1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”7 17 （12 分）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，公差 d为整数， 5 35S ，且 2 a， 3 1a ， 6 a成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 18（12 分） 如图， 在四棱锥 中，平面， ，点为的中点 （1）证明： （2）求点到平面的距离 19 （12 分）某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生，调查他们每周运 动的总时长（单位：小时） ，按照0,5),5,10),10,15),15
2、,20),20,25),25,30共 6组进行统计，得到男 生、女生每周运动的时长的统计如下（表 1、2） ，规定每周运动 15小时以上（含 15小时）的称为“运动合 格者”，其中每周运动 25小时以上（含 25小时）的称为“运动达人”. 表 1：男生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 2 8 16 8 4 2 表 2：女生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 0 4 12 12 8 4 PABCDPC ABCD 2 2PC 2 3AB 24ADBC 90DABABC EPD CEAP E
3、PAC （1）从每周运动时长不小于 20 小时的男生中随机选取 2人，求选到“运动达人”的概率； （2）根据题目条件，完成下面22列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者” 与性别有关. 每周运动的时长小于 15 小 时 每周运动的时长不小于 15小 时 总计 男生 女生 总计 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.40 0.25 0.10 0.010 0 k 0.708 1.323 2.706 6.635 20 （12 分）已知直线与抛物线：交于，两点，且 的
4、面积为 16（ 为坐标原点）. （1）求的方程； （2）直线 经过的焦点且 不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交 于点，证明：为定值. 21 （12 分）已知函数 lnf xxax aR. （）讨论 f x的单调性； （）若 f x有两个零点，求实数a的取值范围. 2xp C 2 20ypx p P QPOQ O C lCFl x CABAB x D AB DF (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 3cos , 23sin xt yt （t为参数）.以坐
5、标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0. （1）求圆C的极坐标方程； （2）已知直线l与圆C交于A，B两点，若2 3OAOB，求直线l的直角坐标方程. 23. （10 分）已知函数 121f xxx . （1）求不等式 3f x 的解集； （2）若1,0 ，使得不等式 1f xa x成立，求实数a的最大值. 2020 届高三数学（文） “大题精练”7（答案解析） 17 （12 分）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，公差 d为整数， 5 35S ，且 2 a， 3 1a ， 6 a成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足
6、1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 【解析】 （1）由 53 535Sa，得 3 7a ，由 2 a， 3 1a ， 6 a成等比数列，得 2 263 164a aa，即 33 364adad，整理得 2 314150dd，又因为公差 d为整数，所以3d ，所以数列 n a的 通项公式为32 n an. （2） 1 11111 32313 3231 n nn b a annnn ，所以 123nn Tbbbb 11111111 1 34477103231nn 11 1 331n 31 n n . 18（12 分） 如图， 在四棱锥 中，平面， ，点为的中点
7、（1）证明： （2）求点到平面的距离 【解析】 （1）取的中点，连接在直角梯形中，,， ， 所以 又因为为的中点， 所以 因为 平面，平面，所以，又因为，所以平面，所 以在直角中，分别为的中点，因为 PABCDPC ABCD 2 2PC 2 3AB 24ADBC 90DABABC EPD CEAP EPAC CDF,AF PFABCD2 3AB 24ADBC 90DABABC 4ACADCDFCDAFCDPC ABCDAF ABCDPCAFPCCDCAF PCD AFCEPCD 2 2PC 4CD ,E F,PD CD ，所以，所以，所以 又因为平面，所以平面，则 （2）设点到平面的距离为，由
8、（1）可知平面，所以 ，整理得， 所以点到平面的距离为 19 （12 分）某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生，调查他们每周运 动的总时长（单位：小时） ，按照0,5),5,10),10,15),15,20),20,25),25,30共 6组进行统计，得到男 生、女生每周运动的时长的统计如下（表 1、2） ，规定每周运动 15 小时以上（含 15 小时）的称为“运动合 格者”，其中每周运动 25小时以上（含 25小时）的称为“运动达人”. 表 1：男生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 2 8 16 8 4
