1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章第九章第九章 二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法 概述概述 常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法 本章小结本章小结数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章一、概述一、概述分离变量法分离变量法直角坐标系、平面极坐标直角坐标系、平面极坐标本征函数是本征函数是三角函数三角函数实际实际正交曲面坐标系正交曲面坐标系 （球坐标系和柱坐标系）（球坐标系和柱坐标系）l 拉普拉斯方程的分离变量拉普拉斯方程的分离变量数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章拉普
2、拉斯方程拉普拉斯方程0u 球坐标（球坐标（r，,）2222221 111()(sin)()0sinsinuuurrrrrr),()(YrRu 球坐标系球坐标系连带勒让德方程连带勒让德方程 22222(1)2(1)01ddmxxl ldxdxx222(1)2(1)0ddxxl ldxdx m=0l 阶勒让德方程阶勒让德方程.数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章柱坐标（柱坐标（，z）2222211()0uuuz()()()uRZz贝塞尔方程贝塞尔方程柱坐标系柱坐标系212(1)0 xmRRRx拉普拉斯方程拉普拉斯方程0u 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章
3、l 求解线性二阶常微分方程求解线性二阶常微分方程 （带初始条件）（带初始条件）0001()()0,(),()yp x yq x yy xCy xC级数解法：级数解法：在某个任选点的领域上，把待求的解表达为系数待定的级在某个任选点的领域上，把待求的解表达为系数待定的级数，代入方程，逐个确定系数。数，代入方程，逐个确定系数。是否收敛是否收敛（1）x:复变数；复变数；p(x),q(x)y(x):复变函数复变函数 收敛范围收敛范围数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章l 方程的常点和奇点方程的常点和奇点方程（方程（1）的系数）的系数 p(x),q(x)均在某点均在某点 x0 的邻域内
4、的邻域内解析，解析，称称 x0 为方程的常点。为方程的常点。x0是系数是系数 p(x),q(x)的孤立奇点，称的孤立奇点，称 x0 为方程的奇点。为方程的奇点。正则正则奇点奇点x0是是 p(x)不超过一阶的极点不超过一阶的极点,又是又是 q(x)的不超过二阶的不超过二阶的孤立奇点的孤立奇点;称称 x0 为方程的正则奇点。否则为非正则为方程的正则奇点。否则为非正则奇点。奇点。常点常点奇点奇点数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章二、常点邻域上的级数解法二、常点邻域上的级数解法l 定理定理如果方程如果方程()()0yp x yq x y0001(),().y xCy xC的系数的
5、系数 p(x),q(x)在点在点 x0的邻域的邻域 内解析，则内解析，则方程在这圆内存在唯一的解析的解方程在这圆内存在唯一的解析的解 y(x)，满足初始条件满足初始条件0 xxR00()()nnny xaxx表示成泰勒级数的形式表示成泰勒级数的形式（C0,C1为任意复常数）为任意复常数）a0,a1,ak,待定系数待定系数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章以以l 阶勒让德方程为例进行分析阶勒让德方程为例进行分析 将解的级数形式代入方程，合并同幂次项；将解的级数形式代入方程，合并同幂次项；令合并后的各系数分别找零，找出系数之间的递推关系；令合并后的各系数分别找零，找出系数之间
6、的递推关系；用已知的初值确定系数，从而求得级数解用已知的初值确定系数，从而求得级数解l 系数的确定系数的确定数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章2(1)2(1)0 xyxyl lyl 勒让德方程的勒让德方程的级数解级数解即即222(1)0(1)(1)xl lyyyxx在在 x0=0 的邻域上求解的邻域上求解l 阶勒让德方程阶勒让德方程方程的系数方程的系数在在 x0=0:p(x0)=0,q(x0)=l(l+1),在在 x0=0解析解析222(1)(),()(1)(1)xl lp xq xxx x0=0 是方程的常点是方程的常点定理定理0()nnny xa x数学物理方程与特殊
7、函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章2312341()234.(1).kkyxaa xa xa xkax20(1)(2)(1)2(1)0kkkkkkkkak kakal lax2(1)(2)(1)(1)0kkkkal lk ka230123().kky xaa xa xa xa x于是于是2234223 24 3.(2)(1).kkyaa xa xkkax2(1)2(1)0 xyxyl ly代入代入l 阶勒让德方程阶勒让德方程合并同幂次的项列表合并同幂次的项列表数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章kkklklkkkkllkkkaaa)1)(2()1)()1)(2()1()
