1、 全国全国100所名校最新高考模拟示范卷所名校最新高考模拟示范卷 数学卷（三）数学卷（三） （120分钟 150分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的的 1已知集合 |10Axx， |lg Bx yx，则AB（ ） A(1,) B(0,1) C(0,) D1,) 2设复数z满足 3 1 i z i （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 3 log 0.3a ， 4.1
2、3b ， 3 2 c ，则（ ） Acba Bcab Cabc Dacb 4已知 3 sin2 4 ，则 1 tan tan （ ） A 8 3 B 4 3 C 8 3 D 4 3 5已知| |2ab， 2 1aa b，则向量a，b的夹角（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6中国古典乐器一般按“八音”分类“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法， 最先见于周礼春官大师，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（po）、竹”八音其中“金、石、 木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两 音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A
3、3 14 B 11 14 C 1 14 D 2 7 7函数( )3 ln| x f xx的大致图象为（ ） A B C D 8已知不同直线l、m与不同平面a，且l，m，则下列说法中正确的是（ ） A若a，则lm B若a，则lm C若l，则a D若a，则m 9 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 若c o sc o s 4 c aB bA， 则 22 2 2 ab c （ ） A 3 2 B 1 2 C 1 4 D 1 8 10 已知函数( )3sin()f xx（其中0，0） ， 其图象向右平移 6 个单位长度得( )yg x 的图象，若函数( )g x的最小正周期是，且 3
4、 122 g ，则（ ） A 1 2 ， 2 3 B 1 2 ， 3 C2 ， 2 3 D2 ， 3 11在三棱锥PABC中，ABAP，CBAP，CBAB，2ABBC，点P到底面ABC的距 离为1，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ） A3 B9 C12 D24 12已知抛物线 2 :4(0)C ypx p的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的 正半轴交于点S，与准线l交于点T，且| 2|FAAS，则 | | FB TS （ ） A 2 5 B2 C 7 2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，把答案填在答题卡中的
5、横线上分，把答案填在答题卡中的横线上 13若变量, x y满足约束条件 2 0 30 0 xy xy xy ，则32zxy的最大值为_ 14已知双曲线 22 :1 44 yx C，P是双曲线渐近线上第一象限的一点，O为坐标原点，且| 2 2OP ， 则点P的坐标是_ 15甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为 4 5 和 3 4 ；乙笔试、面试通过的概率 分别为 2 3 和 1 2 若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录 取的概率是_，只有一人被录取的概率是_ 16已知函数 2 2 ( )(0) x f xfekx（e为自然对数的底数
6、，( )fx为函数( )f x的导函数且(0)0 f 至 少有两个零点，则实数k的取值范围是_ 三、解答题：共三、解答题：共70分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第1721题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共一）必考题：共60分分 17已知等差数列 n a的公差2d ，且 1 a， 2 a， 4 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 2 n a n b ，求数列 nn ab的前n项和 n S 18在四棱