9、 2 表 2：女生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 0 4 12 12 8 4 （1）从每周运动时长不小于 20 小时的男生中随机选取 2人，求选到“运动达人”的概率； （2） 根据题目条件， 完成下面22列联表， 并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者” 与性别有关. 2 2 PCCF CDPC PCDFCPCPFPDCECDCEPF ,AF PF PAFAFPFFCE PAFCEAP EPAChAF PCD 11 33 A PCEE PACPACPCE VVh SAF S 1 2 32 2 2 2 3 1 4 2
10、2 2 PCE PAC AF S h S EPAC3 每周运动的时长小于 15 小 时 每周运动的时长不小于 15小 时 总计 男生 女生 总计 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.40 0.25 0.10 0.010 0 k 0.708 1.323 2.706 6.635 【解析】 （1）每周运动的时长在20,25)中的男生有 4 人，在25,30中的男生有 2 人，则共有 2 6 15C 个 基本事件，其中25,30中至少有 1 人被抽到的可能结果有 11 4 2 22 9CCC个
11、， 所以抽到“运动达人”的概率为 93 155 ； （2）每周运动的时长小于 15 小时的男生有 26 人，女生有 16人；每周运动的时长不小于 15小时的男生有 14 人，女生有 24人.可得下列22列联表： 每周运动的时长小于 15 小 时 每周运动的时长不小于 15小 时 总计 男生 26 14 40 女生 16 24 40 总计 42 38 80 2 2 80 (26 24 14 16) 40 40 42 38 K 2000 66.635 399 ， 所以没有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 20 （12 分）已知直线与抛物线：交于，两点，且 的面积为 16
12、（ 2xp C 2 20ypx p P QPOQ O 为坐标原点）. （1）求的方程； （2）直线 经过的焦点且 不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交 于点，证明：为定值. 【解析】 （1）将代入，得，所以的面积为. 因为，所以，故的方程为. （2）证明：由题意设直线 的方程为，由，得. 设，则，所以.因为线段的中点 的横坐标为， 纵坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，得，所以的横坐标为，所以，故为定 值. 21 （12 分）已知函数 lnf xxax aR. （）讨论 f x的单调性； （）若 f x有两个零点，求实数a的取值范围. 【解析】 （）函数 lnf xxa
13、x的定义域为0,， 1 fxa x . 当0a 时，由 0fx ，知函数 yf x在0,内单调递增； 当0a时，由 0fx ，即 1 0a x 得 1 0x a ；由 0fx，即 1 0a x 得 1 x a .所以，函数 yf x在 1 0, a 内单调递增，在 1 , a 内单调递减.因此，当0a 时， yf x在0,内单调递 增；当0a时， yf x在 1 0, a 内单调递增；在 1 , a 内单调递减； C lCFl x CABAB x D AB DF 2xp 2 2ypx 2yp POQ 2 1 24416 2 ppp 0p 2p C 2 4yx l 10yk xk 2 1 4 y
14、k x yx 2222 240k xkxk 11 ,A x y 22 ,B x y 2 12 2 24k xx k 2 12 2 44k xxpAB k AB 2 12 2 2 2 xxk k 2 k AB 2 2 212k yx kkk 0y 2 2 3x k D 2 2 3 k 22 22 312 k D k F 2 AB DF （）当0a 时，则函数 yf x在0,上为增函数，函数 yf x最多一个零点，不合乎题意， 舍去；当0a时，由（）知，函数 yf x在 1 0, a 内单调递增，在 1 , a 内单调递减. 且当0x时， f x ，当x 时， f x ，则 11 ln1ln10f
15、a aa ，即 ln1a，解得 1 0a e .因此，实数a的取值范围是 1 0, e . (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 3cos , 23sin xt yt （t为参数）.以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0. （1）求圆C的极坐标方程； （2）已知直线l与圆C交于A，B两点，若2 3OAOB，求直线l的直角坐标方程. 【解析】 （1）由圆C的参数方程 3cos , 23sin xt yt （t为参数） ，得圆C的普通方程为
16、 2 2 23xy，得 22 410xyy ，圆C的极坐标方程为 2 4 sin10 ； （2） 将直线l的极坐标方程代入圆C的极坐标方程， 得 2 4 sin10 ， 又 12 10 ，0， 2 16sin40x ，得 1 sin 2 ，所以4sin2 3OAOB，所以 3 或 2 3 .所以直线l的 直角坐标方程为3yx . 23. （10 分）已知函数 121f xxx . （1）求不等式 3f x 的解集； （2）若1,0 ，使得不等式 1f xa x成立，求实数a的最大值. 【解析】 （1） 1 3 , 2 1 1212, 1 2 3 ,1 x x f xxxxx x x ，当 1 2 x 时，33x，解得1x ； 当 1 1 2 x 时，23x ，不成立；当1x时，33x，解得1x.综上可知，不等式 3f x 的解集为 , 11, . （2） 1,0x ，使得不等式 1211xxa x 成立，即 1 1 21xxax ，所以 2 1 x a x 在 1,0x 时有解， 21 1 11 x y xx ， 当 1 ,0x 时， 11 ,1 12x ， 23 ,2 12 x x ， 所以2a
