种解法惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解试探解、解析解、数值解等）提供了思路及理论根据。析解、数值解等）提供了思路及理论根据。二、惟一性定理二、惟一性定理Uniqueness Theorem 对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定(可能给可能给出一部分
19、边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导出一部分边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导数数)，则空间中的场就惟一地确定了。，则空间中的场就惟一地确定了。证明见证明见P.86P.86 P.87(反证法反证法)也就是说，也就是说，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的程的解是惟一的，这就是静电场惟一性定理。，这就是静电场惟一性定理。3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理25用虚设的镜像电荷来替代实际边界用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质空间同一媒质空间，使计算简化。3.6 3.6 镜像
20、法镜像法Image Method 确定镜像电荷的个数、位置与大小确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原电荷共同产生的场保持原有边界条件不变保持原有边界条件不变，根据唯一性定理，所得的解是唯一的。镜像法镜像法:要点：要点：26一、导体平面附近的点电荷一、导体平面附近的点电荷zxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp图图3.6-1 3.6-1 导体平面附近的点电荷与其镜象法等效处理导体平面附近的点电荷与其镜象法等效处理设一无限大接地导体平面附近有一点电荷设一无限大接地导体平面附近有一点电荷q q，它与导体板的，它与导体板的垂直距离是垂直距离是h，如图，如图3.6-1(a)3.6-
21、1(a)所示。所示。现求（1）导体上方（即导体上方（即z0z0的空间）的电位分布的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。3.6 3.6 镜像法镜像法27(1)(1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与原来点电荷对称的位置上放置一原来点电荷对称的位置上放置一 的镜像点电荷来代替原的镜像点电荷来代替原导体平板上的感应电荷导体平板上的感应电荷.qzxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp 3.6 3.6 镜像法镜像法q*这时，在这时，在z0的空间里任一点的空间里任一点p(x,y,z)的电位就等于原点电荷的电位就等于原点电荷q
22、和镜像和镜像 所产生电位的总和。所产生电位的总和。28*此时要保证此时要保证z=0z=0平面边界条件不变，即应为零电位。平面边界条件不变，即应为零电位。RqRq44*选无穷远处为参考点，则在选无穷远处为参考点，则在z0z0的空间任一点的空间任一点p p的总电位是：的总电位是：zxqh),(zyxp 3.6 3.6 镜像法镜像法29222222)(1)(14114hzyxhzyxqRRq于是，注意：仅对上半空间等效注意：仅对上半空间等效。可见，引入镜像电荷可见，引入镜像电荷 后保证了边界条件不变；镜后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于像点电荷位于z0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理的
23、空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。知结果正确。qq:0RRR040Rqq故对故对z=0z=0平面上任意点有平面上任意点有qq得得 3.6 3.6 镜像法镜像法30导体表面的总感应电荷导体表面的总感应电荷 qhqhhdqhddsQSsi0222322020)(223222002hyxqhznzzs可见，可见，镜像电荷镜像电荷 代替了导体表面所有感应电代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。荷对上半空间的作用。qq（2 2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：3.6 3.6 镜像法镜像法31二、导体劈间的点电荷二
24、、导体劈间的点电荷),(yxPyxqqqqB2R1R3R4Rao1234C2b，n设有两块接地半无限大导体平板相交成角设有两块接地半无限大导体平板相交成角 ，且，且 n n为正整数，为正整数，交角内置一点电荷（或一线电荷）。现采用镜像法求角内的电场分布。交角内置一点电荷（或一线电荷）。现采用镜像法求角内的电场分布。为了不改变原有边界条件（即导体板处电位为零）和交角为了不改变原有边界条件（即导体板处电位为零）和交角 内的源分内的源分布，试求镜像的位置，以及镜像的个数。布，试求镜像的位置，以及镜像的个数。轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。轮流找出镜像电荷及镜像电
25、荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。3.6 3.6 镜像法镜像法3xBCq213456qqqqq32 3.6 3.6 镜像法镜像法。，镜像电荷的总数是对12 nNn注意：注意：只有只有n为整数时，最后镜像才能和原电荷重合；为整数时，最后镜像才能和原电荷重合；导体交角内任一点的电场就等于导体交角内任一点的电场就等于N N个镜像电荷与原电荷在个镜像电荷与原电荷在该点产生场的总和。该点产生场的总和。可见，可见，;32N，;1N，;53N，33 镜像法小结镜像法小结*镜像法的理论基础是静电场惟一性定理；镜像法的理论基础是静电场惟一性定理；*镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应镜像法的
