1、基本计数原理基本计数原理学习目标：理解并掌握分类（加法）、分步（乘法）原理问题情境1若当天还有若当天还有4次航班，则有多少种不同的走法？次航班，则有多少种不同的走法？N=3+2+4=9(N=3+2+4=9(种）种）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，火车有3班，汽车有2班，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？共有多少种不同的走法？N=325（种）（种）思考：你能否简要的说明你是如何思考的？你能否简要的说明你是如何思考的？完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法.在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，在第在第2类方法中有类方法中有m2种不同的方
2、法，种不同的方法，在第在第n类方法中有类方法中有mn种不同的方法，种不同的方法，则完成这件事共有则完成这件事共有:2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数数.1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事都能独立的完成这件事，要计算方法种数，要计算方法种数,只需将各类方法数相加只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称因此分类计数原理又称加法原理加法原理N=m1+m2+mn 种不同的方法种不同的方法 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2
3、条。那么从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法共有多少种不同的走法?问题情境2A村B村C村 1、若从B村去C村的道路再增加2条，则共有多少种不同的走法？2、你能对照情境1的思考与计数规律，归纳概括出情境2蕴含的计数规律吗?思 考6231243 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。个步骤。做第做第1步有步有m1种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，则完成这件事共有则完成这件事共有 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，
4、然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才算完成这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数,又称又称乘法原理乘法原理N=m1m2 mn种不同的方法种不同的方法132对比两计数原理，对比两计数原理，指出它们的相同点指出它们的相同点与不同点？与不同点？何时用分类加法计何时用分类加法计数原理？数原理？何时用分步乘法计何时用分步乘法计数原理？数原理？用两个计数原理解用两个计数原理解决计数问题的思维决计数问题的思维步骤是什么？步骤是什么？对比两计数对比两计数原理，指出原理
5、，指出它们的相同它们的相同点与不同点点与不同点？1 回答的都是关于完成一件回答的都是关于完成一件 事情的不同方法的事情的不同方法的种数种数问题。问题。每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成这这件事情。件事情。与与“分类分类”有关有关与与“分步分步”有关有关每一步得到的只是每一步得到的只是中间结果，任何一中间结果，任何一步都步都不能独立完成不能独立完成这件事情这件事情，缺少任，缺少任何一步也不能完成何一步也不能完成这件事情，只有每这件事情，只有每个步骤完成了，才个步骤完成了，才能完成这件事情。能完成这件事情。各类办法是并列的、各类办法是并列的、独立的独立的各步之间是相关联的各步之间是相关联的2
6、何时用分类加何时用分类加法计数原理？法计数原理？何时用分步乘何时用分步乘法计数原理？法计数原理？如果完成一件事，可以有n类办法，这n类办法中的任一类办法都能独立的完成这件事，此时应用分类加法计数原理.如果完成一件事，需分成n个步骤进行而且必须连续做完每个步骤才能完成这件事，此时应用分步乘法计数原理.用两个计数原理解用两个计数原理解决计数问题的思维决计数问题的思维步骤是什么？步骤是什么？3（1）明确要完成什么事明确要完成什么事（2）怎么完成）怎么完成（3）判断分类还是分步）判断分类还是分步（4）计算总方法数计算总方法数11有有7种取法。种取法。因此取法种数共有因此取法种数共有8+7=15（种）（
7、种）例例1：两个袋子里分别装有两个袋子里分别装有8个白球，个白球，7个红球，个红球，从中任取一个球，有多少种不同的取法？从中任取一个球，有多少种不同的取法？解：取一个球的方法可以分成两类：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球一类是从装白球的袋子里取一个白球有有8种取法；种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球另一类是从装红球的袋子里取一个红球8个个7个个例题分析注意：分类加法计数要做到注意：分类加法计数要做到 不重，不漏！不重，不漏！例例2 2：要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2 2幅，幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多
8、少种分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？不同的挂法？32实际生活中的数学问题实际生活中的数学问题注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法数注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法数N=623 一个三层书架的上层放有一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有本不同的数学书，中间放有3本不同的语文书，下层放有本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书本不同的英语书:（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英
9、语书各一本，有多少种不同的取法？解：（解：（1）N=5+3+2=10（种）（种）例例3：（2）N=532=30（种）（种）（1 1）N=5N=54 43 32=1202=120（个）（个）用用1,2,3,4,5这五个数字可以组成多少个无重复数字的：这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？）银行存折的四位密码？（2）四位偶数？）四位偶数？例例4：（2 2）N=2N=24 43 32=482=48（个）（个）用用0,1,2,3,4这五个数可以组成多这五个数可以组成多少个无重复数字的四位数？少个无重复数字的四位数？变式探究：四位偶数？四位偶数？现有高一年级学生代表现有高一年级
