1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”5 17 （12 分）已知 * Nn ,数列 n a、 n b满足: 1 1 nn aa , 1 1 2 nnn bba ,记 2 4 nnn cab. （1）若 1 1a ， 1 0b ，求数列 n a、 n b的通项公式； （2）证明：数列 n c是等差数列； （3）定义 2 ( ) nnn fxxa xb，在（1）的条件下，是否存在n，使得( ) n fx有两个整数 零点，如果存在，求出n满足的集合，如果不存在，说明理由. 18 （12 分）如图，在四面体ABCD中，AD 平面BCD，BCCD.2AD ， 2 2BD .M 是AD的中点，P 是B
2、M的中点，点 Q 在线段AC上，且 3AQQC. （1）证明：PQAD； （2）若二面角CBMD的大小为 60 ，求BDC的大小. 19 （12 分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品 进行检验现有n（n N且2n ）份产品，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需 要检验n次； （2）混合检验，将这n份产品混合在一起作为一组来检验若检测通过，则这 n份产品全部为正品，因而这n份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n份产品逐份检验，此时这n份产品的检验次数总共为 1n次假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果
3、是正品还是次品都是独立的，且 每份样本是次品的概率为(01)pp （1）如果4n，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n和p满足什么关系时，用 混合检验方式进行检验可以减少检验次数？ （3）当2nk（k N且2k ）时，将这n份产品均分为两组，每组采用混合检验方 式进行检验，求检验总次数的数学期望； 当nmk（, k mN，且2k ，2m）时，将这n份产品均分为m组，每组采用混合 检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦
4、点分别为 12 ,F F M为椭圆上一 动点，当 12 MFF的面积最大时，其内切圆半径为 3 b ，设过点 2 F的直线l被椭圆C截得线 段RS, 当lx轴时，3RS . （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点A为椭圆C的左顶点，,P Q是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ的 斜率分别为 12 ,k k，若 12 1 4 k k ，试问直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由. 21 （12 分）已知函数 1, ln1 x xe f xg x xx . （1）当1x 时，不等式 f xm成立，求整数m的最大值； （参考数据： ln20.693,ln3
5、1.099） ； （2）证明：当1x 时， f xg x. 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C( 2,) 4 ，且圆C经过点(12,) 2 P . （1）求圆C的普通方程； （2）已知直线l的参数方程为 2cos 2sin xt yt （t为参数） ，0, 4 ，点(2,2)M， 直线l交圆C于,A B两点，求|MAMB的取值范围. 2020 届高三数学（理） “大题精练”5 17 （12 分）已知 * Nn ,数列 n a、 n b满足: 1 1 nn aa , 1 1 2 nnn bba ,记 2 4 nnn cab. （1）若 1 1a ， 1 0b ，求数列 n a、 n
6、 b的通项公式； （2）证明：数列 n c是等差数列； （3）定义 2 ( ) nnn fxxa xb，在（1）的条件下，是否存在n，使得( ) n fx有两个整数 零点，如果存在，求出n满足的集合，如果不存在，说明理由. 解：解： （1）11 n ann ， 1 1 22 nnnn n bbab ， 由累加法得 121321 ()()() nnn bbbbbbbb 1(1) 012(2)(1) 24 n n nn . （2） 22 111 4(4) nnnnnn ccabab 22 1 (1)4()(4)1 2 nnnnn aabab n c是公差为 1 的等差数列. (3)由（1） （2）
7、得 2 4 nnn cabn， 函数的零点为 22 nn acnn x ，要想为整数，则n必为完全平方数，不妨设 2( N )nm m * ，此时 2 1 22 m mmm x ， 又因为1mm与是连续的两个整数 (1)m m能被 2 整除， 即函数的零点 2 1 22 m mmm x 为整数， 所求n的集合为 2 |,Nn nm m * . 18 （12 分）如图，在四面体ABCD中，AD 平面BCD，BCCD.2AD ， 2 2BD .M 是AD的中点，P 是BM的中点，点 Q 在线段AC上，且 3AQQC. （1）证明：PQAD； （2）若二面角CBMD的大小为 60 ，求BDC的大小.
