1、 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试数学模拟测试 本试卷共 23 题，共 150 分，考试时间 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答 题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
2、 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1.集合0,1,2,3,4,5A，集合 |2Bx x，则AB（ ） A0,1,2 B2,3,4,5 C0,1 D3,4,5 2.设复数z满足 2 zi i z ，则复数z的虚部为（ ） A 1 2 B 1 2 i C 1 2 D1 3.等差数列 n a的前n项和为 n S，若 15 3aa， 216 5aa，则
3、 11 S（ ） A48 B22 C12 D36 4.已知不等式 22 240xmxm成立的必要不充分条件是1x或2x，则实数m的最大值为（ ） A1 B2 C3 D4 5.设, x y满足约束条件 10 10 210 xy xy xy ，则2zyx的最小值为（ ） A1 .2 C3 D4 6.函数 ln | ( ) x f xx x 的图象大致为（ ） A B C D 7. 7 11 3 xx xx 的展开式中 2 x的系数为（ ） A35 B28 C21 D42 8.执行如图所示的程序框图，若输出n的值为 2047，则输入正整数N的值为（ ） A10 11.12 C9 D11 9.据孙子算
4、经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨 大贡献的 7 人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A 3 10 B 2 5 C 8 25 D 3 5 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A488 3 B408 2 C488 6 D448 6 11.已知直线2ykxk与抛物线 2 4yx相交于,P Q两点，点( 2, 2)A ，若直线,AP AQ的斜率分别为 12 ,k k，则 12 kk等于（ ） A5 B3 C1 D7 12.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 123 ,
5、Aa a a重新编辑，编辑新序 列为 * 234 123 , aaa A aaa ，它的第n项为 1n n a a ，若序列 * * A的所有项都是 2，且 5 1a ， 6 32a ，则 1 a 等于（ ） A 1 256 B 1 512 C 1 1024 D 1 2048 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上分，把答案填在答题卡中的横线上 13.已知向量12,e e满足 11e ，22e ，若（ 121228eeee ，则向量1e与2e的夹角为_. 14.若存在唯一的实数0, 2 t ，使得曲线cos
6、(0) 3 yx 关于点( ,0)t对称，则的取值范围 是_. 15.已知双曲线 12 ,C C的焦点分别在, x y轴上， 离心率分别为 12 ,e e， 且渐近线相同， 则 12 e e的最小值为_. 16.如图所示，在长方体 1111 ABCDABC D中，3AB ，2AD ， 1 1AA ，过 1 BD的截面的面积为S， 则S的最小值为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根
7、据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，AD为角A的角平分线，交BC于D， () (sinsin)(2 )sinbaBAcaC. （1）求B； （2）若2 2AD ，2BD ，求b. 18.如图，几何体是由半个小圆柱及 1 4 个大圆柱拼接而成，其中,G H分别为CD与AB的中点，四边形 ABCD为正方形. （1）证明：DFB 平面GCBH. （2）求平面DFB与平面ABG所成二面角的正弦值. 19.某生鲜超市每天从蔬菜生产基地购进某种蔬菜，每天的进货量相同，进价 6 元/千克
8、，售价 9 元/千克，当 天未售出的蔬菜被生产基地以 2 元/千克的价格回收处理.该超市发现这种蔬菜每天都有剩余，为此整理了过 往 30 天这种蔬菜的日需求量X（单位：千克） ，得到如下统计数据： 日需求量X 160 170 180 190 200 210 220 天数 3 6 6 9 4 1 1 以这 30 天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，假设各日需求量相互独立. （1）求在未来的 3 天中，至多有 1 天的日需求量不超过 190 千克的概率； （2）超市为了减少浪费，提升利润，决定调整每天的进货量n（单位：千克） ，以销售这种蔬菜的日利润 的期望值为决策依据，在180n 与2