8、1(2递推公式：06)5)(3)(1)()2)(4(456)5(4604)3)(1)()2(234)3(2402)1)(012)1(2aaaaaaaaallllllllllllllllll！（）（！（）（！具体递推：0)2()12()1)()22(22)12()2()12(222aaakkllllkkkkkllkk！（）（数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章kkklklkkkkllkkkaaa)1)(2()1)()1)(2()1()1(2递推公式：17)6)(4)(2)(1)3)(5(567)6(5715)4)(2)(1)3(345)4(3513)2)(1(123)2)(1
9、(3aaaaaaaaallllllllllllllllll！（）（！（）（！具体递推：1)12()2()2)(1)12(12)2()12()2(1212aaakkllllkkkkkllkk！（）（数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章2212210011()()kkkkya xaxa yxa y x得到得到l 阶勒让德方程解：阶勒让德方程解：2402()(1)(2)()(1)(3)()1.2!4!(22)(24)()(1)(3)(21).(2)kl lll llyxxxklkll lllkxk！35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)().3!5!(21)(23)(1)
10、(2)(4)(2).(21)kllllllyxxxxklklllllkxk！数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章x=cos ,0 性质：性质：奇偶性：奇偶性：y0为偶函数，为偶函数，y1为奇函数；为奇函数；收敛性：收敛性：收敛半径为收敛半径为 11x l 级数解在级数解在 x=1 的收敛性的收敛性已证明：级数解已证明：级数解y0和和y1各自在各自在 x=1 发散（发散（l 不为整数时）不为整数时）10,x 0011()()ya yxa y x因此：形如因此：形如 而且在而且在x=1 均有限均有限的无穷级数解并不存在：的无穷级数解并不存在：l 阶勒让德阶勒让德在在x=1 均为
11、有限的均为有限的级数解并不存在！级数解并不存在！数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章实际定解问题要求：实际定解问题要求：u 在一切方向都需要保持有限在一切方向都需要保持有限勒让德方程的解在一切方向勒让德方程的解在一切方向 ,即在即在 x 的闭区间的闭区间-1,+1上保持有限上保持有限出路？出路？0无穷级数解无穷级数解y0和和y1均不满足该要求均不满足该要求无穷级数退化为有限项的多项式形式！无穷级数退化为有限项的多项式形式！无发散性无发散性数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章l 的选择：的选择：l 为非负整数，则当为非负整数，则当k=l 时时,级数解退化为
12、级数解退化为 l 次多项式；次多项式；l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式 P l (x)l 为偶数：为偶数：l=2n(n为整数为整数)2402()(1)(2)()(1)(3)()1.2!4!(22)(24)()(1)(3)(21).(2)nl lll llyxxxnlnll lllnxn！l 从从 x2n 项起，系数都含有因子项起，系数都含有因子(2n l)从而为从而为0，y0(x)退化为退化为2n次多项式，次多项式，且只含偶次幂项；且只含偶次幂项；l y1(x)不含不含(2n-l)，仍为无穷级数；，仍为无穷级数；l 取任意常数取任意常数 a1=0 即得只含偶次幂的即得只含偶次幂的l 次多项式次
13、多项式 a0y0(x)，当选定，当选定a0 得到得到的特解，称为的特解，称为l 阶勒让德多项式。阶勒让德多项式。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)().3!5!(21)(23)(1)(2)(4)(2).(21)nllllllyxxxxnlnlllllnxn！l 从从 x2n+1 项起，系数都含有因子项起，系数都含有因子(2n+1 l)从而为从而为0，y1(x)退化为退化为2n+1次次多项式，且只含奇次幂项；多项式，且只含奇次幂项；l y0(x)不含不含(2n+1-l)，仍为无穷级数；，仍为无穷级数；l 级数解中取任意常数级数解
14、中取任意常数 a0=0 即得只含奇次幂的即得只含奇次幂的l 次多项式次多项式 a1y1(x)，当选，当选定定a1 得到的特解，称为得到的特解，称为l 阶勒让德多项式。阶勒让德多项式。l 为奇数：为奇数：l=2n+1(n为零或正整数为零或正整数)数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章自然边界条件自然边界条件解在区间解在区间-1,1的两端的两端 x=1 保持有限保持有限本征值问题本征值问题本征值：本征值：l(l+1)本征函数：本征函数：l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式L 为零或正整数为零或正整数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章勒让德多项式勒让德多项式 2!