7、柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，ACBDO， 1 AO 平面ABCD （1）证明 1 AO平面 11 BCD （2）若 1 ABAA，求二面角 1 AABD的正弦值 19金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台校 团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计 数据如下： 愿意 不愿意 男生 60 20 女生 40 40 （1）根据上表说明，能否有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关 （2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，
8、选取10人，若从 这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求()E X 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 20已知函数 2 ( )(ln )2f xa xxxx，e为自然对数的底数 （1）当2ae 时，求函数( )f x的极值； （2）若 2 x ，求证： 2 2(sinln )2 x exex 21 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 左、 右顶点分别为 1 A， 2
9、A， 上、 下顶点分别为 1 B， 2 B， 且 1( 0 , 1 ) B， 112 AB B为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y轴右侧的部分交于M、N两点，O为坐标原点 （1）求椭圆的标准方程； （2）求OMN面积的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共10分分请考生在第请考生在第22、23两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数），直线l经过点( 1, 3
10、3)M 且倾斜角为 （1）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程； （2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，满足A为MB的中点，求tan 23选修4-5：不等式选讲 设函数( ) |1|2 | 1f xxxa （1）当1a 时，解不等式( ) 6f x ； （2）设 1 2 a ，且当21a x 时，不等式( ) 26f xx 有解，求实数a的取值范围 2020年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案数学模拟测试参考答案 1 B 本题考查集合的运算， 因为10x 所以1x ， 所以(,1)A ， 因为0x ， 所以(0,)B ， 所以(0,1)AB 2
11、A 本题考复数的运算及几何意义，由 3(3)(1)24 12 1(1)(1)2 iiii zi iii ，所以复数z在复平面 内对应点的坐标为(1,2)，所以z在复平面内的对应点位于第一象限 3 C 本题考查指数、 对数的大小比较， 因为 3 log 0.30a ， 4.1 3(0,1)b ， 3 1 2 c ， 所以abc 4A 本题考查三角恒等变换 3 sin2 4 ， 3 sincos 8 ， 则 1sincos18 tan tancossinsincos3 5 C 本题考查向量的数量积 因为 2 1aa b， 所以1a b ， 所以 1 cos 2| a b a b ， 所以 2 3
12、x 6B 本题考查中国传统文化与古典概型，设事件A “从八音中任取两音，含有打击乐器”， 所以 211 444 2 8 11 ( ) 14 CC C P A C 7A 本题考查在函数的图象与性质因为函数( )f x为非奇非偶函数，所以函数图象不关于y轴对称，排 除选项C，D，当x 时，函数值 f x ，故排除选项B 8C 本题考查在空间中的线面关系若a，l，m可能为异面关系，故选项A不正确； 若，l，m可能为平行、相交或异面关系，故选项B不正确； 由面面垂直的判定定理，若l，l，则，故选项C正确； 若，n，由面面垂直的性质定理知，当mn时，m，故选项D不正确 9 D 本 题 考 查 解 三 角
13、 形 coscos 4 c aBbA， 由 余 弦 定 理 得 222222 224 acbbcac ab acbc ，化简得 2 22 4 c ab， 22 2 1 28 ab c 10C 本题考查三角函数的图象与性质由题意可得( )3sin 6 g xx ，因为函数( )g x的最 小正周期是， 所以 2 | ， 所以2 ， 因为0， 所以2 ， 所以( )3sin2 3 g xx ， 因为 3 122 g ，所以 1 sin 62 ，所以2k或 2 2() 3 kkZ，因为0，所以 2 3 11B 本题考查多面体与球，因为ABAP，CBAP，CBABB，所以PA 底面ABC，因 为点P到
