广东省茂名市2023届高三第一次综合测试一模数学试卷+答案.pdf

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1、12023 年茂名市高三级第一次综合测试数学参考答案数学参考答案一、单选题:4.【解析】将 2 个 8 插空放入不相邻的 5 个空位(4 个 6 之间有 5 个空位)中,2510C 5.【解析】如图所示为该圆锥轴截面,设顶角为,因为其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是腰长为2 3m,面积为23 3m的等腰三角形,所以2211sin(2 3)sin3 322l,解得3sin2,则3或23由23得,cos2 3 cos323hl,sin2 3 sin323rl,则上半部分的体积为22311 333 3m33r h,下半部分体积为218r h蒙古包的体积为3(183 3)m6.【解析】1cos 2121

2、()sin 2sin(2)22242xAf xxxT对于选项,,选项 B:221(1-2)20且0()=22sin xsin xsinxcos x,f xtanxTsinxcos xsinxcos x1313()cossincossin22222Cf xxxxxxT对于选项,cos,cos,11()sin 2()sin(2)2623Df xxxT对于选项,,7.【解析】,685ln,13ln,564lncba故可构造函数,112lnxxxxf,01122xxxxf所以 543fff12345678DAADCCBD28.【解析】当PCCD时,三棱锥PACD的表面积取最大值,2 2PD,三棱锥PA

3、CD的外接球的半径为2R,外接球体积为8 23.二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分.9101112ACDACDABDBC10【解析】由题意得,中心对称,的图像关于 01 xf故 A 正确;由 xfxfxfxf2,且得 xfxfxfxf2的周期为 4,故 B 错误;01 01ff,故 C 正确;412121274 fffxf,的周期为,故 D 正确11.【解析】A 选项:由抛物线C的定义知 A 是正确的;B 选项:由12yx,切线方抛物线 C 在点(21,)处的切线斜

4、率为1,切线方程为10 xy;C 选项:顶点在原点 O 的正三角形与抛物线相交与 A、B 两点,这个正三角形的边长为4 3p,OAB的周长为24 3,C 错;D 选项:F为抛物线的焦点,过H作HD垂直抛物线C的准线y=1于点D,如图由抛物线的定义知,1sinHGHGtHFHDHGD当t取最大值时,HGD取最小值,(正弦函数的单调性的应用)即直线GH与抛物线C相切设直线HG的方程为1ykx,3由214ykxxy得2404xxk,所以216160k,解得1k ,此时2404xxk,即2440 xx,所以2x ,故2,1H,所以1122222HSGFx GFH,故 D 正确12.【解析】原式变形为n

5、nnmmemlnln,构造函数 xxexfx,11xexfx,xfxfxexx,0,110 时,单调递增,xfxfxexx,0,110 时,单调递减对于 A,取1 nm满足原式,所以 A 错对于 B,当nemnnm1,010ln时,即,当 时,在时,00lnxfn单调递增,原式 nfmfln,nenmm,即ln,所以 B 对。对于 C,当0lnn时,0lnnm显然会有;当0lnn时,根据单调性可设 ,lnnfmftf0t且tnln。,时,令当)2(0 xxeexxfxfxhx2xxee由基本不等式知,所以 ,0,0mfmftfmhxh即又 单调递增时,xfx0,,0ln,mtmnmt故 C 对

6、对于 D,,1,2enm取满足原式,但2112ee三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13答案:56【解析】88 2188rrrrrrTC xxC x,令822r,3r,388!563!5!C.故81()xx的展开式中2x的系数为 5614.答案:22(1)(1)4xy或22315()()222xy或223350()()4416xy或22(1)5xy【解析】过(1,1),(1,1),(3,1)三时,圆的方程是:22(1)(1)4xy过(1,1),(2,2),(3,1)三时,圆的方程是:22315()()222xy过(1,1),(1,1),(2,2)三时,圆的方程是:223350(