15、22(!)llall（）反用系数递推公式反用系数递推公式()(1)2(2)(1)klklaakkkk 改写为改写为(2)(1)2()(1)kkaakkklkl 可以把其它系数一一推算出来：可以把其它系数一一推算出来：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章1(1)(1)(2)!2(2)(21)2(21)2!(2)!(22)!(1)2(21)2(1)!(2)!2(1)!(2)!llll ll llaalllll lllll llll 222(22)!(2)(3)(2)(3)(1)42(4)(23)2 2!(23)2(1)!(2)!1(22)!(24)!(1)(1)2 2!(23)
16、2(1)(2)!(4)!2!2(2)!(4)!llllllllaallllllllllllll数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章(22)!(1)2!2()!(2)!nllnalnnl nln将将n记为记为k,求得求得l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式 的具体表达式为的具体表达式为/220(22)!()(1)2!()!(2)!lklklklkP xxlk l klk数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章三、正则奇点邻域上的级数解法三、正则奇点邻域上的级数解法()()0yp x yq x y的奇点，则其解也以的奇点，则其解也以x0为奇点，在点为奇点，在点x0领
17、域上展开为罗朗级领域上展开为罗朗级数形式数形式设设 x0 是线性二阶常微分方程是线性二阶常微分方程l 定理定理()()0yp x yq x y的正则奇点的正则奇点设设 x0 是方程是方程01()()kkkp xpxx02()()kkkq xqxx数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章则在则在 x0的邻域的邻域 内，方程的两个线性独立解为：内，方程的两个线性独立解为：00 xxR1100()()skkky xaxx2200()()skkkyxb xx或或221000()()ln()()skkkyxAy xxxb xx s1-s2 整数整数s1、s2：判定方程判定方程 12(1)
18、0s sspq的根（的根（s1 s2）A,ak,bk,常系数，常系数，A可能为可能为0。s1-s2整数整数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章222()0 x yxyxvyl 贝塞尔方程的级数解贝塞尔方程的级数解即即22(1/)(1/)0yx yvxy在在 x0=0 的邻域上求解的邻域上求解v 阶阶贝塞尔贝塞尔方程方程(v为非负数为非负数)点点 x0=0：方程的系数方程的系数一阶极点一阶极点 二阶极点二阶极点22()1/,()1/p xxq xvx（1 1）阶阶 v 整数或半奇数整数或半奇数（贝塞尔方程的级数解（贝塞尔方程的级数解）x0=0 是方程的是方程的正则奇点正则奇点
19、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章判定方程判定方程22212(1)(1)0s sspqs ssvsv 两个根为：两个根为：s1 v，s2 v s1-s2 2 v 不等于不等于0 0或正整数或正整数两根之差：两根之差：判定方程的两根之差判定方程的两根之差决定了两个线性独立解的形式：决定了两个线性独立解的形式：1100()()skkky xaxx2200()()skkkyxb xx数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章10()skkkysk a x2222020s ks ks kkkkkkkx ya xaxax 先不分先不分 s1，s2 0s kkkya x
20、20()(1)skkkyskska x代入方程，代入方程，方程的方程的解解合并同幂次的项列表合并同幂次的项列表数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章2()()0kkskv skv aa01120()()01(1)(1)0012()()kkksvsv asvksvsv aakaaskvskv 21()()kkaaskv skv约定约定 a00222()0kkksvaa即：2220()0s kkkkksv aax数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章24112002(22)1(1)23114204(24)2!(1)(2)20vvvvvaaaaaaa！s1=+v