14、底面ABC的距离为1所以1AP 因为CBAP，CBAB，ABPAA，所以BC 平面PAB，故B CP B，90PBCPAC，即该球的直径为CP 222222 2213CPABCBAP，所以球的半径为 3 2 R ， 2 49SR 12 B 本题考查抛物线的定义与平面几何知识 过点A作准线的垂线， 垂足为M，AM与y轴交于点N， 因为| 2|FAAS，所以 |1 |3 SA SF ， 所以 1 | 33 ANOF p ，所以 4 | 3 AMp， 根据抛物线的定义知 4 | | 3 AFAMp，因为 12 | 23 ASAFp， 所以| 2SFp，所以|2TSp根据抛物线的性质 112 |2AF
15、BFp ，得 311 4|pBFp ，解得 | 4BFp，所以 |4 2 |2 FBp TSp 13 3 2 本题考查简单的线性规划，先作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立 20 30 xy xy ， 解得 1 3 , 2 2 B ，当目标函数过点B时取最大值，所以 max 133 32 222 z 142,2 本题考查双曲线的性质，等轴双曲线 22 4yx过第一象限的渐近线方程为yx，因为 | 2 2OP ，所以点P的坐标为2,2 15 1 5 8 15 本题考查独立事件的概率甲被录取的概率为 1 433 545 P ，乙被录取的概率为 2 211 323 P ，则该次考试甲，乙同时
16、被录取的概率是 12 311 535 PPP，只有一人被录取的概率是 1221 32218 11 535315 PPPPP 【温馨提示】2019年全国卷出现了两空题，2020年全国、卷都有一定概率出现两空题，故此题 设置两空 16 2 , 4 e 本题考查函数与导数因为 2 ( )(0)2 x fxfekx，所以 2 (0)(0)ff，解得 01 f 或 00 f （不合题意，舍去），所以 2x f xekx，由( )yf x至少有两个零点，所以 2 0 x ekx至少有两根，因为0x 不是方程的根，所以方程可化为 2 x e k x ，记 2 ( ) x e g x x ，因为 22 2 2
17、 2(2) ( ) xxx e xxeex g x x x ， 所以 g x在区间0,2单调递减， 在区间(,0)和(2,)单调递增， 函数( )g x大致图象如图，所以当 2 (2) 4 k g e 时，函数( )f x至少有2个零点，所以实数k的取值范围是 2 , 4 e 知识拓展： 一、分离变量法 是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使两端变量各自相同，解决有关不 等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法，可以避开对参数的分类讨论， 大大提高解题的准确度 二、数形结合法 “数”与“形”反映了事物两个方面的属性，我们认为，数形结合，主要指的
18、是数与形之间的一一对应关 系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数” 或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到 优化解题途径的目的 17解：本题考查数列的通项公式与前n项和 （1）根据题意，得 3 142 a aa，即 2 111 3a adad，即 2 111 62a aa， 解得 1 2a ，所以 1 (1)22(1)2 n aandnn （2）由（1）得 2 111 224 n an n n b ，所以数列 n b是首项为 1 4 ，公比为 1 4 的等比数到，所以 223 2 31
19、2 1 (22 )1111 24 ( 444 n nnn nn Saaaabbbb 2 11 3 43 n nn 18解，本题考查线面平行与二面角 （1）连接 11 AC，设 11111 BDACQ，连接 1 OC，图略因为在四棱柱 1111 ABCDABC D中，O， 1 O分 别为AC， 11 AC的中点， 所以 11 OCAO， 11 OCAO， 所以四边形 11 AOCO为平行四边形， 所以 11 AOOC， 因为 1 AO 平面 11 BCD， 1 OC 平面 11 BCD，所以 1 AO平面 11 BCB （2）以O为原点，OB，OC， 1 OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空
20、间直角坐标系Oxyz设 1OA因为 1 ABAA，所以 1 1OA ，所以(0, 1,0)A， 1(0,0,1) A，(1,0,0)B，( 1,0,0)D ，所以 1 (0,1,1)AA ，1,1,0AB ，设 1111 ,nx y z为平面 1 AAB的一个法向量，因为 11 1 0 0A A nB nA ，所以 11 11 0 0 yz xy ，令 1 1y ，所以 1 ( 1,1, 1)n ，因为平面 1 DAB的一个法向量为 2 (0,1,0)n ，设二面角 1 AABD的平面角为，所以 21 12 13 |cos| 33 1 n n n n ，所以 6 sin 3 19解：本题考查独