7、)()4416xy4过(1,1),(2,2),(3,1)三时,圆的方程是:22(1)5xy15答案:12x【解析】由cos(2)21()20 xxf xeeexe得cos(2)212xxeexee21左边:cosxe,e21右边:可证明2当且仅当时取等,2xexe,x所以2112xexeee.要想两边相等,只能12x,所以()f x零点为12x 16答案:5(1,61216.【解析】因为 A 在 B 的上方,且这两点都在 C 上,所以(2,3)Amn,(2,3)Bmn,则|2 3ABn.因为 A 是线段BD的中点,又EAy轴,所以EABD,|EDEB,所以BDE的内心 G 在线段EA上.因为

8、DG 平分ADE,在ADE 中,所以|DAGADEGE,设EGd,所以222 3221(2)(2 3)nmdmddmn,因为 G 到 y 轴的距离不小于32m,232mdm222 313(2)(2 3)nmn22412nm,故2612511enm.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17解:(1)当 n=1 时,21112,02naa aa,1 分当2n时,224nnnaaS(1),211124nnnaaS(2),2 分5(1)(2)得:221112(2)4()nnnnnnaaaaSS3 分即2211142()2()nnnnnnnaaaaaaa即111()()2()nn

9、nnnnaaaaaa4 分0na,12nnaa5 分na数列是 2 为首项,公差为 2 的等差数列,22(1)2nann 6 分(2)由(1)得,11 11()2(22)41nbnnnn7 分11111111(1)(1)4223141nTnnn8 分1110,11,114nTnn 9 分又1,1nNn随着 n 的增大而减少,从而nT随着 n 的增大而增大118nTT综上所述,1184nT10 分18解:(1)在ABC中,由2 cosabbC及正弦定理得:sinsin2sincosABBC,1 分又()ABC,sinsin()sin()sincoscossinABCBCBCBC2 分即sinco

10、scossinsin2sincosBCBCBBC,3 分sincoscossin2sincossinBCBCBCB,,sin()sinCBB4 分0sinsin(),0.BCBCBC 5 分(),2BCBCBCB CB6 分(2)方法一:由(1)得:2CB得3(0,)BCB,03B,1cos12B,7 分由题意2 cosabbC,2CB及正弦定理得:2 cossin2sincossinsin2sincossin2sinsinacbbCcBBCCBBCBbbBB8 分sin2sincos2sincos12cos2cos12cos22cossinBBCBBCBBBB 9 分62212(2cos1)

11、2cos4cos2cos1BBBB 10 分2154(cos)44B11 分1cos12B,21514(cos)544B,即15acb,故acb的取值范围为(1,5)12 分方法二:由正弦定理得:sinsinsinacACbB,6 分,()ABCABC,sinsinsin()sinsin()sinsinsinsinACBCCBCCBBB7 分由(1)得:2CB,故acbsin(2)sin2sinBBBBsincos2cossin2sin2sinBBBBBB8 分sincos2cos 2sincos2sincossinBBBBBBBB2cos22cos2cosBBB2222cos12cos2co

12、s4cos2cos1BBBBB 9 分2154(cos)44B10 分由(1)得:2CB得3(0,)BCB,03B,1cos12B,11 分21514(cos)544B,即15acb,故acb的取值范围为(1,5)12 分19证明:(1)/ODPAB平面,CABPABAB平面平面,ODCAB 平面/ODAB,OBC又 为的中点2 分CDA为的中点EPC又为的中点/DEPA,PAPAB 平面,DEPAB 平面/DEPAB平面4 分7(2)如图所示取 BD 的中点 F,连结 PF、AF,底面ABC在半圆 O 上,BC为圆 O 的直径,ADAB5 分4ABAD4 2BD,2 2FAFBFD4PBPD

13、又222PBPDBDPBPD6 分2 2FP222222222,FPFBPBFPFAPA FPFDPD,FPFB FPFA FPFDFAFBF又,FAFBABD、平面PFABD 平面7 分法一:建立如图所示的空间直角坐标系,(0,0,0)A,(4,0,0)B,(0,8,0)C,(2,2,2 2)P(4,0,0)AB,(4,8,0)BC ,(2,2,2 2)BP 9 分设平面PAB的法向量为1111,nx y z,则11111140222 20nABxn BPxyz 令11z,则12y ,10 x 1(0,2,1)n10 分设平面CPB的法向量为2222,nxyz,则2222222480222