8、 解：解： （1）证明：如图，取BD的中点 O，以 O 为原点，OD，OP所在射线 y，z 轴的正半 轴，建立空间直角坐标系xyz. 由题意知(0, 2,2) (0,2,0),(0, 2,0)ABD 设点 C 的坐标为 00 ,0x y， 因为3AQQC， 所以 00 3231 , 4442 Qxy 因为点 M 为AD的中点，故(0, 2,1)M 又点 P 为BM的中点，故 1 0,0, 2 P 所以 00 323 ,0 444 PQxy ，(0,0,2),0DADA PQ 所以DAPQ. （2）解：设()mxyz， ，为平面BMC的一个法向量 由 00 , 2,1CMxy ， (0,2 2,
9、1)BM 知 00 20 2 20 x xyyz yz 取1y ，得 0 0 2 , 1,2 2 y m x . 又平面BDM的一个法向量为(1,0,0)n ，于是 0 0 2 0 0 2 | |1 |cos,| |2 2 9 y m nx m n m n y x 即 2 0 0 2 3 y x . 又BCCD，所以 0CB CD ， 故 0000 ,2,0, 2,00xyxy 即 22 00 2xy. 联立，解得 0 0 0 2 x y （舍去）或 0 0 6 2 2 2 x y . 所以 0 0 tan|3 2 x BDC y . 又BDC是锐角，所以60BDC. 19 （12 分）某工厂
10、生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品 进行检验现有n（n N且2n ）份产品，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需 要检验n次； （2）混合检验，将这n份产品混合在一起作为一组来检验若检测通过，则这 n份产品全部为正品，因而这n份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n份产品逐份检验，此时这n份产品的检验次数总共为 1n次假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且 每份样本是次品的概率为(01)pp （1）如果4n，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n份产
11、品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n和p满足什么关系时，用 混合检验方式进行检验可以减少检验次数？ （3）当2nk（k N且2k ）时，将这n份产品均分为两组，每组采用混合检验方 式进行检验，求检验总次数的数学期望； 当nmk（, k mN，且2k ，2m）时，将这n份产品均分为m组，每组采用混合 检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明） 解：解： （1）如果4n,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为 22222 4 (1)6(1)C pppp 检测结果恰有两份次品的概率 22 6(1)pp （2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为 1 ,采用混合检验方
12、式,样本需要检验的 总次数为 2 ,由已知得 1 En, 2 的所有可能取值为1,1n 2 11 k Pp, 2 111 n Pnp 2 1(1) 11 nn Epnp =11 n nnp 要减少检验次数,则 1 E 2 E,则1(1)nnnnp (1)1 n np, 1 (1)np n ,即 1 1 1 ( )np n , （3）两组采用混合检验的检验次数分别为 1 , 2 ,则由（2）知 1 1,1k, 2 1,1k, 12 ( )()11 k EEkkp , 12 1212 ( )()( )()2221 k EEEEkkp 设这m组采用混合检验的检验次数分别为 1 , 2 , m , 1
13、 1,1k, 2 1,1k, ,1,1 m k,且检验总次数 12m , 11,1,2, k i Ppim,111,1,2, k i Pkpim ( )11,1,2, k i Ekkpim 121 ( )()( )()(1)1 k kk EEEEm kmkp, 所以检验总次数的数学期望(1)1 k m kmkp 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F M为椭圆上一 动点，当 12 MFF的面积最大时，其内切圆半径为 3 b ，设过点 2 F的直线l被椭圆C截得线 段RS, 当lx轴时，3RS . （1）求椭圆C的标准方程； （
14、2）若点A为椭圆C的左顶点，,P Q是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ的 斜率分别为 12 ,k k，若 12 1 4 k k ，试问直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由. 解：解： （1）由题意及三角形内切圆的性质可得 11 2(22 ) 223 b c bac，得 1 2 c a 将xc代入 22 22 1 xy ab ，结合 222 abc，得 2 b y a ， 所以 2 2 3 b a ，由得2,3ab 故椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy （2）设点,P Q的坐标分别为 11 ,x y（）， 22 ,xy（）. 当直线PQ的斜率
15、不存在时，由题意得 33 11 22 PQ（，），（，）或 33 11 22 PQ（，），（，）， 直线PQ的方程为1x 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y kxm ， 联立得 22 1 43 xy ykxm ，消去y得 222 4384120kxkmxm（）， 由 222222 644(43)(412)48(43)0k mkmkm ，得 22 43km 2 1212 22 8412 ,.(1) 4343 kmm xxx x kk ） 由 12 12 12 1 , (2)(2)4 y y k k xx 可得 1212 4(2)(2)0y yxx， 得 1212 4()()(2)(2)
16、0kxm kxmxx， 整理得 22 1212 (41)(42)()440,(2)kx xkmxxm 由（1）和（2）得 22 20mkmk，解得2mk或mk 当2mk时，直线PQ的方程为2ykxk，过定点( 2,0)，不合题意； 当mk时，直线PQ的方程为ykxk，过定点(1,0)， 综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0). 21 （12 分）已知函数 1, ln1 x xe f xg x xx . （1）当1x 时，不等式 f xm成立，求整数m的最大值； （参考数据： ln20.693,ln31.099） ； （2）证明：当1x 时， f xg x. 解： （1）当1x 时, 2 1
17、ln1 ln x x fx x , 令 1 ln1F xx x ,则 2 11 0Fx xx , 因此 F x在 1,上为增函数, 又 45 3ln30,4ln40 34 FF, 0 3,4x使得 00 0F xfx,即 0 0 1 ln1x x , 当 0 1xx时, 0fx, f x为减函数；当 0 xx时, 0fx, f x为增函数； 00 00 min 0 0 11 3,4 1 ln 1 xx fxfxx x x ,所以整数m的最大值为 3 （2）法一：要证 f xg x,即证 2 1 ln0 x x x e , 令 2 1 ln x x h xx e ,则 232 1212 x xx
18、 xxexxx h x xexe , 令 32 2 x xexxx,则 2 341 x xexx, 64,6 xx xexxe, 0x, x在 1,上为增函数,又 12e , 0x, x在 1,上为增函数,又 12e , 0x, x在 1,上为增函数,又 12e , 0x,即 0h x, h x在1,上为增函数, 10h xh,故 f xg x. 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C( 2,) 4 ，且圆C经过点(12,) 2 P . （1）求圆C的普通方程； （2）已知直线l的参数方程为 2cos 2sin xt yt （t为参数） ，0, 4 ，点(2,2)M， 直线l交圆C于
19、,A B两点，求|MAMB的取值范围. 解：解： （1） 2, 4 C 的直角坐标为1,1， 12, 2 P 的直角坐标为0,12， 圆 C 的半径为3PC ， 圆 C 的直角坐标方程为 22 (1)(1)3xy. （2）将 2cos 2sin xt yt 代入圆 C 的直角坐标方程 22 (1)(1)3xy， 得 22 1cos1sin3tt，即 2 210tt cossin ， 1212 2,1ttcossint t， 2 12121 2 (t)42 2s n|i 2MAMBABttttt . 0, 4 ， 20, 2 ， 2 2 | | 2 3MAMB， 即弦长MAMB的取值范围是2 2,2 3 .