9、00n 之中选其一，应选用哪个？ 20.设圆 22 4600xyx的圆心为 2 F，直线l过点 1( 2,0) F 且与x轴不重合，交圆 2 F于,C D两点， 过点 1 F作 2 CF的平行线交 2 DF，于点E. （1）求 12| |EFFF的值； （2）设点E的轨迹为曲线 1 E，直线l与曲线 1 E，相交于,A B两点，与直线8x 相交于M点，试问在 椭圆 1 E， 上是否存在一定点N， 使得 132 ,k k k成等差数列 （其中 123 ,k k k分别指直线,AN BN MN的斜率） . 若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数 1 ( )ln ()f xx
10、ax a x R. （1）讨论函数( )yf x的单调性； （2） 若01b， 1 ( )( )sing xf xbx x ， 且存在不相等的实数 12 ,x x， 使得 12 g xg x， 求证0a 且 2 21 1 a x x b . （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方 程为10sin，直线l的极坐标方程为 3 2
11、 sin 42 . （1）求曲线C与直线/的直角坐标方程. （2）直线l与x轴的交点为P，与曲线C的交点为,A B，求| |PAPB的值. 23.选修 45：不等式选讲 已知函数( )2|2| 3|3|()f xxxa aR （1）关于x的不等式( )0f x 的解集为 | 24xx ，求a的值； （2）若函数( )f x的图象与x轴围成图形的面积不小于 50，求a的取值范围. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案数学模拟测试参考答案 1.D 本题考查集合的运算，因为0,1,2,3,4,5A， |2Bx x，所以3,4,5AB. 2.C
12、本题考查复数的运算，因为 2 zi i z ，所以 1 12 ii z i ，故复数z的虚部为 1 2 . 3.B 本 题 考 查 等 差 数 列 的 性 质 . 因 为 15 3aa， 216 5aa， 所 以 3 23a ， 9 25a ， 故 11 139 11 1111 22 22 aaaa S . 4.C 本题考查充分必要条件.由不等式 22 240xmxm，得2xm或2xm，因为不等式 22 240xmxm成立的必要不充分条件是1x或2x，所以 21 2 2 m m ，得03m剟，经检验，等 号可以取得，所以实数m的最大值为 3. 5.A 本题考查线性规划.由不等式组画出可行域，
13、如图 （阴影部分） 所示.目标函数2zyx取得最小值 直线 1 22 z yx（z看作常数）的截距最小，由图可得，直线2zyx过点A时z取得最小值，由 10 210 xy xy ，得点( 1,0)A ，所以 min 2 0( 1)1z . 6.A 本题考查函数的图象，由题知，函数( )yf x为奇函数，所以 B 选项错误； 又因为(1)10f，所以 C 选项错误；又因为 ln2 (2)20 2 f，所以 D 选项错误. 7.B 本题考查展开式， 由题知， 7 1 x x 的展开式的通项为 7 77 2 17 1 r rrrr r TC xC x x ， 令721r， 得3r ， 3 7 35C
14、 ，再令723r，得2r ， 2 7 21C ，故 7 11 3 xx xx 的展开式中 2 x的系数为 1 352128 3 . 8.D 本题考查程序框图， 由题知， 当2n 时， 2 log 3S ， 当3n 时， 2 log 4S ， 当4n 时， 2 log 5S ， 由此可知，终止循环时， 2 log (1)Sn，又因为输出n的值为 2047，所以 2 log (20471)11S ，故 输入整数N的值为 11. 9.B 本题考查数学史及古典概型，由题知，7 人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人的方法 种数共有 22 5 75 5 2 2 C C A A .伯爵恰有两人的方
15、法种数为 224 754 C C A，故所求事件的概率为 224 754 22 5 75 5 2 2 2 5 C C A C C A A . 10.C 本题考查三视图.由三视图知，该几何体的直观图为如右图所示的EFGDCBA，四边形ABCD是 边长为 4 的正方形， 所以16 ABCD S， 四边EBAF和GDAF为全等的直角梯形.所以 24 412 2 EBAF S ， 4 BCEDCG SS . 四 边 形E C G F是 菱 形 ， 其 对 角 线 长 分 别 为4 2和4 3， 所 以 1 4 24 38 6 2 ECGF S，所以该几何体的表面积42162 128 6488 6 .
