1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”3（答案解析） 17在ABC中，内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 b2acos C 3 1求A； 2若b2 3c，且ABC面积2 3，求a的值 18在ABC中，CA CBCA CB. (1) 求角C的大小； (2)若CDAB，垂足为D，且 4CD，求ABC面积的最小值. 19 在ABC中， 内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 0 30B ， 三边 , ,a b c成等比数列， 且ABC面积为 1，在等差数列 n a中， 1 1a ，公差为b. （1）求数列 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 1 1 n
2、 nn b a a ，设 n T为数列 n b的前n项和，求 n T的取值范围. 20某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域）设计成半径为1km的 扇形EAF，中心角 42 EAF 为方便观赏，增加收入，在种植区域外 围规划观赏区（区域）和休闲区（区域） ，并将外围区域按如图所示的方案扩建成 正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上已知种植区、观赏区和休闲区 每平方千米的年收入分别是 10 万元、20 万元、20 万元 （1）要使观赏区的年收入不低于 5 万元，求的最大值； （2）试问：当为多少时，年总收入最大？ 21已知函数 4 ( )f xxmm x . (1)当0m时
3、求函数 ( )f x的最小值； (2)若函数 ( )5f x 在1,4x上恒成立求实数m的取值范围. 22已知函数 32 11 1 323 a f xxaxxaR. （1）若1a ，求函数 f x的极值； （2）当01a 时，判断函数 f x在区间0,2上零点的个数. 2020 届高三数学（理） “大题精练”3（答案解析） 17在ABC中，内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 b2acos C 3 1求A； 2若b2 3c，且ABC面积2 3，求a的值 解： （1）2 3 b cos C a ， b=2a（cosCcos 3 +sinCsin 3 ） ，可得：b=acosC
4、+ 3asinC， 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+ 3sinAsinC， 可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+ 3sinAsinC， 可得：cosA= 3sinA，可得：tanA= 3 3 ， A（0，） ，A= 6 （2）b 2 3c ，且 ABC 面积2 3= 1 2 bcsinA= 1 2 2 3c c1 2 ， 解得：c=2，b=4 3， 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-24 3 2 3 2 =28，解得：a=2 7 18在ABC中，CA CBCA CB. (1) 求角C的大小； (2)若CDAB，垂足
5、为D，且 4CD，求ABC面积的最小值. 解： （1）由CACBCA CB，两边平方 22 CA CBCA CB， 即 22 CA CBCA CB，得到2 0CA CB ，即CA CB 。 所以 2 C . （2）在直角ADC中， 4 sinsin CD AC AA ， 在直角BDC中， 4 sinsin CD BC BB ， 又0, 2 A ，所以sinsincos 2 BAA ， 所以 1144816 22 sinsinsin cossin2 ABC SCA CB ABAAA ， 由+ 2 A B 得，20,A，故sin20,1A， 当且仅当 4 A 时，maxsin21A，从而min16
6、 ABC S . 19 在ABC中， 内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 0 30B ， 三边 , ,a b c成等比数列， 且ABC面积为 1，在等差数列 n a中， 1 1a ，公差为b. （1）求数列 n a的通项公式； （2）数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，设 n T为数列 n b的前n项和，求 n T的取值范围. 解： （1） 2 bac， 2 111 1 224 Sacb，2b， 21 n an， * nN . （2） 111 2 2121 n b nn ， 11111111 11 23352121221 n T nnn n T是关于 n 的增函
7、数 * nN， 11 32 n T. 20某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域）设计成半径为1km的 扇形EAF，中心角 42 EAF 为方便观赏，增加收入，在种植区域外 围规划观赏区（区域）和休闲区（区域） ，并将外围区域按如图所示的方案扩建成 正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上已知种植区、观赏区和休闲区 每平方千米的年收入分别是 10 万元、20 万元、20 万元 （1）要使观赏区的年收入不低于 5 万元，求的最大值； （2）试问：当为多少时，年总收入最大？ 解： （1） 1AFAE，ADAB， 2 DB ，所以ADF与ABE全等. 所以 1 22 DAFBAE
8、 ，观赏区的面积为 1111 2?sin?cossin2sincos 22222 SDFADDAFDAFDAF ，要使得观赏区的年收入不低于 5 万元，则要求 51 204 S ，即 1 cos 2 ，结合 42 可知 43 ，则的最大值为 3 . （2）种植区的面积为 11 22 SAF AE ， 正方形面积为 22 1 cos21 sin cos 22 DAF SADDAF ， 设年总收入为( )W万元，则 1 sin1 ( )1020201020()52010 10sin5 22 WSSSSSS ， 其中 42 ，求导可得( )10cos5W . 当 43 时，( )0W ，( )W递增
9、；当 32 时，( )0W ，( )W递增. 所以当 3 时，( )W取得最大值，此时年总收入最大. 21已知函数 4 ( )f xxmm x . (1)当0m时求函数 ( )f x的最小值； (2)若函数 ( )5f x 在1,4x上恒成立求实数m的取值范围. 解： （）当0m时， 444 24f xxxx xxx ，当且仅当 4 x x ，即 2x时等号成立， 所以 4 min f x （）由题意得 4 5xmm x 在 1,4x上恒成立， 即 4 5xmm x 在 1,4x上恒成立， 所以 4 55mxmm x 在1,4x上恒成立， 即 4 255mx x 在1,4x上恒成立， 设 4
10、,1,4g xxx x ，则 g x在1,2上单调递减，在2,4上单调递增， min 24g xg， 又 15,45gg， 254m ， 解得 9 2 m ， 所以实数m的取值范围是 9 , 2 22已知函数 32 11 1 323 a f xxaxxaR. （1）若1a ，求函数 f x的极值； （2）当01a 时，判断函数 f x在区间0,2上零点的个数. 解： （1） 32 11 1 323 a f xxaxx， 2 1 111fxaxaxa xx a ， 因为1a ，所以 1 01 a ， 当 x 变化时， ,fxf x 的变化情况如下表： x 1 , a 1 a 1 ,1 a 1 1
11、, fx 0 - - 0 f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得当 1 x a 时， f x有极大值，且极大值为 2 2 1231 6 aa f aa ， 当1x 时， f x有极小值，且极小值为 1 11 6 fa . （2）由（1）得 1 1fxa xx a 。 01a， 1 1 a . 当 11 20 2 a a ，即时， f x在0,1上单调递增，在1,2上递减 又因为 111 00,110,2210 363 ffafa 所以 f x在（0,1）和（1,2）上各有一个零点， 所以 0,2f x 在上有两个零点。 当 1 12 a ，即 1 1 2 a时， f x在0,1上单调递增，在 1 1, a 上递减，在 1 ,2 a 上递增， 又因为 2 211111 00,110,0 366 aa ffaf aa 所以 f x在0,1上有且只有一个零点，在1,2上没有零点， 所以在0,2上有且只有只有一个零点. 综上： 当 1 0 2 a 时， f x在0,2上有两个零点； 当 1 1 2 a时， f x在0,2上有且只有一个零点。