21、时时21(2)kkaakvk2112220(2)(22)(1)()2(1)kkkkkvkkvvkaaa！210ka2410211()1.1!(1)22!(1)(2)21(1).!(1)(2).()2vkkxxy xa xvvvxk vvvk 第一个特解第一个特解数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章2101()()(1)!(1)2vkkvkxy xJxkvk通常取通常取012(1)vav级数收敛半径级数收敛半径22lim/lim 2(2)kkkkRaakvk 只要只要x有限，级数解就是收敛的！有限，级数解就是收敛的！v阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数数学物理方程与特殊函数数学物理方程
22、与特殊函数第九章第九章24112002(22)1(1)23114204(24)2!(1)(2)20vvvvvbbbbbbb！s2=-v 时时21(2)kkbbkvk2112220(2)(22)(1)()2(1)kkkkkvkkvvkbbb ！210kb2420211()1.1!(1)22!(1)(2)21(1).!(1)(2).()2vkkxxyxb xvvvxkvvvk 第二个特解第二个特解数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章2201()()(1)!(1)2vkkvkxyxJxkvk 通常取通常取012(1)vbv 级数收敛半径级数收敛半径22lim/lim 2(2)kk
23、kkRbbkvk 只要只要x有限，级数解就是收敛的！有限，级数解就是收敛的！-v阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数v 阶贝塞尔方程的通解阶贝塞尔方程的通解12()()vvyC JxC Jx数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章12,csc,CctgvCv取取2()cos()()()sinvvvJxvJxyxNxv12()()vvyC JxC Nxv 阶贝塞尔方程的通解阶贝塞尔方程的通解得到得到v 阶诺依曼函数阶诺依曼函数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章（2）半奇数阶半奇数阶 vl+1/2 时贝塞尔方程的解时贝塞尔方程的解特例特例:1/2 阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程
24、在在 x0=0 的领域内求解的领域内求解 l+1/2阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程2221()0(0,1,2,.)2x yxyxlyl x0=0 为方程的正则奇点为方程的正则奇点2221()02x yxyxy判定方程的两个根：判定方程的两个根：s1=v1=1/2 s2=v2=-1/2 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章122()sin xx122122()()()syxJxco xxs1-s2 2 v=1 为整数为整数对应于判定方程较大根的级数解：对应于判定方程较大根的级数解：1/2 21/201()(1)!(3/2)2kkkxJxkk判定方程两根之差判定方程两根之差第二个特解
25、：第二个特解：11/221/2()()()y xC JxC Jx阶贝塞尔方程的通解：阶贝塞尔方程的通解：阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数尽管判定方程两根之差为尽管判定方程两根之差为1 1，但常数，但常数 A=0=0，第二个特解中不出现对数函数，第二个特解中不出现对数函数 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章s1=l+1/2一般的半奇数一般的半奇数 (l+1/2)阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：1/2 2(1/2)01()(1)!(1/21)2lkklkxJxklk 两根之差两根之差11/22(1/2)()()()lly xC JxC Jxl+阶贝塞尔方程的通解：阶贝塞尔方程的通解：s2