16、11.C 本题考查抛物线的性质，设 11 ,P xy， 22 ,Q x y，所以 1 1 1 2 2 y k x ， 2 2 2 2 2 y k x 所 以 12121212 12 12 121212 22822 2224 y xx yyyxxyy kk xxx xxx ， 又 因 为 11 2ykxk， 22 2ykxk， 所以 1212 12 1232 2288 24 kx xxxk kk x xxx ， 联立方程 2 2 4 ykxk yx ， 得 222 44k xkx 2 40k，所以 12 4x x ，故 12 12 12 8288 1 424 kxxk kk xx . 12.C
17、本题考查数列的综合应用， 由题知， 序列 * * A的所有项都是 2， 设 2 1 a q a ， 所以 *2 ,2 ,2,Aqqq， 即 1 1 2n n n a q a ， 又因为 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa ， 所以 (2)(1) 231 2 11 222 nn nnn n aqqq aqa ， 又因为 5 1a ， 6 32a ，所以 64 51 21aqa， 105 61 232aqa，解得 1 1 1024 2 a q . 13. 3 本题考查平面向量.因为 121228eeee ，所以 22 112228eeee ，又因为11e ， 22e ，所以 2
18、 121 1 2cos,228e e ，解得12 1 cos, 2 e e，所以向量 1e与2e的夹角为 3 . 14. 5 11 , 3 3 本 题考 查 三角 函数 的 性 质 . 因为0, 2 t ， 所 以, 3323 t ， 所 以 3 2232 ，解得 511 33 . 15.2 本题考查双曲线的性质.不妨设双曲线 1 C的方程为 22 22 1 xy ab ，则 22 2 1 2 ab e a ，因为曲线 12 ,C C的 渐 近 线 相 同 ， 则 双 曲 线 2 C的 方 程 为 22 22 (0) yx m m ba ， 则 2222 2 2 22 mbmaba e mbb
19、 ， 所 以 22 222222 12 11 1 ab eeabab ， 22 121 2 111 2 eeee ， 1 2 2ee， 当且仅当 12 2ee时取 “” ， 故 12 e e 的最小值为 2. 16. 2 70 5 本题考查立体几何的综合应用，由题知，截面可能是矩形，可能是平行四边形. （1）当截面为矩形时，即截面为 11 ABC D， 11 ABCD， 11 BB D D， 11 3 5 DABC S， 11 2 10 BCDA S， 11 13 BB D D S，此时矩形 11 BB D D的面积最小； （2）当截面为平行四边形时，有三种位置： 1 BED F， 1 BPD
20、Q， 1 BRDS，如下图所示， 对于截面 1 BFD F，过点E作 1 EMBD于M，如图（a）所示， 由对称性可知 1 1BED F SBDEM，因为 1 14BD ， 所以 1 14 BED F SEM，过点M作 1 MND D交BD于N.连接AN，当ANBD时，AN最小，此 时EM的值最小. 236 13 1313 EM ， 故四边形 1 BED F的面积的最小值 1 6 136 182 14 1313 BED F S. 同理可得四边形 1 BPDQ的面积的最小值为 1 3 106 35 14 1010 BPD Q S， 同理可得四边形 1 BRDS的面积的最小值为 1 2 52 70
21、 14 55 BRD Ss ， 又因为 3694 13105 ，所以当截面为平行四边形时，截面面积最小值为 2 70 5 . 又因为 2 70 13 5 ，所以过 1 BD的截面面积S的最小值为 2 70 5 . 17.解：本题考在解三角形. （1）由正弦定理知()()(2 )ba baca c，所以 22222 22cosbacacacacB，得 2 cos 2 B ，又因为(0, )B，所以 4 B . （2） 因为2 2AD ，2BD ， sinsin ADBD BBAD ， 所以 1 sin 2 BAD， 6 BAD ， 所以 3 BAC ， 5 3412 C ， 又 因 为 5 12
