1、2020 届高三数学（文） “大题精练”8 17 （12 分）在公差为 2 的等差数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ， 3 4a 成等比数列. （1）求 n a的通项公式； （2）求数列2n n a 的前n项和 n S. 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为 2 的正方形， 17PAPD ，E为PA的中点，点F在PD上，EF 平面PCD，M在DC的延 长线上，且 2 15 MCCD. (1)证明:/ /EF平面PBM. (2)过点C作BD的平行线， 与直线AB相交于点G， 点Q为CG的中点， 求E到平面PDQ 的距离. 19 （12 分）某农户考察三种不
2、同的果树苗 A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗 A 的自 然成活率为 0.8，引种树苗 B、C 的自然成活率均为 0.9. （1）若引种树苗 A、B、C 各 10 棵. 估计自然成活的总棵数； 利用的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗 A 的概率； （2）该农户决定引种 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽 培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可 获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种 B 种 树苗多少棵? 20 （12 分）已知
3、椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，焦距为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线y kx 与椭圆 C 交于点 E，F，过点 E 作EMx轴于点 M，直线 FM 交椭圆 C 于另一点 N，证明：EFEN 21 （12 分）已知函数 3 2fxxax . （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x在 1,) 上只有一个零点，求a的取值范围. (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分. 22 （10 分）在极坐标系中，已知曲线 1 C的方程为6sin，曲线 2 C的方程为 sin()1 3
4、 以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy （1）求曲线 1 C， 2 C的直角坐标方程； （2）若曲线 2 C与y轴相交于点P，与曲线 1 C相交于A，B两点，求 11 PAPB 的值 23. （10 分）设不等式| 1|1| 2xx 的解集为A （1）求集合A； （2）若a，b，c A ，求证： 1 1 abc abc 2020 届高三数学（文） “大题精练”8（答案解析） 17 （12 分）在公差为 2 的等差数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ， 3 4a 成等比数列. （1）求 n a的通项公式； （2）求数列2n n a 的前n项和 n S. 【解析】 （1） n
5、 a的公差为2d , 21 2aa, 13 4aa. 1 1a , 2 2a , 3 4a 成等 比数列, 2 111 184aaa,解得 1 8a ,从而82126 n ann. （2）由（1）得26 n an,2(26)2 nn n an， 2 8 1026222 n n Sn. 82622 2 21 2 n nn 1 722 n n n 21 722 n nn 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为 2 的正方形， 17PAPD ，E为PA的中点，点F在PD上，EF 平面PCD，M在DC的延 长线上，且 2 15 MCCD. (1)证明:/ /EF平面PBM
6、. (2)过点C作BD的平行线， 与直线AB相交于点G， 点Q为CG的中点， 求E到平面PDQ 的距离. 【解析】（1） 证明:记PB的中点为H， 连接EH， 过F作/ /FKDM交PM于K， 连接HK， 则/ /EHAB，且 1 1 2 EHAB.因为EF 平面PCD，所以EFPD.在PAD中， 17PAPD ，2AD ， 易求 4 17 EF ， 15 2 17 PF .又 2 15 MCCD， 则 34 15 MD . 因为 PFKF PDMD ，所以1KF . 因为EHFK，且/ / / /ABEHCDFK，所以四边形EFKF是平行四边形，所以 / /EFHK，又HK 平面PBM，EF
7、 平面PBM，所以/ /EF平面PBM. （2）因为EF 平面PCD，所以EFCD，而ABCD是正方形，所以CDAD.因为 EF与AD显然是相交直线，所以CD 平面PAD， 所以平面PAD 平面ABCD.记AD 的中点为O， 连接OP，OQ， 则PO 平面ABCD， 且 17 14PO .因为点Q为CG 的中点，所以3OQ ，5PQ ，10QD ，在PQD中，5PQ ，10QD ， 17PD ，所以 9 cos 5 10 PQD . 13 sin 5 10 PQD ，所以 11313 510 225 10 PQD S ，而三棱锥PADQ的体积 11 2 344 32 V . 记A到平面PDQ的
8、距离为d，则 1 4 3 PQD Sd ，所以 24 13 d .因为E到平面PDQ的 距离是A到平面PDQ的距离的一半，所以E到平面PDQ的距离为 12 13 . 19 （12 分）某农户考察三种不同的果树苗 A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗 A 的自 然成活率为 0.8，引种树苗 B、C 的自然成活率均为 0.9. （1）若引种树苗 A、B、C 各 10 棵. 估计自然成活的总棵数； 利用的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗 A 的概率； （2）该农户决定引种 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽 培技术处理，处理后成活的