14、20nBCxynBPxyz 令21y,则22x,222z 8222,1,2n 11 分设平面PAB与平面PBC的夹角为,则1212122|2|332cos|cos,|331132n nn nn n 12 分法二:建立如图所示的空间直角坐标系,xyz(2 2,0,0)A,(0,2 2,0)B,(2 2,4 2,0)C,(0,0,2 2)P(2 2,2 2,0)AB ,(2 2,6 2,0)BC ,(0,2 2,2 2)BP 9 分设平面PAB的法向量为1111,nx y z,则1111112 22 202 22 20nABxyn BPyz 令11z,则11y,11x 1(1,1,1)n10 分设

15、平面CPB的法向量为2222,nxyz,则2222222 26 202 22 20nBCxynBPyz 令21z,则23x ,21y 2(3,1,1)n 11 分设平面PAB与平面PBC的夹角为,则121212|3 1 1|33cos|cos,|33311n nn nn n 12 分20解:(1)设1A 抽到第一袋,2A 抽到第二袋,2B 随机抽取 张,恰好抽到一名男生和一名女生的报名表1 分121()()2P AP A2 分91154129205(|)369C CP B AC3 分116522116(|)11C CP B AC4 分由全概率公式得11221516109()()(|)()(|)

16、29211198P BP A P B AP A P B A5 分(2)设在一轮比赛中得分为 X,则 X 的可能取值为2,0,2,则326(2)115525P X ()()323213(0)(1)(1)555525P X 326(2)5525P X 得分为 X 的分布列用表格表示7 分设在二轮比赛中得分为 Y,则 Y 的可能取值为4,2,0,2,4,则6636(4)2525625P Y 613136156(2)25252525625P Y 66131366241(0)252525252525625P Y 613136156(2)25252525625P Y 6636(4)2525625P Y 1

17、0 分得分为 Y 的分布列用表格表示为11 分3615624115636()(4)(2)0240625625625625625E Y 12 分X-202P6251325625Y-4-2024P36625156625241625156625366251021.解:(1)由题得2223,47abcbac2 分2216,9ab4 分椭圆 E 的方程为:221169xy5 分(2)(,6)N t,t为变量,设(0,3),(0,3)CD当0t 时,(0,3),(0,3)PQ,直线PQ为y轴39,CNDNkktt则直线CN的方程为330 xtyt,直线DN的方程为930 xtyt6 分由223301169

18、xtytxy得2222(16)691440tyt yt7 分设(,)PpP xy22616CPtyyt,又223483,16cPtyyt相应地,2320,=16cPtxxt,即22232348(,)1616ttPtt8 分同理,222963432(,)144144ttQtt9 分当0t 时,2314464PQtkt直线PQ的方程为:2222348314432()166416tttyxttt,即231443642tyxt过定点3(0,)210 分综上所述,直线PQ经过定点3(0,)2M11 分(说明:也可以先令(说明:也可以先令t为特殊值,算出定点,再证明)为特殊值,算出定点,再证明)当FMPQ

19、时(M为垂足),F 到直线PQ的距离取得最大值1122337(70)(0)22FM.12 分22解析:(1)xaxxxaxf2 两个零点;)上单调递减,不可能,在(当0,0,0 xfxfa1 分 axxfa得时,令当00 单调递增xfxfax,0,0,单调递减xfxfax,0,,2 分 xfxafafxfx,;01;,03 分有唯一零点有唯一零点且,0axax,满足题意。综上:,0a4 分(2)先证右边:令 xxxgxxxg1,1ln则。单调递增xgxgx,0,1,0,单调递减xgxgx,0,1 1ln,0,01xxxgfxg即的最大值为5 分aaaaaaaaaaaaf120211221221

20、122112ln1222且122ax6 分又 1011xf1211221aaxx7 分再证左边:曲线 xfy 在0,1x和0,2x处的切线分别是22221111:,:xxxxaylxxxxayl8 分联立两条切线得121213xxaxxx,121321xxaxxx9 分12由题意得212221222211lnln2102121ln02121lnxxxxaaxxaaxxa10 分要证1,2,221321213xxaxxxxxx即证即证1ln21211221xxxxxx即证令112xxt,即证1121lntttt tttth121ln令11 分 ,1,02122单调递减,在thttth 得证1121ln,01tttthth综上:122213axxx12 分

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