1、不 等 式 的 证 明松北高级中学松北高级中学 吴宏亮吴宏亮【例例1】已知】已知a0a0，b0b0，求证：，求证：a3+b3a2b+ab2.(.(课本课本P12P12例例3)3)即即a3+b3a2b+ab2.证明一：证明一：比较法（作差）比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)a0a0，b0b0，(a-b)2(a+b)0.故（故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,a+b00，而，而(a-b)20.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)故故a3+b3a2b+ab2.2233abbaba 证明二：证明二：比
2、较法（作商）比较法（作商）a2+b22ab，ababab2 ababba22 )ba(ab)abba)(ba(22 1 又又a0a0，b0b0，所以，所以ab00，所以有所以有a3+b3a2b+ab2.证明三：分析法证明三：分析法欲证欲证a3+b3a2b+ab2，只需证明只需证明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).由于由于a0a0，b0b0，所以所以a+b00，故只要证明故只要证明a2+b2-abab即可。即可。即即证明证明a2+b22ab.而而a2+b22ab 显然是成立的显然是成立的即即a3+b3a2b+ab2.证明四：综合法证明四：综合法a2+b22ab，a2+b2-abab.
3、又又a0a0，b0b0，a+b00，故故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).【例例2】已知】已知a0a0，b0b0，求证：，求证：课课本本习习题题改改变变）.(baabba22 证明一：比较法（作差）证明一：比较法（作差）)ba(abba22 baabba22 所所以以，0 ab)ba()ba(2 ab)ba)(ba(22 ab)ab(b)ba(a22 ababbaba2233 证明二：比较法（作商）证明二：比较法（作商）baabba22 而而a0a0，b0b0，所以，所以a+b0.a+b0.baabba22 故故1 ababab2 ababba22 )ba(abba33 证明四证明
4、四:综合法综合法b2aab2 同理同理a2bba2 b2a2aabbba22 baabba22 即即0b,0a a1a2a3an,b1b2b3bn,a1bn+a2bn-1+an-1b2+anb1.a1b2+a2b3+an-1bn+anb1则则a1b1+a2b2+a3b3+anbn【例例3】求证】求证:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).证明一：证明一：(比较法比较法)(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).=2abcd-a2d2-b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=-(ad-bc
5、)20.0.证明二：证明二：(分析法分析法)证明三：证明三：(综合法综合法)一般地一般地,对任意实数对任意实数ai,bi(i=1,2,3,n),都有都有:(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2.(柯西不等式柯西不等式)【例例4】设】设-1a1,-1b1,-1a1,-1b1,求证求证:.ab12b11a1122 证明一证明一:比较法比较法(作差作差)ab12b11a1122 )ab1)(b1)(a1(ba2b2a22baaba1ababb12222223232 )ab1)(b1)(a1()b1)(a1(2)ab1)(a1()ab1)(b1(2222
6、22 )ab1)(b1)(a1(ba2baabab2ba22223322 )ab1)(b1)(a1()ba(ab)ba(2222 )ab1)(b1)(a1()ab1()ba(222 -1-1a1,-1-1b0，1-a20,1-b20,1-ab0.所以所以，(1-(1-a2)(1-)(1-b2)(1-ab)0,)(1-ab)0,证明二证明二:分析法分析法证明三证明三:综合法综合法a2+b22ab,2ab,22b11a11 ab12)ab1(122 2222baba112 22b11a112 -a2-b2-2ab.-2ab.从而从而01+00.1-ab0.证明四证明四:换元法换元法设设a=sin,
7、b=,b=sin,则则 2222sin11sin11b11a11ab12sinsin12|sinsin)cos(|2|coscos|2coscos|coscos|222 22222222coscoscoscos)sin1)(sin1()sin1()sin1(思考思考 6422aaa1a11 )ba()ba()ba(2b11a1166442222ab12 6422bbb1b112+2ab+22+2ab+2a2b2+=2(1+ab+=2(1+ab+a2b2+)【例例5】设】设a0,b0,a0,b0,且且a+b=1,a+b=1,求证：求证：321b41a4 证明一证明一(分析法分析法)12)1b4)
8、(1a4(2)1b4()1a4(3)1b4)(1a4(4a+1)(4b+1)9916ab+4a+4b+1916ab+4a+4b+19 41ab 321b41a4 证明二证明二(综合法综合法)因为因为a0,b0,a0,b0,且且a+b=1,a+b=1,所以所以,2b22)1b4(3)1b4(3 ,2a22)1a4(3)1a4(3 从而从而 +.1a4 1b4 3236)2b2()2a2(31 【例例6】已知】已知m0,m0,求证求证:m+33.2m4证明一证明一(比较法比较法)m+-3=2m4223m4m3m m+2m4330 22m)1m()2m(2223m4mm2m 证明二证明二(综合法综合法)m+=2m42m42m2m 证明三证明三(函数思想函数思想)设设f(x)=x+,则则f(x)=1-,-,令令f(x)=0,得得:x=2.2x43x8当当0 x22时时,f(x)0.2 2时时,f(x)0.0.所以当所以当x=2时时,f(x)取到最大值取到最大值3,故当故当m0m0时时,有有 m+3.3.2m432m42m2m3 =3 已知二次函数已知二次函数f(x)=f(x)=ax2+bx+c,方方程程f(x)-x=0f(x)-x=0的两根为的两根为x1,x2,且且00 x1x2 ,求证求证:当当x(0,x1)时时,xf(x)x1.a1练习练习谢谢 谢谢 大大 家家再再 见见