21、立性检验和分布列、期望 （1）因为 2 K的观测值 2 160(60404020)32 10.6676.635 80 80 100603 k ， 所以有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关 （2）根据分层抽样方法得，男生 3 106 5 人，女生 2 104 5 人， 所以选取的10人中，男生有6人，女生有4人 X的可能取值有0，1，2，3 20 6 3 10 4 201 (0) 1206 C C P X C ， 21 64 3 10 601 (1) 1202 C C P X C ， 2 4 1 6 0 1 3 363 (2) 12010 C C P X C ， 03 34 3 10
22、 41 (3) 12030 C C P X C X的分布列是 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 11316 ()0123 6210305 E X 20解：本题考查函数的极值与证明不等式 （1）因为 1(1)(2) ( )122 xxa fxax xx ，所以当2ae 时， 2(1)() ( ) xxe fx x ， 因为当01x时，( )0fx；当1xe时，( )0fx；当xe时，( )0fx；所以函数( )yf x 在(0,1)和(), e 上单调递增，在(1, ) e上单调递减，所以当1x 时，函数有极大值(1)21fe ，当 xe时，函数有极小值 2 ( )f
23、ee （2）由（1）知，当2ae ， 2 x 时，函数( )yf x在xe时取得极小值，也即最小值 2 e，所以 22 2 (ln )2e xxxxe， 化 简 可 得 2 ()22l nexxex， 令( )sin1 2 g xxx ， 则 ()1c o s0gxx ， 所以函数( )g x在, 2 上单调递增， 所以( )0 2 g xg ， 所以sin1 2 xx ， 从而可得 3 )22 ln2 sin(12 ln 2 xxexxexe 厖，因为不等式的两个等号不同时成立，所以 2 ()2(sinln )2exxex 【解题思路】第（1）问为常见题型，把实数a的值代入，求导，算极值即可
24、；第（2）问先在第（1）问的 基 础 之 上 得 出 22 2 (ln )2e xxxxe， 即 2 22l nexxex， 再 构 造 函 数 ( )sin1 2 g xxx ，导出不等式sin1 2 xx ，最后根据不等式性质及不等式不同时取等号得出 结论 21解：本题考查椭圆中的面积问题 （1）因为 1(0,1) B，所以1b ，因为 112 AB B为等边三角形，所以3ab，所以3a 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 3 x y （2）设OMN的面积为S 当直线MN的斜率不存在时，可得 6 1, 3 M ， 6 1, 3 N ，所以 12 66 1 233 S 当直线MN的斜率存在时，
25、 设直线MN的斜率为k， 则直线MN的方程为(1)yk x， 设 11 ,M x y， 22 ,N xy，联立 2 2 1 3 (1) x y yk x ，化简得 2222 316330kxk xk，所以 2 12 2 6 31 k xx k ， 2 12 2 33 31 k x x k ， 2 1212 2 2 3|21 31 kk yyk xx k ，因为 1 0x ， 2 0x ，所以| 1k ，面积 12 1 | 1 2 Syy 2 2 2 2 1 32 3 |21 1 31 3 kk k k k ，令 2 1 2t k ，则 2 3 1 t S t ，( 2, 3)t，由( )S t
26、在定义域内 单调递减，所以 36 43 S，综上OMN面积的取值范围是 36 , 43 22解：本题考查在极坐标与参数方程 （1）由已知曲线C的普通方程为 32 (2)4xy，即 22 4xyx，因为cosx， 222 xy， 可得 2 4 cosp，化简为4cosp 直线 1cos , : 3 3sin xt l yt （t为参数，0） （2）设,A B对应的参数分别为 A t， B t， 将直线l的参数方程代入C并整理，得 2 6 ( 3sincos )320tt， 所以6( 3sincos ) AB tt，32 BA tt ， 又A为MB的中点，所以2 BA tt， 因此2( 3sinc
27、os )4sin 6 A t ，8sin 6 B t ， 所以 2 32sin32 6 AB tt ，即 2 sin1 6 因为0，所以 7 666 ， 从而 62 ，即 3 ，tan3 3 23解：本题考查绝对值不等式的解法 （1）因为1a ，( ) 6f x ，所以|1|2| 5xx， 21,2 |1|2|3, 12 12 ,1 xx xxx x x 当 2 215 x x ，解得23x； 12 3 5 x 剟 ，解得12x 剟，当 1 125 x x ，解得21x ，所以原不等式的解集为 2,3 （2）因为21ax ，( )26f xx，所以12126xxax ，所以3ax ，因为不等 式( )26f xx有解，所以31a ，即2a ，所以实数a的取值范围是 1 2, 2