10、学生代表3 3名，高二年级学生代表名，高二年级学生代表5 5名，高三年级学生代表名，高三年级学生代表2 2名名（1）从中任选一人担任学生会主席，共有多少种不同的选法？（2）从每个年级的代表中任选一人，由选出的三个人组成校学生会主席团，共有多少种不同的选法？（3）从高一年级和高二年级的学生代表中各选一人，与高三年级的两名学生代表，共四人组成校学生会主席团，共有多少种不同的选法？课堂练习课堂练习N=3+5+2=10N=352=30N=351=15甲甲丙丙丁丁乙乙142432N课堂练习课堂练习2、若将四封信投入到三个信箱中，、若将四封信投入到三个信箱中，共有多少种不同的投法？共有多少种不同的投法？练
11、习练习 要从甲、乙、丙3 3幅不同的画中选出2 2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?分两分两步完步完成成左边左边右边右边甲甲乙乙丙丙乙乙丙丙甲甲丙丙甲甲乙乙3 32 2第一步第一步第二步第二步学案学案P46-2P46-2AB该电路从该电路从A A到到B B共有多少条不同的线路可通电？共有多少条不同的线路可通电？分类完成分步完成解解:从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分二类的通电线路可分二类,第一类第一类,m1=4 条条 第二类第二类,m3=22=4,条条 所以所以,根据加法原理根据加法原理,从从A到到B共有共有 N=4+4=8 条不同的线路可通电条不同的线
12、路可通电.ABm1m2mn.ABm1m2mn点评点评:乘法原理乘法原理看成看成“串联电路串联电路”加法原理加法原理看成看成“并联电路并联电路”;问题问题4 4：何时用：何时用加法原理、乘法原理加法原理、乘法原理呢呢?加法原理加法原理完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.乘法原理乘法原理完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.分类要做到“不重不漏”分步要做到“步骤完整”练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）
13、每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？729366 5 4120 36216例例1 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数的自然数?(3)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位数字
14、不允许重复的四位数且各位数字不允许重复的四位数?一、排数字问题一、排数字问题二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多少种不同的映射共有多少种不同的映射?三、染色问题三、染色问题:例例3 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在要求在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中不区域中不用同一种颜色用同一种颜色.(1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法?(2)若为若为(2)着色时共有着色时共有120种不同方法种不同方法,求求n (1)(2)、如图、如图,
15、要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成四个区域依次分四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。种。、如图、如图,要给地图要给地图
16、A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？若用若用2色、色、4色、色、5色等色等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？答答:它们的涂色方案种数分别是它们的涂色方案种数分别是 0、4322=48、5433=180种等。种等。思考：思考：.如图如图,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色,规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色,相邻区域必须相邻
17、区域必须涂不同的颜色涂不同的颜色,不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：分析：如图，如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两不同，三个区域的颜色两两不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不两个区域可以同色，也可以不同色，但同色，但D D与与B B、C C不同色。由此可见我们需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D同色与不同色同色与不同色分成两大类。分成两大类。解：解：先分成两类：第一类，先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。第一步涂不同色
18、，可分成四步完成。第一步涂A A有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种种方法；第三步涂方法；第三步涂C C有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有2 2种方法。根据分步计数原理，共有种方法。根据分步计数原理，共有5 54 43 32 2120120种方法。种方法。根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有120+60120+60180180种方法。种方法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，第一步涂同色，分三步完成，第一步涂A A和和D D有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种
19、方法。根据分步计数原理，共有种方法。根据分步计数原理，共有5 54 43 36060种方法。种方法。5、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）种（以数字作答）424、如图，是、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方