9、概率为 0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可 获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种 B 种 树苗多少棵? 【解析】 （1）依题意：10 0.8 10 0.9 10 0.926,所以自然成活的总棵数为 26. 没有自然成活的树苗共 4 棵,其中两棵 A 种树苗、一棵 B 种树苗、一棵 C 种树苗,分别设为 1 a, 2 a,b,c,从中随机抽取两棵,可能的情况有： 12 ,a a, 1, a b, 1, a c, 2, a b, 2, a c, b c, 抽到的两棵都是树苗 A 的概率为 1 6 . （2）设该农户种植 B
10、树苗 n 棵,最终成活的棵数为 3 0.91 0.90.80.96 4 nnn,未能 成活的棵数为0.960.04nnn,由题意知0.963000.0450200000nn,则有 699.3n .所以该农户至少种植 700 棵树苗,就可获利不低于 20 万元. 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，焦距为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线y kx 与椭圆 C 交于点 E，F，过点 E 作EMx轴于点 M，直线 FM 交椭圆 C 于另一点 N，证明：EFEN 【解析】 （1） 由题 2 2 c a ，22c ， 2a ， 1e
11、，1b ， 故椭圆方程为 2 2 1 2 x y； （2）设 00 (,)E xy， 00 ,Fxy， 0 0(),M x，则 0 0 0 :() 2 FM y lyxx x ，与椭圆方程联 立得 2222222 0000000 2240xyxx y xx yx ，由 2 00 0 22 00 2 2 NFN x y xxxx xy 得 23 000 22 00 32 2 N x yx x xy ， 0 00 0000 0000 2 2 N N EN NNN y xxy yyyyx k xxxxxxx 00 23 0000 0 22 00 322 2 yy x yxx x xy 22 0000
12、0 22222 0000000 2 22224 yyyxy xxxxyxy 222 00000 000000 22 222 yxyxx xx yx yy ， 00 00 1 ENEF xy kk yx ，即EFEN. 21 （12 分）已知函数 3 2fxxax . （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x在 1,) 上只有一个零点，求a的取值范围. 【解析】 （1） 2 3fxxa .当0a 时， 0fx， fx在R上单调递减； 当0a 时，令 2 30fxxa ，解得 1 3 a x ， 2 3 a x ， 所以 fx在 3 , 3 a 和 3 , 3 a 上单调递减，在 33 ,
13、33 aa 上单调递增. （2）当0a 时， fx在R上单调递减，且 2620fa ，则只需 1120fa ，所以3a ，又0a ，所以0a .当0a 时， fx在, 3 a 和 , 3 a 上单调递减，在, 33 aa 上单调递增，且 2 20 333 aaa f ，当 1 3 a ，即3a 时，若 fx在 1,) 上恰好只有一个零点， 则130fa，则a无解；当1 3 a ，即03a时，若 fx在 1,) 上 恰好只有一个零点，则 2 20 333 aaa f ，解得3a .综上，a的取值范围为 ,3. (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按
14、所做的第一题 计分. 22 （10 分）在极坐标系中，已知曲线 1 C的方程为6sin，曲线 2 C的方程为 sin()1 3 以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy （1）求曲线 1 C， 2 C的直角坐标方程； （2）若曲线 2 C与y轴相交于点P，与曲线 1 C相交于A，B两点，求 11 PAPB 的值 【解析】（1） 由6sin， 得 2 6 sin，曲线 1 C的直角坐标方程为 2 2 39xy， 由sin1 3 ， 得 1313 sincossincos1 2222 ，曲线 2 C的 直角坐标方程为：320xy （2）由（1）知曲线 2 C为直线，倾斜角为 2 3 ，
15、点P的直角坐标为0,2。直线 2 C的参 数方程为 1 2 3 2 2 xt yt （t为参数） ，代入曲线 2 2 1: 39Cxy中，并整理得 2 380tt ，设,A B对应的参数分别为 12 ,t t，则 12 3tt， 1 2 8t t ， 121 2 8PA PBt tt t， 2 2 121121 2 435PAPBtttttttt ， 1135 8 PAPB PAPBPA PB 23. （10 分）设不等式| 1|1| 2xx 的解集为A （1）求集合A； （2）若a，b，cA，求证： 1 1 abc abc 【解析】 （1）由已知，令 2,1 ( )112 , 11 2,1 x f xxxxx x ，由|( )| 2f x 得 | 11Axx （2）证明：要证 1 1 abc abc ，只需证|1 | |abcabc ，只需证 222222 1a b ca bc， 只需证 22222 1(1)a bca b， 只需证 222 (1)(1)0a bc， 由a，b，cA， 得11ab ， 2 1c 则 222 (1)(1)0a bc恒成立综上可得： 1 1 abc abc