26、=-(l+1/2)s1 s2=2l+1 为正整数为正整数1/2 21/201()(1)!(1/21)2lkklkxJxklk数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章（3）整数整数 v=m 阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程222()0 x yxyxmy在在 x0=0 的邻域上求解整数的邻域上求解整数m阶阶贝塞尔贝塞尔方程方程m为为自然数自然数s1=m两根之差两根之差s2=-ms1 s2=2m为零或正整数为零或正整数对应于判定方程大根的级数解：对应于判定方程大根的级数解：201()(1)!()!2mkkmkxJxkmk(1)()!kmmk其中：其中：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊
27、函数第九章第九章()cos()()lim()limsinvvmvvmvmJxvJxNxNxv对应于判定方程小根的级数解：对应于判定方程小根的级数解：201()(1)!(1)2mkkmkxJxkkm(1)()mmJx 线性相关，不能作为第二个独立的特解线性相关，不能作为第二个独立的特解 实际采用的第二个特解是诺依曼函数表达实际采用的第二个特解是诺依曼函数表达 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章12()()()mmy xC JxC Nx整数阶贝塞尔函数的通解整数阶贝塞尔函数的通解 而不是：而不是：12()()()mmy xC JxC Jx数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特
28、殊函数第九章第九章（4）x=0 处的自然边界条件处的自然边界条件0()1Jx()0(0)mJxm()vJx()vNx ()0,1,2,.mNxm 因此：如果所研究的区域中包含因此：如果所研究的区域中包含 x=0 在内，在内，排除：排除：保留：保留：0()Jx()mJx()vJx()mNx()vJx()vNx()0vJx(0)v(0)v l 贝塞尔方程，不论阶数是否为整数，在贝塞尔方程，不论阶数是否为整数，在x=0 x=0具有自然边界条件具有自然边界条件 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章四、虚宗量贝塞尔方程四、虚宗量贝塞尔方程柱坐标系下对拉普拉斯方程分离变量得到虚宗量柱坐
29、标系下对拉普拉斯方程分离变量得到虚宗量贝塞尔贝塞尔方程方程22222()0d RdRxxxvRdxdxv 阶虚宗量阶虚宗量贝塞尔贝塞尔方程方程(v不等于整数、半奇数不等于整数、半奇数)变量代换变量代换ix得到得到v 阶阶贝塞尔贝塞尔方程方程22222()0d RdRvRdd数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章两个线性独立解：两个线性独立解：201()()=(1)!(1)2vkkvvkixJJixkvk201=!(1)2vkvkxikvk201()()=(1)!(1)2vkkvvkixJJixkvk 201=!(1)2vk-vkxikvk 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与
30、特殊函数第九章第九章得到虚宗量贝塞尔函数得到虚宗量贝塞尔函数(实函数实函数)：201()()=!(1)2vkvvvkxIxiJixkvk201()()=!(1)2vkvvvkixIxi Jixkvk v 阶虚宗量贝塞尔方程的通解：阶虚宗量贝塞尔方程的通解：12()()vvC IxC Ix均为正项级数，除均为正项级数，除 x=0 外恒不为零外恒不为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章22222()0d RdRxxxmRdxdxm阶虚宗量阶虚宗量贝塞尔贝塞尔方程方程(m为整数为整数)第一个特解：第一个特解：201()()=!()!2mkmmmkxIxiJixk mkm阶虚宗量贝塞尔函数阶虚宗量贝塞尔函数0(0)1I(0)0mI均为正项级数，除均为正项级数，除 x=0 外恒不为零外恒不为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第九章第九章l 由于由于 Im(x)为正项级数为正项级数(除除 x=0 外外)，因此如果在圆柱坐，因此如果在圆柱坐标系下求解拉氏问题时，当圆柱侧面为齐次边界条件，就标系下求解拉氏问题时，当圆柱侧面为齐次边界条件，就只能够取只能够取0，而不能取，而不能取0。这是因为。这是因为0 引出虚宗量引出虚宗量方程，其解恒不为零方程，其解恒不为零(除非除非x=0)。