20、法？色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题四、子集问题规律：规律：n元集合元集合 的不同子集有个的不同子集有个 。12,.,nAa aa2n例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数为它的子集个数为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空子集个数为，非空子集个数为 ，非空真，非空真子集个数为子集个数为 。五、综合问题五、综合问题:例例4 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以从可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字这五个数字中任取两个不同的数字,则方程则方程所表示的不同的直线共有多少条所表示的不同的直线共有
21、多少条?例例5 5、7560075600有多少个正约数有多少个正约数?有多少个奇约数有多少个奇约数?解解:由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 77560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式,其中其中,lkjl753240 i30 j20 k10 l于是于是,要确定要确定7560075600的一个约数的一个约数,可分四步完成可分四步完成,即即i,j,k,li,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值分别在各自的范围内任取一个值,这样这样i i有有5 5种种取法取法,j,j有有4 4种取法种取法,k,k有有3 3种取法种取法,l,l有有
22、2 2种取法种取法,根据分步计数原理得约数的个数为根据分步计数原理得约数的个数为5 54 43 32=1202=120个个.一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,6,7,8,96,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)?)?首位数字不为首位数字不为0 0的密码数是多的密码数是多少少?首位数字是首位数字是0 0的密码数又是多少的密码数又是多少?分析分析:按密码位数按密码位数,从左到右从左到右依次设置第一位、第二位、第三依次设置第一位、第二位
23、、第三位位,需分为三步完成需分为三步完成;第一步第一步,m1=10;第二步第二步,m2=10;第三步第三步,m3=10.根据乘法原理根据乘法原理,共可以设置共可以设置 N=101010=103 种三位数的密码。种三位数的密码。练习首位数字不为首位数字不为0 0的密码数的密码数?首位数字是首位数字是0 0的密码数的密码数?一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,6,7,8,96,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)?)?首位数字不为首位数字
24、不为0 0的密码数是多的密码数是多少少?首位数字是首位数字是0 0的密码数又是多少的密码数又是多少?分析分析:按密码位数按密码位数,从左到右从左到右依次设置第一位、第二位、第三依次设置第一位、第二位、第三位位,需分为三步完成需分为三步完成;第一步第一步,m1=10;第二步第二步,m2=10;第三步第三步,m3=10.根据乘法原理根据乘法原理,共可以设置共可以设置 N=101010=103 种三位数的密码。种三位数的密码。练习变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?答答:首位数字不为首位数字不为0的密码数是的密码数是 N=91010=9102 种种,首位数字
25、是首位数字是0的密码数是的密码数是 N=11010=102 种。种。由此可以看出由此可以看出,首位数字不为首位数字不为0的密码数与首位数字是的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。的密码数之和等于密码总数。问问:若设置四位、五位、六位、若设置四位、五位、六位、十位等密码、十位等密码,密码数分别有多少种？密码数分别有多少种？答答:它们的密码种数依次是它们的密码种数依次是 104,105,106,种。种。1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种种不
26、同的方法不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.12nNmmm2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的方种不同的方法法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.12nNmmm分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理
27、的共同点：共同点：不同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题课堂小结课堂小结完成一件事，共有完成一件事，共有n类办法，关键词类办法，关键词“分类分类”区别区别1完成一件事，共分完成一件事，共分n个步骤，关键词个步骤，关键词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法都能独立地完成这件事情，它是独每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件
28、事只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只只有各个步骤都完成了，才能完成这件事有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。各步之间是互相关联的。即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联。知识内容：知识内容：弄清两个原理的区别与联系弄清两个原理的区别与联系（1 1）分类分类加法加法计数原理是计数原理是“分类分类”，每类办法，每类办法 中的每一种方法都能中的每一种方法都能完成这件事完成这件事.思想方法：思想方法：类比、分类讨论、数形结合类比、分类讨论、数形结合 （2 2）分步分步乘法乘法计数原理是计数原理是“分步分步”，任何一步都，任何一步都不能独立不能独立完成这件事情，只有每个步骤都完成了，才能完成这件完成这件事情，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事情事情.谢谢