22、 ADCBBAD ， 所 以ADC为 等 腰 三 角 形 ， 所 以 2 2bAD. 18，解：本题考查面面垂直及二面角. （1）由题知 4 ABF ，又因为H为AB的中点， 所以 4 ABH ，故 2 HBF ，BFBH，又因为BC 平面ABH，BF 平面ABH，所以 BCBF，又因为BCBHB， 所以BF 平面GCBH，因为BF 平面DFB，所以平面DFB 平面GCBH. （2）由题可得，直线,AB AF AD两两垂直，故以,AF AB AD所在的直线分别为, ,x y z轴建立空间直角 坐标系，如图所示，不妨设2AB ，所以(0,0,0)A，(0,2,0)B，(2,0,0)F，(0,0,
23、2)D，( 1,1,2)G ， 设平面DFB的法向量为 111 ,mx y z，又因为( 2,2,0)FB ，( 2,0,2)FD ，所以 0 0 m FB m FD ， 即 11 11 220 220 xy xz ，令 1 1x ，求得 1 1y ， 1 1z ，即平面DFB的一个法向量为(1,1,1). 设平面ABG的法向量为 222 ,nxy z，又因为( 1,1,2)AG ，(0,2,0)AB ， 所以 0 0 n AG n AB ， 即 222 2 20 20 xyz y ， 令 2 2x ， 得 2 1z ， 所以平面ABH的一个法向量为(2,0,1)， 222222 1 21 0
24、1 115 cos, 5| 111201 m n m n m n ，所以平面DFB与平面ABG所成二而角的正 弦值为 10 5 . 19.解：本题考查离散型随机变量分布列及其应用. （1）依题意，日需求量不超过 190 的概率 244 (190) 305 P X， 记“未来的 3 天中，至多有 1 天的日需求量不超过 190”为事件A， 则 32 1 3 14113 ( ) 555125 P AC . （2）设日利润为Y元. 当180n 时，若160X ，则160 3 20 4400Y ， 若170X ，则170 3 10 4470Y ，若180X，则180 3540Y ， 所以Y的分布列为
25、Y 400 470 540 P 1 10 1 5 7 10 117 ( )400470540512 10510 E Y. 当200n 时，若160X ，则160 3 40 4320Y ， 若170X ，则170 3 30 4390Y ，若180X ，则180 3 20 4460Y ， 若190X ，则190 3 10 4530Y ，若200X，则200 3600Y ， 所以Y的分布列为 Y 320 390 460 530 600 P 1 10 1 5 1 5 3 10 1 5 11131 ( )320390460530600481 1055105 E Y. 所以当180n 时，日利润的期望值大
26、于当200n 时日利润的期望值，故应选180n . 20.解：本题考查直线与椭圆的综合应用. （1）因为 22 F DFC， 12 FECF， 所以 221 F DCFCDEFD，所以 1 |EFED， 所以 1222 |EFEFEDEFDF，又因为圆 2 F的半径为 8，即 2 8DF ， 所以 12 8EFEF. （2） 由 （1） 知， 曲线 1 E， 是以 12 ,F F为焦点的椭圆， 且长轴长为 8， 所以曲线 1 E的方程为 22 1(0) 1612 xy y， 设直线l的方程为(2)yk x，代入椭圆化简得 2222 431616480kxk xk， 设 11 ,A x y， 2
27、2 ,B x y， 00 ,N x y， 2 12 2 16 43 k xx k ， 2 12 2 1648 43 k x x k ， 所以 0 0001212 0102 12 2 0102001212 2422 x ykkkxyxxkx x yyyy kk xxxxxxxxx x 2 00000 2 22 00 821286 42348 y kxk xx y kxx ， 因为 132 ,k k k成等差数列，所以 312 2kkk，因为 0 3 0 6 8 yk k x ，所以 0 0 6 2 8 yk x 2 00000 2 22 00 821286 42348 y kxk xx y kx