26、实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷的分布电荷的分布,使计算场域为无限大均匀介质；使计算场域为无限大均匀介质；*镜像法的关键是确定镜像电荷的个数、位置及大小；镜像法的关键是确定镜像电荷的个数、位置及大小；*应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求 场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域，它只场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域，它只对该区域等效。对该区域等效。3.6 3.6 镜像法镜像法34 *只有当场域边界与正交坐标面重合只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行或平行)时，才可时，才可确定积分常数，从而得到边值问题的特解确定积分常数
27、，从而得到边值问题的特解。一、解题的一般步骤：一、解题的一般步骤：(a)(a)根据边界形状选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方根据边界形状选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；程和边界条件）；(b)(b)分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程,并并得出通解表达式；得出通解表达式；(c)(c)利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的特解。的特解。3.7 分离变量法分离变量法The Method of Separation of Variables*分离变量法是一种最经
28、典的微分方程解法。分离变量法是一种最经典的微分方程解法。*采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解或波动方程的通解;35二、直角坐标中的分离变量法二、直角坐标中的分离变量法拉普拉斯方程拉普拉斯方程 0222222zyx)()(),(yYxXzyx设设因此因此02222dyYdXZdxXdYZ02222yx二维问题二维问题：0z3.7 3.7 分离变量法分离变量法0112222dyYdYdxXdX即即36可得可得0122dxXdXx于是有于是有2221xkdxXdX2221ykdyYdY022yxkk式中式中写为如下形式写为如下形式
29、0222XkdxXdx0222YkdyYdy以方程以方程0222XkdxXdx为例为例通解的形式是通解的形式是)(sincos()(),(10000yshkDychkCxkBxkADxCBxAyxnnnnnnnnn3.7 3.7 分离变量法分离变量法37表表3.7-1 直角坐标系中解的形式的选择直角坐标系中解的形式的选择3.7 3.7 分离变量法分离变量法0222XkdxXdx（方程：（方程：）38例例1图示一无限长金属管，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘图示一无限长金属管，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为且保持电位为 (V)(V)，金属管截面为矩形，边长为，金属管截面为矩形，边长为a a
30、、b b，试求金属管内电位的分布。，试求金属管内电位的分布。axsin100图图 金属管的截面金属管的截面(a)B.C.:(a)B.C.:（D D域内）（域内）（1 1）022222yx（b b）（a a）（c c）(d(d）(b)Eq(b)Eq.:.:解解 3.7 3.7 分离变量法分离变量法axaxbyaxybyaxbyxsin100000)0,()0,0(0,)0,0(39(C)(C)解式：解式：)()(),(yxyxxkBxkAxxxsincos)(有限区域，周期性，取:xyDshkyCchkyDshyCchyxx)(取有限区域，非周期性，:yxxyxykjjkkkk故,223.7 3
31、.7 分离变量法分离变量法0,Ayx40(C)(C)解式：解式：)()(),(yxyxxkBxkAxxxsincos)(有限区域，周期性，取:xyDshkyCchkyDshyCchyxx)(取有限区域，非周期性，:yxxyxykjjkkkk故,223.7 3.7 分离变量法分离变量法(d)(d)定常数：定常数：xksinBx0A),a(BCx得由41 0aksin:)b(BCx由 3,2,1 ,nankx yDshky,0C:)c(BCx0得由图3.71 双曲函数aynshaxnAyxnn1sin),(axnsinabnshAaxsin100:)d(BC1nn由比较系数法：比较系数法：时，当1
32、n axabshAaxsinsin1001abshA10010A1nn 时，当ayshaxabshyxsin100),(（D域内）域内）3.7 3.7 分离变量法分离变量法42例例3.73.72 2宽为宽为d d的导体槽如图所示。其两壁接地，且沿的导体槽如图所示。其两壁接地，且沿x x方向无限延伸，方向无限延伸，槽底对地电位为槽底对地电位为U0U0，试求试求 3.7 3.7 分离变量法分离变量法dys1、槽内电位函数、槽内电位函数2、槽内电场强度矢量、槽内电场强度矢量3、y=dy=d处内壁的面电荷密度处内壁的面电荷密度),(yxyxE,xd00U0y0（a a）BC:BC:dUy0),0(cy
33、0),(ax0)0,(bdx0),(1 1、解解02222yx（b b）EqEq.:.:（c c）解式）解式:xxBeAexX(x):无限区域非周期无限区域非周期Y(yY(y)：有限区域周期性：有限区域周期性),(22yyyxkjjkkk yDyCykDykCyyysincossincos43由由B.C.(aB.C.(a)可得可得 yDyCsin,0由由B.C.(bB.C.(b)3,2,1,ndn至此，得至此，得11sinsin),(ndxnnndxndyneAdynADeyx确定傅立叶系数确定傅立叶系数:,6,4,20,5,3,141cos2)(cos2sin2000000nnnUnnUdyndUdnddydynUdAdbndyoUdynAonn,sin1由由B.C.(cB.C.(c)知知0B dxnxAeAex由由B.C.(dB.C.(d)（d d）定常数）定常数3.7 3.7 分离变量法分离变量法44,5,3,10,5,3,10cossin4cossin)(14),(EndxnaxnndyndynedUdyndynednnUyxyxyxdxnnnndxndydydysedUnedUEyDn5,3,1005,3,100014cos43 3、3.7 3.7 分离变量法分离变量法2 2、dynenUyxaxnnsin14),(,5,3,10所以所以