28、x ， 化简得 22 32 000000 2422422422420kxk yxk xyx，对任意的k该等式恒成立， 所以 0 2x ，所以存在点( 2, 3)N ，使得 132 ,k k k成等差数列. 21.解：本题考查函数与导数的综合应用. （1） 2 22 11 ( )1(0) axax fxx xxx ，当0a时，因为0x ，所以 2 10xax ，所以广 ( )0fx，故函数( )f x在(0,)上单调递增，当20a时， 2 4 0a ， 2 1 0xax ，所以 ( )0fx，故函数( )f x在(0,)上单调递增，当2a 时，( )0fx，解得 2 1 0 2 aa x 或 2
29、 4 2 aa x ，( )0fx， 解 得 22 44 22 aaaa x ， 所 以 函 数( )f x在 区 间 22 44 , 22 aaaa 上单调递减，在区间 2 4 0, 2 aa 和区间 2 4 , 2 aa 上单 调递增， 综上所述，当2a时，函数( )f x在(0,)上单调递增， 当2a 时，函数( )f x在区间 22 44 , 22 aaaa 单调递减，在区间 2 4 0, 2 aa 和区 间 2 4 , 2 aa 上单调递增. （2）由题知( )lnsing xxaxbx，( )1cos a g xbx x ， 当0a时，( )1cos10 aaa g xbxb xx
30、x 厖，所以( )g x在(0,)上单调递增，与存在不相等的 实数 12 ,x x，使得 12 g xg x矛盾，所以0a . 由 12 g xg x，得 111222 lnsinlnsinxaxbxxaxbx， 所以 212121 lnlnsinsinaxxxxbxx，不妨设 12 0xx， 令( )sin (0)xxx x，( )1cos0xx ， 所 以 函 数( )x在(0,)上 单 调 递 增 ， 所 以 2211 sinsinxxxx，即 2121 sinsinxxxx， 所以 21212121 lnlnsinsin(1)axxxxbxxbxx，因为01b， 所以 21 21 0
31、1lnln axx bxx ， 欲证 2 12 1 a x x b ，只需证 2 21 12 21 lnln xx x x xx ，只需证 21 12 21 lnln xx x x xx ， 令 2 1 x t x ，1t ，等价于证明 1 ln t t t ，即证 1 ln0 t t t ， 令 1 ( )ln(1) t h ttt t ， 2 (1) ( )0 2 t h t t t ， 所 以( )h t在 区 间(1,)上 单 调 递 碱 ， 所 以 ( )(1)0h th，从而 1 ln0 t t t 得证，于是 2 21 1 a x x b . 22.解：本题考查坐标方程的互化与弦
32、长. （1）曲线C的极坐标方程为10sin，所以 2 10 sin，由 cos sin x y ，得曲线C的直角坐标 方程为 22 100xyy， 又因为直线l的极坐标方程为 3 2 sin 42 ， 即sincos3， 所以直线l的直角坐标方程为3yx. （2）由（1）知，点P的坐标为( 3,0)，不妨设直线l的参数方程为 2 3, 2 2 2 xt yt （t为参数） ，曲线C 的直角坐标方程为 22 100xyy，把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程并化简得 2 8 290tt，设方程的两根分别为 12 ,t t，所以 1 2 | | | 9PAPBtt. 23.解：本题考查绝对值
33、不等式. （1） 55,2 ( )13, 23 55,3 xa x f xxax xa x ，所以函数( )f x在区间(,3)上单调递减，在区间(3,)上单调 递 增 ， 因 为 关 于x的 不 等 式( )0f x 的 解 集 为|24xx ， 所 以 ( 2)0 (4)0 f f ， 即 5 ( 2)50 5 1 50 a a ，解得15a . （2）设函数( )f x的图象与x轴围成图形面积为S，当0a时，( )0f x ，不合题意；当0a 时， 55,2 ( )13, 23 55,3 xa x f xxax xa x ，当15a 时， 1 4( 2) 51550 2 S ，当15a 时，所以函数 ( )f x的图象与x轴的交点为1,0 5 a 和1,0 5 a ，此时函数( )f x的图象与x轴围成图形面积为 611(15) 55 1550 2 aa a S ，化简得 2 400a ，解得20a或20a （舍去） ，所以 实数a的取值范围是20,).
